記住莪給妳嘚承諾
11
(a>0,b>0,c>0)的最小值.
Jie 作长方体ABCD-A′B′C′D′,ShiAB=a,BC=b,BB′=c,设BE=x,则y=AE+EC′.展开长方体的侧Mian,使ABB′A′与BCC′B′共面,连AC′
.
Zai教学中,我们从以下几点讨论研究.
(1)建模 引导学生对实际图形(图4)作Chu
Fen析理解,然后建立出数学模型(图5).虽Jian模难度较低,但教学中主要是向学生渗透建Mo思想,以提高学生的建模能力.
(2)提炼 此例的求解是应用三垂线定理作Er面角的平面角的典型题目,是立体几何的基Ben方法.在教学中加强对基本方法的提炼尤其Zhong要,这也是加强通法教学的具体表现.
(3)发展 在图5中,∠DCH= 1,∠DCG= 2,∠HCG= 3,∠DGH= ,引导学生动手导出等式sin 1=sin 2sin 和cos 2=cos 1cos 3,这样突出了例题的引伸功能,让学Sheng既动手操作,又从中汲取了知识,达事半功Bei之效.
(4)升华 由等式sin 1=sin 2sin 知sin 1
(图2) (图3)
Youymin=AC′=(a+b)+c.
Ci时有c=a+b,即x=a+b.
Tong过上二例的求解,加深了学生对长方体的理Jie,使数形结合的思想得到体现,三角、代数Zhong的难点得以突破,且整个求解过程给人以清Xin流畅之感,艺术般美的享受,让学生回味无Qiong.4 注重实例讨论,发挥教材作用
Li3 如图(4),山坡的倾斜度(坡面与水Ping面所成二面角的度数)是60°,山坡上有Yi条直道CD,它和坡脚的水平线AB的夹角Shi30°,沿这条路上山,行走100米后升Gao多少米?(《立体几何》高级中学课本P39例题
)
(图4) (图5)
Si面体的两个体积公式
韩绍文 席学勤
(河南项城市高中466200)
本文给出四面体的两个体积公式.
Ding理1 如果一个四面体的两条相对棱的长分Bie是a,b,它们的距离是d,所成的角为 ,那么它的体积是
V=
abdsin .6
12
1997年第3 证明 如图,四面体ABCD中,AB=a,CD=b,AB与CD的Ju离为EF=d,它们所成的角
Wei .连结AF,BF,则△ABF的面积为ab.
2
GuoC作CP⊥平面ABF,垂足为P,过D作DQ⊥平面ABF,垂足为Q,连结PQ.∴CP∥DQ,CP与DQ确定的平面与平面ABF相交于PQ,∴PQ必过公共点F.已知EF⊥CD,由三垂线逆定理,得EF⊥PQ.又知EF⊥AB,同在平面ABF内,PQ∥AB,则∠CFP=∠DFQ= .
∴CP=CFsin ,DQ=DFsin ,
Yu是VC-ABF= ad CP=ad
326
CFsin ,
VD-ABF=ad DFsin ,
6
Gu四面体ABCD的体积
V=ad(CF+DF)sin =abdsin .
66
1987年全国高考有一道立体几何题是:
Ru图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=l,PA,BC的公垂线ED=h.求证三
2
Leng锥P-ABC的体积V=lh.
6
Xian然,此题是上述定理的特例
.下面举一例说明定理1的应用.
Li1 若四面体的一条棱长为x,其余各棱长Du等于定值a.求x为何值时,这个四面体的Ti积最大,并求体积最大值.
Jie 如图,四面体P-ABC中,设BC=x,其余各棱长都为a.取BC,PA的中点D,E,连结DE,BE,CE,PD,AD.ZeDE⊥BC,DE⊥PA,DE的长即PAYuBC的距离.在△PAB中,BE=
a,又BD=,则DE=22
BE-BD
=2
Dangx2=3a2-x2,即x=3
最大值8a.
a时,体积V有2
3a-x
(0<>
3a).
Yi知PA⊥BC,PA与BC所成的角为90°.∴ 四面体的体积V=ax 3a-x
62
23=ax(3a-x)≤a a=a.121228
Ding理2 如果一个四面体的各面都是边长分
222
Bie为a,b,c的全等三角形,若记S=(a+b+
2
2
c),那么它的体积是
V=(s-a)(s-b)(s-c
).
3
Zheng明 如图,设四面体ABCD的各面是边长Fen别为a,b,c的全等三角形,则必有AD=BC=a,AC=BD=b,AB=CD=c.取AB,CD的中点E,F,连结EF,EC,ED,FA,FB.
∵ EC=ED,FA=FB,∴ EF⊥CD,EF⊥AB,EF的长即AB与CD的距Li.设EF=d,AB与CD所成的角为 ,Bing设中线EC=m.
Zai△ABC中,m2=(2a2+2b2-c2).
4
2222
Zai△EFC中,d=m-=(a+b2-42
2c).
You异面直线上两点距离公式,得
22
22+±2 cois .b=d+
422422,则sin =解得cos =ccc-(a-b).
Gen据定理1,四面体ABCD的体积V=22cdsin =c a+b-c 2662c
c-(a-b),即V=
12
(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).
2
JiS2=(a+b2+c2),上式化为
2V=3(S-a)(S-b)(S-c).Li用这个体积公式很容易得出一些具体结论,Bi如:棱长为a的正四面体的体积V=
1997年第3期 数学通报
13
22的三角形,四则面体的体积V=
3
Leng的长都为b,则这个三棱锥的体积V=2b-a.
6 2 3=2;
San棱锥的两条相对棱的长都等于a,其余各
2a12
一个不等式的推广
黄桂君
(江苏省高邮市中学225600)
2
若a>0,b>0,且a+b=1,则(a+a)+(b+)2≥,这是我们所熟悉的Yi个不等式.
b2
Ben文将给出它的几个推广及证明:
Tui广1 若a>0,b>0,且a+b=1,Zenn2n
(a+)+(b+)≥(n∈N)
ab2(1)
推广2 若ai>0(i=1,2,…,m)且 ai=
i=1m
n(qai+ai)≥ mpi=1
(6)的特殊情形)
Zheng明 ∵ ai=p,
i=1m
m
22n
(6)
下面只要证明推广6即可(∵(1)-(5)均为
而q ai r
i=1
mm
i=1
2
≥mqr,ai
1,则
n(ai+)≥(n∈N) aimi=1
m
2
n
∴
m
i=1
2≥,aip
m
(2)
∴ (qai+
i=1
n
)=ai
(qa1+)n
a1
推广3 若a>0,b>0,且a+b=p,则nn22n
(a+)+(b+)≥(n∈N)
ab2p(3)
推广4 若ai>0(i=1,2,…,m)且 ai=
i=1m
+(+)n+…+(+)n
(n-1)个
p,则
n
(n∈N)(ai+ai)≥ mpi=1
为大于零的常数,则
(n∈N)(qa+)n+(qb+)n≥ab2p(5)
推广6 若ai>0(i=1,2,…,m)且 ai=
i=1m
2
n
m
2
2n
(4)
推广5 若a>0,b>0,且a+b=p,q、r
-(n-1)(+)n
pmnn
+(qa2+)+(n-1)(+)
a2mpn
-(n-1)(+)+…
mpnn
+(qam+am)+(n-1)(m+p)
n
-(n-1)(+)
mpnn(n-1)
)(+)a1mpn
-(n-1)(+)+…
mp≥n
(qa1+
nn
+n
p,q、r为大于零的常数,n∈N,则
nn(n-1)
(qam+am)(m+p)
四面体体积公式
Zhai要：本文将推导出一些四面体的体积公式，Zhe些体积公式会涉及到棱长、线线角、线面角、二面角、表面三角形面积等相关元素。
Si面体是由不在同一平面的四点所连接成的四Ge三角形包围起来的立体图形，因此，有时候Wo们也称为三棱锥，而棱锥的体积等于与其等Di同高的棱柱的体积的三分之一，而棱柱的体Ji等于底面积乘以高，因此四面体的体积就等Yu底面积乘以高的三分之一，这便是求解四面Ti体积的基本公式。
Wo们做一下简要的说明，体积与面积一样既是Shu学上的概念，也是物理上的概念，大致意思Jiu是物体所占空间的多少，而空间这个概念是San维的，因此只有具备三维的几何体（或物体）才具有体积，也就是说一个点（0维），一Tiao直线（1维），一个平面图形（二维）都没You体积。我们把边长为1的正方体的体积规定Wei1个单位体积，并以此来度量其余几何体的Ti积，于是很自然的，一般的正方体体积就是Bian长的三次方，长方体的体积就是长乘以宽乘Yi高，棱柱就是底面积乘以高。
Jie下来，我们将从基本公式出发，推导出一些Shi用的体积公式。
Ru上图所示的四面体O-ABC，由O点出发De线线角、线面角、二面角的记法保持不变，Qing参看《四面体空间角公式》，下文中关于这Xie角的公式都来自此文。
我们作OO'
MianABC与O'，即O'是O在面ABC上的Chui直投影，作
YuD，连接OD，或者是做
YuD，连接O'D，两种做法都可以，因为这Jiu是三垂线定理，也是我们作二面角的平面角De基本作法，于是
Jiu是二面角O-AB-C的平面角。
Wo们记三角形OAB的面积为
，三角形OBC的面积为
，三角形OAC的面积为
，三角形ABC的面积为
，OA的长为a，OB的长为b，OC的长为c，AB的长记为c'，BC的长记为a'，CA的长记为b'，四面体体积记为V。
You基本公式，四面体O-ABC的体积为：
。
而在直角
中，
，
而在
Zhong，OD是其AB边上的高，于是
，
于是
。
Wo们记此公式为四面体体积公式二。简单描述Yi下这个公式就是：四面体的体积等于其上两Ge面的面积与其所成二面角正弦值的乘积除以Zhe两个面共棱的长度的三分之二。
Ci公式二可以看成是三角形面积公式二的推广。
Yu是我们把这个公式中的两个面换成顶点O处De三个面，用我们前面约定的符号，则有：
，
于是有：
，
Zhe可以看成是三角形正弦定理的一种推广。
由于
，
，
于是
，
Er由四面体空间角的导出公式
，
所以
，其中
。
Wo们记为四面体体积公式三。
You于k是连接三种空间角的媒介，因此k拥有Zhe三种角之间组合的多种变化，因而公式三具You十分灵活的应用，甚至可以用体积来求解这Xie角度。
Dui于k，我们还有一种行列式的表达方式：
Du者可以自行利用三阶行列式展开进行验证，Zhe里就不做演示了。
Yu是公式三可以用行列式来表达：
。
You于公式三中的三个角度的余弦值完全可以由Dui应三角形的余弦定理得到，因此，我们可以Xiao去角度，得到一个完全由六条棱长表达的体Ji公式，其中的运算比较复杂，读者做好准备。
分别在
，
，
Zhong利用余弦定理，可得：
，
，
，
Dai入到行列式的公式里，可得：
Wo们记此公式为四面体体积公式四。可以看成Shi秦九韶公式在四面体中的推广（顺便提一下，秦九韶公式也可以写成行列式形式，这个日Hou会说明。），我们将上面的三阶行列式展开Ke得：
其中：
，
，
，
。
Wo们再来看一下四面体体积的解析公式。
Qian文说了，不共面的四点决定一个四面体，当Ran这四个点也不能有重合的情况，我们设这四Ge点为
，于是根据空间三个向量的混合积的几何意义，可得：
。
Xian然这也是三角形解析公式的推广，仅仅只是Zeng加了一个维度。
Zai《三角形的面积公式八叙》中，我们得出了You三条直线所在的方程直接求解这三条直线的San个交点所组成的三角形面积公式，同样，我Men也可以在立体几何中得到直接推广的四面体Ti积公式。
Wo们设空间中的四个平面方程为：
，它们两两相交，有六条交线，三三相交于一Ge公共点，简单来说就是，四面体四个面所在De平面方程，那么这个四面体的体积为：
。
You于我们设定了四个平面是四面体的四个面，Yin此分母的每一项都不会为0。
You时候，我们会需要求解一些特定的四面体体Ji，我们在此给出。
Zheng四面体的体积公式：
Suo谓正四面体，即四面体的四个面都是正三角Xing，六条棱长都相等，设为a，则其体积为：
，只需将
Dai入到公式三中即可。
Zheng三棱锥的体积公式：
Suo谓正三棱锥，即底面是正三角形，高所在的Ding点的底面投影正好是底面的中心，用本文中De符号表达就是
，
，同样代入到公式三中，可得其体积为：
。
Ding角相等底面是斜面的三棱锥：
Yu正三棱锥不同地方在于
，其体积为：
。
三个顶角之和等于
的三棱锥：
即
，此时，由三角形内角的余弦等式：
，代入公式三中，则有：
。
Zong结：四面体是三角形在空间中的推广，因此Qi体积的求法与三角形的面积有着一定的类似Guan系，这种关系在解析几何中表达得最为直观，这也是为什么现代几何学对平面几何和立体Ji何（统称为欧几里得几何，或简称欧氏几何，学术一点的说法叫做二维和三维的线性空间）的理论描述使用解析几何方法的原因。四面Ti的元素数量比起三角形来几乎是翻倍的，也Jiu导致了其体积公式表达的复杂性，本文通过Ji个公式的推导想要说明的是，复杂的几何体Du是可以分解为简单的几何体来演算的，最根Ben的还是要回归到三角形中去，这叫做降维，Zhe也是我们在教材中只学习其基本体积公式的Yuan因。
再谈四面体的六棱求体积公式
Zai谈四面体的六棱求体积公式
2004年第19期数学通讯
Zai谈四面体的六棱求体积公式
Zhong图分类号:O123—42
王永山
(扬州大学数学科学学院,江苏225002) 文献标识码:A文章编号:0488-7395(2004)19—0037—01
Ben刊2003年1O月第19期刊登了俞志老Shi的 四面体六棱求体积公式,其证明方法值De我们学习, 笔者在阅读后再对题目思考.De出个新的公式.能 达到同样的效果.现表Shu之,与大家共享.
Qiu其体 题目已知四面体各棱的长,
积.
解以四面体脚.y
DianA为坐标原点建立坐标系
(如图1),因我们知道各棱
Chang,不妨设IABI=n,II
=口,lAcl=b.lBDl=b, IADI=c,IBCI=c.A
AB:a,Ac=b,AD=
我们知道百1(口
?
)×c.
Suo以=(丢(.?6)×c)(丢(.?6)×c).
Yin为IZIc_IZI,所以
:.,
LcJ
:-
I:a蚰b361?:k蚰bcI(1)
SheBAC=口,CAD=,BAD=y, IABI+IACI一2IAB0ACIo06Kou=IBcI, 由余弦定理知
oosa=
一口+b一c
2'
Tui可求oos卢=,
o.sy=
Shou稿日期:2004一O3—15
Qu:lIl6l瞄:瞄:.
You因为k=Ib0cIo06p=6c?=
:?二垒::
2,
:
IIII瞄y:瞄y:
所以
fn21
I6鱼lI口+c一b嚏b+c一口,22I【——一——一J
=
{(幽)_[n(6+c2一n)+6(n2+c2一
b)+c(口罩b一C'2)]/4+【(口+b一C'2)(口+ c一b)(b+f一Kou)]/4}.
SheM=b+c一口",N=口+c一b,2,P= 口+b一c",所以
V=1/—(abc)2a2M2+b—2N2+c2/~+MNP.
Ci公式结构比较简单,便于记忆,愿能给同学Men 带来些帮助.
验证:已知AB=
.AD=,AC=
.BD=43,BC=.CD
=
,求其体积.
口=,口=,
Jie不妨设b=.b =
43通过计算得出:V= 1一
壶~/118
c=?,c:
Gai结果与俞志老师的完全吻合
图2
介绍一个四面体体积公式
Jie绍一个四面体体积公式
Mei国众筹 http://www.qiyeusa.com/
我们知道，四面体是锥体的特例，Ru果知道了四面体的底面积和高，就可以按照Ji算锥体体积的公式计算四面体的体积.虽然Yi知三角形的边长，三角形的面积可以由秦九Shao公式计算出来，但是四面体的高一般不易用Zhi尺直接测量出来，而四面体的长是可以用直Chi测量的.如果已知四面体的各条棱长分别为a，b，c，p，q和r，如图所示:我们可Yi按照
计算四面体的体积.因为需要计算一个五Jie行列式，所以计算过程比较麻烦.那么能不Neng寻找一个更方便的计算公式呢,为了解决这Ge问题，笔者按照下列步骤进行了推证.
假设四面体V-OAB的各条棱长分别为a，b，c，r，p和q(如图一)所示，四Mian体的一个顶点O在坐标原点，底边OA与OX轴重合，底面OAB和XOY平面重合，很Xian然，A点的坐标为(r，0，0)，设B点De坐标为(x0，b0，0)，V点的坐标为(x1，b1，z1).
在XOY平面内，圆心在原点，半径为qDe圆的方程为:x2+y2=q2，圆心在A
半径为p的圆的方程为: x-r 2+y2=p2，B点为两圆 在第一象限内的交Dian，所以
分别以原点A点和B点为中心，以a，bHec为半径的球的方程为:
很显然顶点V为三球的交点.V点的坐标Z1的长度即为四面体的高，我们只要求出四Mian体的高，四面体的体积就可以计算出来了.Wei此，我们将方程(1)，(2)和(3)联Li求出交点(X1，Y1，Z1)，方程(1)―(2)得:2rx1=r2+a2-b2
Suo以x1= r2+a2-b2 2r (4)
因为三角形OAV的面积为:
所以 y21+z21= 4Δ22 r2 (5)
将(4)式和(5)式代入(3)式，可Yi求出:
其中a与p，b与q，r与c分别为四面Ti的三组对棱，Δ1和Δ2分别为以四面体的Lengr为一条边的两个侧面的面积.在用此公式Jin行计算时，通常选择两个侧面面积容易计算De侧面所夹的边为r.用此公式进行计算，要Bi用上述五阶行列式简捷得多.
例 计算棱长为a的正四面体的体积
解 方法一
边长为a的等边三角形的面积为 3 4 a2，所以 美国众筹
四面体的又一个体积公式
38数学通讯 2001年第7期
Si面体的又一个体积公式
王胜林
(英山县南河中学,湖北 438701)
Zhong图分类号:O123.3 文献标识Ma:A 文章编号:0488-7395(2001)07-0038-01
文[1]给出了四面体的一个体积公式,Ben文给出
Si面体的又一个体积公式.供大家参考.
Yin理 如图1,直线PA交平面α于点A的射Ying为AB.ACα若∠PAB=θ1,C=θ2,
θ=cosθ∠PAC=θ,则cos1?图 1
θcos2(证明略).定理 如图2,在四Mian体P2ABC中,PA=a,PB=b,PC=c,∠BPC=θ1,∠APC=θ2,∠APB=θ3,则四面体
Ti积为VP2ABC=abc(1-6
22
cos2θ1-cosθ2-cosθ3+θθθ2cos1cos2cos3).
Zheng 过B作BD⊥平面PAC于D,过D作DF⊥PA于F,DE⊥PC于E.连结PD,BE,BF.由三垂线定理知BF⊥AP,BE⊥PC.设∠BPD=β,∠APD=β1,∠CPD=β2.则β1+β
2=θ2.由引理知
ββθββθcoscoscos1=cos3,cos2=cos2.
ββ∴cos1cos2=又sinβ1=
sinβ2=
2
sin222
(-2θ1-cosθ2-cosθ3+
2
θθθ2cos1cos2cos3)
∴VP-ABC
θS△PAC?BD=acsinBD2?36
222=abc(1-cosθ1-cosθ2-cosθ3
6=
θθθ+2cos1cos2cos3)
2
Zhe就是四面体的又一个体积公式.运用它可简Jie明快地求解某些非常规的体积问题.
Li1 求棱长为a的正四面体的体积.解:直Jie用公式,显然θ,1=θ2=θ3=60°
3
a.12
Li2 已知四面体三侧棱长为a,b,c,它Men两两间夹角θ1,θ2,θ3为定值,且a+b+c=1,求此四面
∴V=
图 2
体体积的最大值.
Jie:∵abc≤(∴V=
3
)3=
.27
222
abc(1-cosθ1-cosθ2-cosθ3+6
2
θθ2cosβ
2
θθθ2cos1cos2cos3)(1)
-cosβ1=
2
2θ-βcos
22
(1-cos2θ1-cosθ2-cosθ3+627
2
(2)
θθθ2cos1cos2cos3)
∴Vmax=
2θ(3)-βcos
ββθ由积化和差公式2cos1cos2=cos2+cos(β1--cosβ2=
22
(1-cos2θ1-cosθ2-cosθ3+162
θθθ2cos1cos2cos3)2.
β2),
ββθββ∴cos1cos2-cos2=sin1sin2
Ba(1)(2)(3)代入(4)得β=sin
(2θθθθθθ22)2
(4)
参考文献
[1] 刘品德.四面体的一个体积公式.数Xue通讯,
θsin2
1999(12).
Shou稿日期:2000-12-04
),男,湖北英山人,湖北英山南河中学一级Jiao师.作者简介:王胜林(1969—
