范文一:圆中邻边相等的内接四边形
圆中邻边相等的内接四边形
1. 如图,正方形 ABCD 内接于⊙ O , P 是 AC 上方圆上的一点,连接 PC 、 PD 、 PB ,求证 :
PD
PB PC 为定值。
2. 如图, BC 是⊙ O 的直径, D 是弧 AC 的中点,四边形 ABCD 的对 角线 AC 、 BD 交于点 E 。
(1)求证:AC ·BC=2BD·CD
(2) 若 AE=3,CD=
2, 求 弦 AB 和 直 径 BC 的 长 。
3. 如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O , AB 是直径, AD=DC.分别延长 BA 、 CD ,交点为 E .作 BF ⊥ EC ,并与 EC 的延长线交于点 F 。 AE=AO,BC=6,求 CF 的长 .
4. 如图, AB 、 AC 、 AD 是⊙ O 中的三条弦, AB=AC,
求证:AD 2=BD·DC+ AB2.
范文二:[优质文档]圆中邻边相等的内接四边形
圆中邻边相等的内接四边形1.如图,正方形ABCD内接于?O,P是AC上方圆上的一点,连接
PC,PBPC、PD、PB,求证:为定值。 PD
P
CA
O
BD
2.如图,BC是?O的直径,D是弧AC的中点,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。
(1)求证:AC?BC=2BD?CD
25(2)若AE=3,CD=,求弦AB和直径BC的长。
3.如图,四边形ABCD内接于?O,AB是直径,AD=DC(分别延长BA、CD,交点为E(作BF?EC,并与EC的延长线交于点F。AE=AO,BC=6,求CF的长.
4.如图,AB、AC、AD是?O中的三条弦, AB=AC,
求证:AD?=BD?DC+ AB?(
A
BC
O
D
范文三:平行四边形等特殊四边形分类讨论
特殊四边形分类讨论
2y,ax,bx,cy1、如图,抛物线与轴正半轴交于点C,与轴交于点,xA(1,0)、B(4,0)
M(在直角坐标平面内确定点,使得以点为顶点的四边,OCA,,OBCM、A、B、C
M形是平行四边形,求点的坐标;
y
C
A B O x
2(如图,已知A(1,0)、C(0,1)、B(m,0)且m>1,在平面内求一点P,使得以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形。
y
C
ABx0
例题1 如图,在平面直角坐标系xOy中,O为原点,点A、C的坐标分别为(2,0)、(1,
2y,ax,23x33). 将?AOC绕AC的中点旋转180?,点O落到点B的位置,抛物线经过点A,点D是该抛物线的顶点.(1)求证:四边形ABCO是平行四边形; (2) 若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,写出点P的坐标. y
C B
A O x
D
1
12例题2 已知抛物线:yx,2x( , ,12
(1)求抛物线y的顶点坐标; 1
(2)将抛物线y向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线y,求抛物线y122的解析式;
(3)如下图,抛物线y的顶点为P,x轴上有一动点M,在y、y这两条抛物线上是否存212
在点N,使O(原点)、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形,若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由(
y 5
4
P 3 y2 2 y 11
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 O x -1
-2
-3
-4
1、如图,已知抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(1,0),与y轴交于点C(0,2),直,,线xm(m,1)与x轴交于点D( ,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线xm(m,1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角,
形与以B、C、O为顶点的三角形相似,求点P的坐标(用含m的代数式 表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形,y 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由(
A O B D x
xm ,C
2
2、如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画圆,P是?O上一动点且在第一象限内,过点P作?O的切线,与x、y轴分别交于点A、B。 (1) 当点P为AB中点时,求出P点坐标;
(2) 在?O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形。若
存在,试求出Q点坐标;若不存在,请说明理由。
y
B
2 P
1
O-112x-2A
-1
-2
23、如图,已知抛物线y ax2y轴的axb(a,0)与x轴的一个交点为B(1,0),与,,,,
负半轴交于点C,顶点为D(
C (1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x轴的另一个交点A的坐标;
(2)以AD为直径的圆经过点C(
?求抛物线的解析式;
?点E在抛物线的对称轴上,点F在抛物线上,且以B,A,F,E四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F的坐标(
y
B O A x
C
D
3
4、如图,在平面直角坐标系中,以点A(3,0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、,
C两点(点B在点C的左边),与y轴相交于D、M两点(点D在点M的下方)(
(1)求以直线x3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式; ,,
(3)若点E为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点F,使得以
点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,若存在,求出点F的坐标;若不
存在,说明理由(
y
M
B A O C x
D
5、如图,在平面直角坐标系中,直线分别与轴负半轴交于点A, xy,kx,b
25y与轴的正半轴交于点B,?P经过点A、点B(圆心P在轴负半轴上),已知AB=10,AP,.x4(3)在?P上是否存在点Q,使以A、P、B、Q为顶点的四边形是菱形,若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由(
y B
A O x P
4
6、如图,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,A(,3,0),过点C的直线y
12 ,2x,4与x轴交于点D,二次函数y,x,bx,c的图象经过B、C两点( ,,2
(1)求B、C两点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)若点P是CD的中点,求证:AP?CD;
(4)在二次函数的图象上是否存在这样的点M,使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形,
若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由(
y
B C
P
D x A O
7、(08青浦)如图,在平面直角坐标系中,点是坐标原点,正比例函数y,kx(为自xO
2AA变量)的图像与双曲线y,,交于点,且点的横坐标为,2(将直线(为y,kxxx
BDy自变量)向上平移4个单位得到直线,直线分别交轴、轴于、,如点在xBCBCC
PBDP直线上,在平面直角坐标系中求一点,使以、、、为顶点的四边形是菱形( BCO
y
C
A
B
x O
5
8、已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示,A的坐标,C的坐标,(4,0)(0,,2)
2直线与边BC相交于点D, y,,x3
2y,ax,bx,c(2)抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;
MDAM,使、、、为顶点的四边形是梯形,若存在,(3)在这个抛物线上是否存在点O
M请求出所有符合条件的点 的坐标;若不存在,请说明理由。
y
A
x O
B C D 2 y,,x 3
第24题图
2yaxbxc,,,9、如图,已知二次函数的图像经过A(,2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点,联结BC、AC,该二次函数图像的对称轴与轴相交于点D( x
(1)求这个二次函数的解析式、点D的坐标及直线BC的函数解析式(
(2)已知点P是该二次函数图像上一动点,请探求以点P、C、D、B为顶点的四边形能否成为梯形,若能,请直接写出所有符合条件的点P的个数及其坐标;若不能,请说明((((
理由(
y
C
A O B x
6
2y,x,bx,c10、在平面直角坐标系中(如图7),已知二次函数的图像经过点xOyA(0,3)和点,其顶点记为点( B(3,0)C
(1)确定此二次函数的解析式,并写出顶点的坐标; C
(2)将直线向上平移3个单位长度,求平移后直CBy 线的解析式; l
D(3)在(2)的条件下,能否在直线上找一点,l
BD使得以点、、、为顶点的四边形是等腰梯形(若CO
D能,请求出点的坐标;若不能,请说明理由.
xO 1 2 3
图7
2 11、已知:如图所示,关于x的抛物线y,x,c(a?0)与x轴交于点A(2,0),ax,,
点B(6,0),与y轴交于点C(
(1)在抛物线上有一点D,使四边形ABDC为等腰梯形,写出点D的坐标,并求出直线AD的解析式;
(2)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一
动点Q(是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形,如果存在,请直接写出
点Q的坐标;如果不存在,请说明理由(
y
C
x A O B
7
范文四:平行四边形等特殊四边形分类讨论
特殊四边形分类讨论
1、如图,抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴正半轴交于点C ,与x 轴交于点A (1, 0) 、B (4,,0)
∠OCA =∠OBC .在直角坐标平面内确定点M ,使得以点M 、A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形,求点M 的坐标;
2.如图,已知A (1,0)、C (0,1)、B (m ,0)且m>1,在平面内求一点P ,使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是平行四边形。
y
C
A B x 0
例题1 如图,在平面直角坐标系xOy 中,O 为原点,点A 、C 的坐标分别为(2,0)、(1,. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°,点O 落到点B 的位置,抛物线y =ax 2-2x 33)
经过点A ,点D 是该抛物线的顶点. (1)求证:四边形ABCO 是平行四边形;
(2) 若点P 是x 轴上一点,以P 、A 、D 为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y 轴上,写出点P 的坐标.
12
x +2x . 2
(1)求抛物线y 1的顶点坐标;
(2)将抛物线y 1向右平移2个单位,再向上平移1个单位,得到抛物线y 2,求抛物线y 2的解析式;
(3)如下图,抛物线y 2的顶点为P ,x 轴上有一动点M ,在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ,使O (原点)、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形?若存在,求出N 点的坐标;若不存在,请说明理由.
1、如图,已知抛物线与x 轴交于点A (-1,0) 和点B (1,0) ,与y 轴交于点C (0,-2) ,直线x =m (m >1) 与x 轴交于点D . (1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线x =m (m >1) 上有一点P (点P 在第一象限),使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似,求点P 的坐标(用含m 的代数式 表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在点
若存在,请求出点Q
例题2 已知抛物线:y 1=-
2、如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O 为圆心,2为半径画圆,P 是⊙O 上一动点且在第一象限内,过点P 作⊙O 的切线,与x 、y 轴分别交于点A 、B 。 (1) 当点P 为AB 中点时,求出P 点坐标;
(2) 在⊙O 上是否存在一点Q ,使得以Q 、O 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形。若
存在,试求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由。
y
x
2
3、如图,已知抛物线y =ax -2ax -b (a >0)与x 轴的一个交点为B (-1,0) ,与y 轴的负半轴交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标; (2)以AD 为直径的圆经过点C .
①求抛物线的解析式;
②点E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以B ,A ,F ,E 四点为顶点的
四边形为平行四边形,求点F 的坐标.
4、如图,在平面直角坐标系中,以点A (-3,0) 为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点(点B 在点C 的左边),与y 轴相交于D 、M 两点(点D 在点M 的下方).
(1)求以直线x =-3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式;
(3)若点E 为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点F ,使得以
点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F 的坐标;若不存在,说明理由.
5、如图,在平面直角坐标系中,直线y =kx +b 分别与x 轴负半轴交于点A ,
AP =与y 轴的正半轴交于点B ,⊙P 经过点A 、点(B 圆心P 在x 轴负半轴上),已知AB=10,
Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在⊙P 上是否存在点Q ,使以A 、P 、B 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点
25. 4
6、如图,矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上,A (-3,0),过点C 的直线y =-2x +4与x 轴交于点D ,二次函数y =-
12
x +bx +c 的图象经过B 、C 两点. 2
(1)求B 、C 两点的坐标; (2)求二次函数的解析式;
(3)若点P 是CD 的中点,求证:AP ⊥CD ; (4)在二次函数的图象上是否存在这样的点M ,使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形?
若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
7、(08青浦)如图,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,正比例函数y =kx (x 为自变量)的图像与双曲线y =-
2
交于点A ,且点A 的横坐标为-2.将直线y =kx (x 为x
自变量)向上平移4个单位得到直线BC ,直线BC 分别交x 轴、y 轴于B 、C ,如点D 在直线BC 上,在平面直角坐标系中求一点P ,使以O 、B 、D 、P 为顶点的四边形是菱形.
-2) ,8、已知,矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示,A 的坐标(4, 0) ,C 的坐标(0,
直线y =-
2
x 与边BC 相交于点D , 3
(2)抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、D 、O ,求此抛物线的表达式;
(3)在这个抛物线上是否存在点M ,使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出所有符合条件的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。
2
2x
3
第24题图
9、如图,已知二次函数y =ax +bx +c 的图像经过A (-2,0)、B (4,0)、C (0,3)三点,联结BC 、AC ,该二次函数图像的对称轴与x 轴相交于点D .
(1)求这个二次函数的解析式、点D 的坐标及直线BC 的函数解析式.
(2)已知点P 是该二次函数图像上一动点,请探求以点P 、C 、D 、B 为顶点的四边形能否成为梯形?若能,请直接写出所有符合条件的点P 的个数及其坐标;若不能,请说明....理由.
y A O B
x
10、在平面直角坐标系xOy 中(如图7),已知二次函数y =x 2+bx +c 的图像经过点A (0,3)和点B (3,0),其顶点记为点C .
(1)确定此二次函数的解析式,并写出顶点C 的坐标; (2)将直线CB 向上平移3个单位长度,求平移后直线l 的解析式;
(3)在(2)的条件下,能否在直线上l 找一点D ,使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形.若
能,请求出点D 的坐标;若不能,请说明理由.
2
11、已知:如图所示,关于x 的抛物线y =ax +x +c (a ≠0)与x 轴交于点A (-2,0),点B (6,0),与y 轴交于点C .
(1)在抛物线上有一点D ,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式;
(2)在(2)中的直线AD 交抛物线的对称轴于点M ,抛物线上有一动点P ,x 轴上有一
动点Q .是否存在以A 、M 、P 、Q 为顶点的平行四边形?如果存在,请直接写出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
范文五:【doc】直线等分四边形面积的尺规作图
直线等分四边形面积的尺规作图
92上海中学数学?2009年第1,2期 直线等分四边形面积的尺规作图 310006浙江省杭州市安吉路实验学校苏建强来峥
本文将从过四边形边上任意一点,作直线 等分任意四边形面积的尺规作图予以阐述.为 了叙述的方便,先介绍两个引例以作铺垫. 引例1求作一一,一
条线段,使它为三条已
知线段的第四比例项.
已知:线段a,b,O
c;求作:线段d,使d
一一.
n
图1
作法(如图1):
(1)作M_0N;
(2)在射线上顺次截取一a,AB一6; (3)在射线0N上截取0C—C;
(4)连结AC,过B作BD//AC,交ON于点 D;所以,线段CD就是所求的d. 引例2求作一
条直线,使它过已知四
边形的一个顶点且等
分该四边形的面积.
已知:四边形.
ABCD;求作:直线
HE
图2
AE,使它等分四边形ABCD的面积. 作法(如图2):
(1)连结AC,BD;
(2)作BD的中点M,过点M作GE//AC, 分别交BC,BA于E,G;
(3)连结AE;
所以,AE就是所求直线.(同理可作满足条 件的直线?,BF,DH.)
因为同底等高,同高等底的三角形面积相 等,所以图2中s四边形AMcD一?s四边形仙cD,
SAAMO—SACEO,因而有S?ABE: s四边形c..
有了以上铺垫,现在让我们来看一看"过四 边形边上任意一点,用尺规作一直线使它平分 已知四边形面积"的问题解决.
例求作一条直线,使它过四边形边上一 点并平分该四边形的面积.
已知:四边形ABCD,P为边BC上的任意 一
点;求作:直线PQ,使PQ平分四边形ABCD 的面积.
分析:由引例2可知图3,图4中S/XABE一 1
SADHC—1S四边形AB(D.
根据比例系数为正数厶
的反比例函数性质可知:当点P在线段CE上 时,所求直线和四边形AB边相交(如图3);当点
P在线段EH上时,所求直线和四边形BA延长 线相交(如图4);当点P在线段BH上时,所求 直线和四边形CD边相交.
作法:
1.当点P在线
段CE上时(如图3).
(1)连结AC,并
过B,D}~gAC的垂线B
段,分别记为1,h2;图3
(2)作线段h,使
1
h为线段BP,AC,?(矗1+h2)的第四比例项(即厶 AC?(hi+h2),
n一——
(3)作BC的平行线,使所作平行线到BC 的距离为h,交线段AB于点Q; (4)连结PQ;
所以,直线PQ
即为所求.
2.当点P在线
段EH上时(如图4).
(1),(2)两个步
骤同1中(1),(2);
(3)作BC的平
行线,使所作平行线
图4
C
上海中学数学?2009年第1,2期93 2009年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
位).
一
,填空题
1.函数Y—logz(一1)的定义域是
2.计算:(1一)一——(为虚数单
3.函数的3,一c.s专最小正周期丁: 再均匀地拉成1个单位长度的线段,这一过程称 为一次操作(例如在第一次操作完成后,原来的 1011
坐标?,?变成?,原来的坐标寺变成1,等厶厶 等).那么原闭区间[O,1]上(除两个端点外)的 点,在第二次操作完成后,恰好被拉到与1重合 的点所对应的坐标是;原闭区间[O,1] 上(除两个端点外)的点,在第次操作完成后 ——
.(?1),恰好
4.若集合A一{zIfzf>1},集合B一{z被拉到与1重 0<<2),则AnB一——
.
合的点所对应
5.抛物线Y一的准线方程是的坐标为—— 6.已知I一3,I一2.采一一3,
赋夹角的大小为——
.
7.过点A(4,一1)和双曲线等一嚣=1右 焦点的直线方程为.
8.在?彻C中,若AB一3,ABC一75., ACB:60.,则BC等于.
9.已知对于任意实数,函数厂()满足
(一)=,(-z).若方程,(z)=0有2009个实 数解,则这2009个实数解之和为.
10.一只猴子随机敲击只有26个小写英文 字母的练习键盘.若每敲1次在屏幕上出现一个 字母,它连续敲击1O次,屏幕上的10个字母依 次排成一行,则出现单词"monkey"的概率为 (结果用数值表示).
11.以下是面点师一个工作环节的数学模 型:如图,在数轴上截取与闭区间[O,1]对应的 线段,对折后(坐标1所对应的点与原点重合) 到BC的距离为^,交BA延长线于点M; (4)连结PM,交AD于点N;
(5)作?AMN的边AM上的高线,记为h3; (6)作h艘^一;
(7)作PN的平行线,使所作平行线到PN 的距离为h4,交ND于点Q;
(8)连结;
所以,直线PQ即为所求.
0}
二,选择题.
12.在空间中,"两条直线没有公共点"是 "这两条直线平行"的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.过点P(O,1)与圆z+Y—2z一3—0 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直 线方程是()
A.z一0B.Y一1
C.+Y一1:0D.z—Y+1一o
14.已知函数)一{,.若
f(x0)>3,则X0的取值范围是()
A.zo>8B.X0<0或X0>8 C.0<X0<8D.z0<0或0<X0<8 3.当点P在线段BH上时
作法同1.
证明方法类似于引例2,这里图去.
参考文献:
[1]马树张.直线两等分梯形面积.中小学数学(J), 2004.7.
[2]田冬晓.平行四边形与梯形的面积平分问题.中 学生数学(J),2007.2.
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