作文一:《生活中的轴对称》1700字
轴对称与轴对称图形
一、教材分析
二、教学目标
1、知识与技能
通过实例认识轴对称、轴对称图形及其基本性质.了解轴对称与轴对称图 形的区别.会指出轴对称及轴对称图形的对称轴、对称点、对应线段和对应角.
2、过程与方法
通过动手操作、观察、讨论及归纳感受概念的形成过程.经历观察、判断 图形是否成轴对称或轴对称图形的过程.通过折纸、印墨迹等方法发现轴对称 的基本性质.
3、情感态度与价值观
在学习过程中学会与他人合作、交流.在发现轴对称基本性质中获得成功的 体验.引导学生善于在生活中发现美、欣赏美、创造美.
三、教学重点、难点
1、教学重点
认识轴对称及轴对称图形,欣赏轴对称在生活中的应用,掌握轴对称及轴对 称图形的基本性质.
2、教学难点
轴对称与轴对称图形的区别.
四、教学过程:
引入:
宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用 之繁,大千世界,天上人间,无处不有数学之贡献.——华罗庚
1. 投影图片 感受轴对称
风景 动物→蝴蝶 植物→树叶 建筑→故宫太和殿
2. 动手实验 体会轴对称
(画出下列图形的对称轴 )
归纳轴对称图形概念
轴对称图形:
如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这 个图形叫做轴对称图形.
这条直线叫这个图形的对称轴.
几何画板动态演示:
3. 灵活应用:
①想一想:
下列图形是否是轴对称图形?如果是请找出所有的对称轴.
②说一说:
身边的轴对称:请同学指出自己身边的轴对称图形.
③做一做:
动手操作:画☆的对称轴
4. 艺术欣赏
京剧脸谱
脸谱艺术
民间剪纸
剪纸艺术
5. 小组合作、交流探讨
数学乐园:
由四个小正方形组成 L 形的图中 , 请你用各种方法在下图中添画一个小正方 形后成为轴对称图形.
(由学生分小组动手探究,相互交流,汇总展示讨论结果,多媒体动画演示 )
6. 深入探究,感受新知
轴对称:
两个雪人→成轴对称
几何画板演示两个图形成轴对称
对于两个图形,把一个图形沿着某一条直线对折,如果它能够与另一个图 形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称.
这条直线就是对称轴.
7. 探索与发现
通过几何画板软件进行操作,让学生直观体验
归纳
成轴对称的图形(或关于某条直线对称的两个图形)的基本性质:
(1)沿对称轴对折后的两部分 (或两个图形 ) 完全重合(全等) .
(2)对应线段相等,对应角相等.
8. 巩固提高 发展智力
比一比,谁的反应快
①请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律,然后在横线上的空 ? 处填上恰当的图形 :
? pq ②某同学出了一道题目 : , 怎样看才能使这个等式成立 ?
③小明在洗澡时从平面镜中看到墙壁上挂钟时针和分针所指的时间是 3:40, 聪 明的你知道此时的实际时间是多少吗?
轴对称图形和轴对称的关系 :
联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合.
区别:轴对称图形是一个图形.
轴对称是两个图形之间的关系.
练习:数学课本第 8页
9. 课堂回顾 总结收获
学生归纳,教师引导.我们的收获是:
1. 轴对称图形:
如果一个图形沿某条直线对折后, 直线两旁的部分能够完全重合, 那么这个 图形叫做轴对称图形.
2. 轴对称:
对于两个图形, 把一个图形沿着某一条直线对折, 如果它能够与另一个图形 完全重合,那么就说这两个图形成轴对称.
10. 课后作业 延伸提高
1. 为了美化我们的学习环境, 请同学们都来为教室的玻璃窗设计窗花. 比一比看 谁设计的更美.
2. 请大家通过互联网收集汽车商标图案,交流欣赏.
~~让我们一起走进丰富多彩网络世界 可要注意健康上网!
板书设计:
板书设计
1.1生活中的轴对称
一、轴对称图形 二、轴对称
三、轴对称图形与轴对的联系与区别
联系:都是沿对称轴对折后能完全重合
区别:一个指一个图形 一个指两图形间的关系
教学设计说明:
本节课是苏科版八年级上册 “轴对称图形” 一章中第一节内容, 它看似简单, 却也是今后学习相关知识的重要基础,为了有效地完成本节任务,在教学过程 中我主要设计如下:
内容上, 根据学生认知的实际情况, 在基本保留原有教材中的主要资源的基 础上,将教学内容的顺序进行了交换.设计生活化、情趣化的引入情境,运用 多媒体形象展现,引起学生兴趣,激发学生求知欲.通过
作文二:《生活中的轴对称》2100字
《生活中的轴对称》教学设计 (2007-11-14 16:45:28)
转载
《9.1生活中的轴对称》教学设计
教学目标
1、 通过具体实例认识轴对称,探索它的性质
2、 通过一系列活动,培养学生的实际动手能力、总结归纳能力、想象力和创造力
3、 通过欣赏现实生活中的轴对称图形,体会轴对称图形在现实生活中的广泛应用和它丰富的文化价值,提高学生的数学审美意识。通过创作轴对称图案,增强学生的创新精神。
教学重点、难点
重点:掌握轴对称图形的性质
难点:准确判断出“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”的对称轴 设计理念
本节学习以现实生活中的大量图形观察为基础,同步设计动手操作活动,让学生“作—观察—概括—检验—应用”的学习过程中,自主参与概念形成过程和知识的发生、发展过程。
教学过程
一、由生活实例引入课题
1、师:众所周知,第二十一届国际风筝节正在潍坊隆重举行,正是这小小的风筝,
让我们的潍坊走向了世界。同时,师出示风筝、剪刀、树叶等生活中的物品,让学生观察,并提出问题:你发现了什么?
2、其实,我们生活在一个充满对称的世界之中,从人体到植物的花果树叶,从小巧
精致的艺术珍宝到雄伟壮丽的建筑,甚至是最普通的日常生活用品中,对称的形式随处可见。这种山、树、楼阁倒影在水中(多媒体演示图片),就是令人难忘的对称景象。
今天,老师将带领大家去寻找走进数学世界后的又一种数学美——对称美,我们开始
探索第九章《轴对称》,先来认识《生活中的轴对称》。(板书课题)
(从学生非常熟悉的生活情景导入,遵循新课标中强调从学生已有的生活经验出发,获得对数学的理解。同时,学生通过观察形象的物品,得到直观的感受,形成初步体验,符合初一学生的认知特点。)
二、 动手实践,探索新知
1、游戏:跟我学剪纸
(学生按照课件上的动画完成剪纸游戏)
仔细观察位于折痕两侧的图案,有什么关系,你发现了什么?
2、从折叠的角度观察以下图形有什么共同特征,用自己的语言描述。
学生仔细观察后,从图形中抽象出图形的共同特征,用自己的语言概括出来, 板书:轴对称图形。并利用多媒体进行动画演示折叠过程。
(在动手操作、观察的基础上,让学生给轴对称图形以直观描述,以发展学生的概括能力。)
2、在生活中,许多事物与图形紧密联系在一起,今天老师给大家带来一些生活中的图案,请大家一块来欣赏。(多媒体演示,配乐欣赏)
(欣赏的图片,是从生活中提炼出来的大量图形,有建筑、日常生活用品、剪纸、工艺品、昆虫、树叶、国旗等。目的是使学生通过丰富的生活事例,欣赏并体会轴对称图形,发展学生的审美能力、鉴赏能力。)
3、你能举出几个生活中的轴对称的例子吗?
(从自己的生活经验出发,小组内交流,体会轴对称现象在现实生活中的广泛应用。师出示事先准备好的数字、字母、汉字中的一些轴对称图形,让学生品味文化中的轴对称美,力求将知识性、艺术性溶为一体。)
4、在刚才的过程中,大家一致认为要把图形折叠,下面拿出准备好的几何图形,
试一试哪些是轴对称图形,它的对称轴有几条?
(通过学生的动手操作,直观感知,操作确认正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形、圆等几何图形都是轴对称图形,并引导学生从不同方向折一折,重点让学生演示折正方形和圆的对称轴。)
5、请思考一个问题,在刚才的折叠过程中,有没有相等的量。
(师介绍对应点、对应线段、对应角的概念,并让学生归纳出轴对称图形的性质:对应线段相等,对应角相等。)
三、动手操作,观察探究
1、印墨迹实验
在宣纸的一侧,滴一滴墨水,将纸迅速对折、压平,并用手指压出清晰的折痕, 再将纸打开铺平,观察所得到的图案,位于折痕两侧的墨迹图案彼此之间有什么关系。
2、从折叠的角度,观察以下两组图案,你有什么发现?
(板书:两个图形成轴对称,并利用多媒体进行动画演示折叠重合过程。)
3、举出几个生活中的两个图形成轴对称的例子。
4、本节课中,我们主要学习了轴对称图形和两个图形成轴对称,他们有何区别与联系呢?
四、自我创作,发展思维
1、放飞你的想象
我们认识了轴对称图形在我们的生活中,无处不在,给我们的生活增添风采,相信每个同学心中都有美的标准、美的追求。下面就放飞你的想象,一起动手来创作出富有特色的轴对称图案。
2、小组内交流,把你们富有特色的作品展示到黑板上来,让大家共同欣赏。 (在欢快的音乐声中创作,学生的身心得到调节,把作品贴在黑板上,目的是让每个学生都感受到成功的喜悦和轴对称图形的美。)
同学们的想象力好丰富,作品设计如此漂亮,只要肯下功夫,你们将来一定会成为一个一流的设计师。
五、课堂小结
本节课中,我们从认识轴对称现象到欣赏对称美,创作对称图案,你有哪些收获和体会?
六、知识拓展
在本节课中,我们认识了许多美丽的轴对称图形,它体现出来的是一种对称美,但它们对称形状不仅是为了美观,还有许多科学道理。如:
飞机的对称使飞机能在空中、保持平衡;
闹钟的对称保证了走时的均匀;
人的眼睛的对称,使人看物体更加准确、完整??
由此来看,数学就在我们身边,同学们要做个有心人,认真观察,去感受生活,相信你会有更大的发现。
七、作业:
1、为庆祝五一劳动节,现有十盆花摆放在校门口,要求摆成一个美丽的轴对称图
形,你知道该怎样摆吗?
2、动手实践:以环保为主题,设计一个轴对称的图案。
作文三:《生活中的轴对称》7700字
一.选择题(共10小题)
1.在数学符号“+,﹣,×,÷,≈,=,,⊥,≌,△,∥,( )”中,轴对称图形的个数是( )
A .9 B .10 C .11 D .12
【分析】根据轴对称图形的定义,把图形沿一条直线对折,直线两侧的部分能够互相重合,这样的直线就是图形的对称轴,据此即可作出.
【解答】解:轴对称图形有:+,﹣,×,÷,=,,⊥,△,( )共10个.
故选B .
【点评】本题主要考查了轴对称图形的定义,正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键.
2.下列语句中,正确的有( )
①两个能重合的图形一定关于某条直线对称;
②角是轴对称图形,对称轴是角的平分线;
③两个图形成轴对称,则对称点一定在对称轴的两侧.
④有两边和一角对应相等的两三角形全等.
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】根据轴对称的性质以及全等三角形的判定方法对各小题分析判断即可得解.
【解答】解:①两个能重合的图形一定关于某条直线对称,错误;
②角是轴对称图形,对称轴是角的平分线,错误,应为对称轴是角平分线所在的直线;
③两个图形成轴对称,则对称点一定在对称轴的两侧,错误,有可能在对称轴上. ④有两边和一角对应相等的两三角形全等,错误,一角必须是这两边的夹角; 综上所述,正确的结论是0个.
故选A .
【点评】本题考查轴对称的性质,对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的
距离相等,对应的角、线段都相等.
3.点P 是直线L 上的一点,线段AB ∥L ,能使PA +PB 取得最小值的点P 的位置应满足的条件是( )
A .点P 为点A 到直线L 的垂线的垂足
B .点P 为点B 到直线L 的垂线的垂足
C .PB=PA
D .PB=AB
【分析】作点A 关于直线l 的对称点A′,根据轴对称确定最短路线问题,连接A′B与直线l 的交点即为使PA +PB 取得最小值的点P ,根据轴对称的性质可得PA=PA′,根据等边对等角可得∠A′=∠PAA′,再根据等角的余角相等求出∠PAB=∠PBA ,然后根据等角对等边解答.
【解答】解:如图,作点A 关于直线l 的对称点A′,
连接A′B与直线l 的交点即为使PA +PB 取得最小值的点P ,
由轴对称的性质得,PA=PA′,
所以,∠A′=∠PAA′,
∵线段AB ∥L ,AA′⊥直线L ,
∴AA′⊥AB ,
∴∠PA′A+∠PAB=90°,∠A′+∠B=90°,
∴∠PAB=∠PBA ,
∴PA=PB.
故选C .
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题,平行线的性质,等角的余角相等的性质,熟练掌握最短路线的确定方法是解题的关键.
4.如图,已知点P 、D 、E 分别在OC 、OA 、OB 上,下列推理:
①∵OC 平分∠AOB ,∴PD=PE;
②∵OC 平分∠AOB ,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴PD=PE;
③∵PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,∴PD=PE;
其中正确的个数有( )
A .0个 B.1个 C.2个 D.3个
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可.
【解答】解:∵OC 平分∠AOB ,PD ⊥OA ,PE ⊥OB ,
∴PD=PE.
故选B .
【点评】本题考查的是角平分线的性质,即角平分线上的点到角两边的距离相等.
5.(2017?嵊州市模拟)如图所示的仪器中,OD=OE,CD=CE.小州把这个仪器往直线l 上一放,使点D 、E 落在直线l 上,作直线OC ,则OC ⊥l ,他这样判断的理由是( )
A .到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上
B .角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C .到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D .线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求解.
【解答】解:∵OD=OE,
∴O 点在线段DE 的垂直平分线上,
∵CD=CE,
∴C 点在线段DE 的垂直平分线上,
∴CO 是线段DE 的垂直平分线上,
∴OC ⊥l .
故选:C .
【点评】本题考查了角平分线、线段垂直平分线的性质;这些基本内容要牢固掌握,灵活运用.思考问题要全面是正确解答本题的关键.
6.(2013秋?腾冲县校级期末)已知等腰三角形的一个角为56°,则另外两个角的度数为( )
A .56°、68° B .62°、62°
C .68°、62° D .56°、68°或者62°、62°
【分析】已知给出了一个内角是56°,没有明确是顶角还是底角,所以要进行分类讨论,分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立.
【解答】解:分情况讨论:
(1)若等腰三角形的顶角为56°时,另外两个内角=(180°﹣56°)÷2=62°;
(2)若等腰三角形的底角为56°时,它的另外一个底角为56°,顶角为180°﹣56°﹣56°=68°.
故选D .
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理;若题目中没有明确顶角或底角的度数,做题时要注意分情况进行讨论,这是十分重要的,也是解答问题的关键.
7.下列条件:①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底
边和底边上的高,能确定一个等腰三角形的是( )
A .①和② B .③和④ C .②和④ D .①和④
【分析】本题问能不能确定一个等腰三角形,我们主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等.根据这一标准可首先对这四个条件进行判断,再来确定选项.
【解答】解:下列条件能不能确定一个等腰三角形,我们主要看给出同样条件的两个三角形是不是全等.
∵①已知两腰,SS 不能判定两个三角形全等,所以不能;
②已知底边和顶角,AAS 或ASA 能判定两个三角形全等,所以能;
③已知顶角与底角,AAA 不能判定两个三角形全等,所以不能;
④已知底边和底边上的高,可以判定两个三角形全等,所以可以.
故选C .
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定;把能不能确定一个等腰三角形转化为同样条件的两个三角形是不是全等是正确解答本题的关键.
8.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,FB ,FC 分别平分∠B 和∠C ,已知BC=20,AB=18,AC=16,则△ADE 的周长是( )
A .30 B .32 C .34 D .36
【分析】根据DE ∥BC ,FB ,FC 分别平分∠B 和∠C ,可得:∠DBF=∠FBC=∠DFB ,进而得出DF=DB,同理得出EF=EC,所以△ADE 的周长为AB +AC ,然后根据AB 和AC 的长度即可求出结果.
【解答】解:∵DE ∥BC ,
∴∠BFD=∠FBC ,∠EFC=∠BCF ,
∵FC 分别平分∠B 和∠C ,
∴∠DBF=∠FBC ,∠ECF=∠BCF ,
∴∠BFD=∠DBF ,∠EFC=∠ECF ,
∴DF=DB,EF=EC,
∵△ADE 的周长=AD+AE +DE ,DE=DF+EF ,
∴△ADE 的周长=AD+BD +AE +EC=AB+AC ,
∵AB=18,AC=16,
∴△ADE 的周长=34.
故选C .
【点评】本题主要考查平行线的性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定及性质,三角形的周长,关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB,EF=EC,然后进行正确的等量代换求出∴△ADE 的周长=AD+BD +AE +EC=AB+AC .
9.如图,D 为△ABC 内一点,CD 平分∠ACB ,AE ⊥CD ,垂足为点D ,交BC 于点E ,∠B=∠BAE ,若BC=5,AC=3,则AD 的长为( )
A .1 B .1.5 C .2 D .2.5
【分析】由已知条件判定△AEC 的等腰三角形,且AC=CE;由等角对等边判定AE=BE,则易求AD=AE=BE=(BC ﹣CE ).
【解答】解:∵CD 平分∠ACB ,AE ⊥CD ,
∴AC=CE.
又∵∠B=∠BAE ,
∴AE=BE.
∴BD=AE=
BE=(BC ﹣AC ).
∵BC=5,AC=3,
∴AD=(5﹣3)=1.
故选A .
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质.注意等腰三角形“三线合一”性质的运用.
10.(2010秋?庄浪县校级期末)如图,O 是△ABC 的∠ABC ,∠ACB 的平分线的交点,OD ∥AB 交BC 于D ,OE ∥AC 交BC 于E ,若△ODE 的周长为10厘米,那么BC 的长为( )
A .8cm B.9cm C.10cm D .11cm
【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质,可以证得:∠OBD=∠BOD ,则依据等角对等边可以证得OD=BD,同理,OE=EC,即可证得BC=C△ODE 从而求解.
【解答】解:∵BO 是∠ACB 的平分线,
∴∠ABO=∠OBD ,
∵OD ∥AB ,
∴∠ABO=∠BOD ,
∴∠OBD=∠BOD ,
∴OD=BD,
同理,OE=EC,
BC=BD+DE +EC=OD+DE +OE=C△ODE =10cm.
故选C .
【点评】本题考查了平行线的性质,以及等腰三角形的判定方法,正确证得OD=BD是关键.
二.填空题(共8小题)
11.已知a 、b 、c 为三角形三边长,且|a ﹣b |+(3a ﹣2b ﹣c )2=0,则这个三角形的形状为 等边三角形 ,它有 三 条对称轴.
【分析】根据非负数的和等于零,可得a 、b 、c ,根据对称轴的性质,可得答案.
【解答】解:由题意,得
a ﹣b=0,3a ﹣2b ﹣c=0.
解得a=b=c,
这个三角形的形状为 等边三角形,它有 三条对称轴,
故答案为:等边三角形,三.
【点评】本题考查了轴对称图形,利用非负数的和等于零得出a 、b 、c 是解题关键.
12.(2017?济宁模拟)如图(1)是四边形纸片ABCD ,其中∠B=120°,∠D=50度.若将其右下角向内折出△PCR ,恰使CP ∥AB ,RC ∥AD ,如图(2)所示,则∠C= 95 度.
【分析】根据折叠前后图形全等和平行线,先求出∠CPR 和∠CRP ,再根据三角形内角和定理即可求出∠C .
【解答】解:因为折叠前后两个图形全等,故∠CPR=∠B=×120°=60°, ∠
CRP=∠D=×50°=25°;
∴∠C=180°﹣25°﹣60°=95°;∠C=95度;
故应填95.
【点评】折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键.
13.(2017?广水市校级模拟)如图,若△ACD 的周长为7cm ,DE 为AB 边的垂直平分线,则AC +BC= 7 cm .
【分析】由已知条件,根据垂直平分线的性质得到AD=BD,进行等量代换后可得答案.
【解答】解:∵DE 为AB 边的垂直平分线
∴DA=DB
∵△ACD 的周长为7cm
∴AD +AC +CD=AC+BC=7.
故填7.
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识;利用垂直平分线的性质后进行线段的等量代换是正确解答本题的关键.
14.(2016?山西模拟)如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图中已有两个阵点分别标为A 、B ,请在此点阵图中找一个阵点C ,使得以点A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形,则符合条件的点C 有 5 个.
【分析】由已知条件,分别AB 为腰找等腰三角形和AB 为底找等腰三角形.
【解答】解:画出图形得:
故答案为:5
【点评】本题考查等腰三角形的判定;分类讨论的应用是正确解答本题的关键,要注意仔细找不要遗漏.
15.(2017?江西)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A= 75 度.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.
【解答】解:∵OA=OB,∠AOB=30°,
∴∠A=(180°﹣30°)=75°,
故答案为:75.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.
16.(2016秋?乐亭县期末)如图,∠BOC=60°,点A 是BO 延长线上的一点,OA=10cm,动点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s的速度移动,动点Q 从点O 出发沿OC 以1cm/s的速度移动,如果点P 、Q 同时出发,用t (s )表示移动的时间,当t=
s 时,△POQ 是等腰三角形.
【分析】根据△POQ 是等腰三角形,分两种情况进行讨论:点P 在AO 上,或点P 在BO 上.
【解答】解:当PO=QO时,△POQ 是等腰三角形;
如图1所示:
∵PO=AO﹣AP=10﹣2t ,OQ=1t
∴当PO=QO时,
10﹣2t=t
解得t=;
当PO=QO时,△POQ 是等腰三角形;
如图2所示:
∵PO=AP﹣AO=2t﹣10,OQ=1t;
∴当PO=QO时,2t ﹣10=t;
解得t=10; 故答案为:或10.
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质;由等腰三角形的性质得出方程是解决问题的关键,注意分类讨论.
17.如图所示,AB=AC,CD 既为△CEB 边BE 上的中线,又为BE 边上的高,∠DEC=70°,则∠ACE=.
【分析】根据线段垂直平分线性质得出CE=BC,推出∠B=∠DEC=70°,求出∠ACB 和∠ECB ,代入∠ACE=∠ACB ﹣∠ECB 求出即可.
【解答】解:∵CD 既为△CEB 边BE 上的中线,又为BE 边上的高,
∴CE=BC,
∴∠B=∠DEC ,
∵∠DEC=70°,
∴∠B=70°,
∴∠ECB=180°﹣70°﹣70°=40°,
∵AC=AB,
∴∠ACB=∠B=70°,
∴∠ACE=∠ACB ﹣∠ECB=70°﹣40°=30°,
故答案为:30°.
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质,等腰三角形的性质和判定的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力.
18.如图,△ABC 的面积为2cm 2,AP 与∠B 的平分线垂直,垂足是点P ,则△PBC 的面积为cm 2.
【分析】延长AP 交BC 于点Q ,则由条件可知S △ABP =S△BQP ,S △APC =S△PQC ,则阴影部分面积为△ABC 的一半,可得出答案.
【解答】解:如图,延长AP 交BC 于点Q ,
∵AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ,
∴AP=QP,
∴S △ABP =S△BQP ,S △APC =S△PQC ,
∴S 阴影=S △ABC =1cm2,
故答案为:1.
【点评】本题主要考查垂直平分线的定义及三角形的面积,由条件得出阴影部分面积为△ABC 的一半是解题的关键.
三.解答题(共4小题)
19.(2017春?栾城区期中)如图,△ABC 在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为 A (1,1),B (2,﹣1),C (3,0)
(1)作出△ABC 关于y 轴对称的图形△DEF .
(2)分别写出D 、E 、F 三点的坐标.
(3)求△ABC 的面积.
【分析】(1)补充成网格结构,然后找出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点D 、E 、F 的位置,再顺次连接即可;
(2)根据平面直角坐标系写出点D 、E 、F 的坐标即可;
(3)利用△ABC 所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积,列式进行计算即可得解.
【解答】解:(1)如图所示,△DEF 即为△ABC 关于y 轴对称的图形;
(2)D (﹣1,1)、E (﹣2,﹣1)、F (﹣3,0);
(3)△ABC 的面积=2×2﹣×2×1﹣×1×1﹣×2×1
=4﹣1﹣0.5﹣1
=4﹣2.5
=1.5.
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图,补充成网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键.
20.(2017春?郓城县期末)如图,已知∠BAC=60°,∠B=80°,DE 垂直平分AC 交BC 于点D ,交AC 于E .
(1)求∠BAD 的度数;
(2)若AB=10,BC=12,求△ABD 的周长.
【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠C ,根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC,求出∠DAC ,计算即可;
(2)根据DA=DC,三角形的周长公式计算.
【解答】解:(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,
∴∠C=180°﹣∠BAC ﹣∠B
=180°﹣60°﹣80°
=40°,
∵DE 垂直平分AC
∴DA=DC,
∴∠DAC=∠C=40°,
∴∠BAD=60°﹣40°=20°;
(2)由(1)知DA=DC
∴△ABD 的周长=AB+AD +BD=AB+BC=10+12=22.
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.
21.如图,在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,BP ⊥AD ,垂足为P .已知AB=5,BP=2,AC=9.试说明∠ABC=3∠ACB .
【分析】先延长BP ,交AC 于E ,根据已知条件、结合ASA 易证△ABP ≌△AEP ,从而有BP=PE,AE=AB,∠AEB=∠ABE ,
易求BE=4,AE=5,那么CE=4,于是可知△BCE 是等腰三角形,那么∠EBC=∠C ,结合三角形外角性质可证
∠ABE=2∠C ,也就易得∠BAC=3∠C .
【解答】证明:延长BP ,交AC 于E ,
∵AD 平分∠BAC ,BP ⊥AD ,
∴∠BAP=∠EAP ,∠APB=∠APE ,
又∵AP=AP,
∴△ABP ≌△AEP ,
∴BP=PE,AE=AB,∠AEB=∠ABE ,
∴BE=BP+PE=4,AE=AB=5,
∴CE=AC﹣AE=9﹣5=4,
∴CE=BE,
∴△BCE 是等腰三角形,
∴∠EBC=∠C ,
又∵∠ABE=∠AEB=∠C +∠EBC ,
∴∠ABE=2∠C ,
∴∠ABC=∠ABE +∠EBC=3∠C .
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质.关键是作辅助线,求证△BCE 是等腰三角形.
22.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,BD ⊥AD ,垂足为D ,过D 作DE ∥AC ,交AB 于E ,证明:
(1)△AED 是等腰三角形,
(2)△BED 是等腰三角形.
【分析】(1)利用平行线的性质和角平分线的定义以及等腰三角形的判定证明即可;
(2)证明∠EAD=∠EDA ,此为解题的关键性结论;证明∠EAD=∠EDA ,即可解决问题.
【解答】证明:(1)∵AD 平分∠BAC ,
∴∠EAD=∠DAC ,
∵DE ∥AC ,
∴∠DAC=∠ADE ,
∴∠ADE=∠EAD ,
∴AE=ED,
∴△AED 是等腰三角形;
(2)∵AD 平分∠BAC ,DE ∥AC ,
∴∠EAD=∠CAD ,∠EDA=∠CAD ,
∴∠EAD=∠EDA ,
∵BD ⊥AD ,
∴∠EBD +∠EAD=∠BDE +∠EDA
∴∠EBD=∠BDE ,
∴DE=BE,
∴△BDE 是等腰三角形.
【点评】该题主要考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、平行线的性质等几何知识点的应用问题;灵活运用有关定理来分析、判断是解题的关键.
作文四:《生活中的轴对称》800字
生活中的轴对称
河北张家口市第十九中学 贺峰
数学来源于生活,又服务于生活,我们学习了轴对称知识以后,利用它可以解决一些生活中的实际问题,现以2006年中考试题为例为同学们讲解轴对称在实际生活中的应用:
一、在镜面中的对称
例1从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是 ,该车的后5位号码实际是 。
析解:汽车的后视镜与车牌的号码所在的平面平行,因此对称轴使像与实物成左右对称,可以作出号码关于对称轴在左面或右面的对称图形即可,所以答案为BA629, 说明:解决此类问题时,可以将卷面向左或向右翻转,从反面就可以看到结果了。
二、在水面中的对称
例2如图2是一辆汽车车牌在水中的倒影,则该车的牌照号码是
( )
(A)W17639 (B)W17936
(C)M17639 (D)M17936 图2
析解:因为车牌所在的平面与水面垂直,因此对称轴使像与实物
成上下对称,因此作出车牌倒影关于对称轴在上面的对称图形即可,所以答案选D。 说明:解决此类问题时,可以将卷面向上或向下翻转,从反面就可以看到结果了。
三、在台球桌上的对称
例3台球是一项高雅的体育运动.其中包含了许多物理学、几何学知识。图3是一个台球桌,目标球F与本球E之间有一个G球阻挡。
(1)击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边.经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点?请在图3中用尺规作出这一点H.并AB 作出E球的运行路线;(不写画法.保留作图痕迹)
析解:本题将课本习题加以改造,以打台球运动为背景,将学生置身于一个击球者的位置来考查学生的数学知识,设计可谓C D图3 新颖,背景贴近生活。如图4,作点E关于直线AB的对称点
E1,连接E1F,E1F与AB交于点H,球E的运动路线就是EH
→HF. AB 说明:台球中三球一线如何击打问题,正是打台球问题中的难
点,而其中蕴含的数学知识,正是数学中的轴对称原理。 C D图4
作文五:《生活中的轴对称》4500字
8. 已知点P 在线段AB 的中垂线上,点Q 在线段AB 的中垂线外,则( ). A. P A+PB>QA+QB B. P A+PBAC,AD ⊥BC ,垂足为D ,P 为AD 上任一点. 求证:PB-PC>AB-AC.
A
B D C
21. 如图5-1-18所示,在不等边△ABC 中,AB =2,AC =3,AB 的垂直平分线交BC 于点E ,AC 的垂直平分线交BC 于点N .
⑴若BC 边长为整数,则△AEN 的周长为 ⑵①若∠BAC =70°,则∠EAN 的度数为; ②若∠BAC =100°,则∠EAN 的度数为 ③若∠BAC ≠90°,请直接写出∠BAC 和∠EAN 之间的数量关系,并画出相应的图形.
A
M
B E N C
22. 如图5-1-18所示,AD ∥BC ,CD =2AD ,过点D 作DE ∥AB ,交∠BCD 的平分线于点E ,连接BE ,延长DE 交BC 于F ,CD=2CF . ⑴求证:BC=CD.
⑵若△BCE 绕点C 顺时针旋转90°得到△DCG ,连接EG . 求证:CD 垂直平分EG . ⑶延长BE 交CD 于点P ,求证:P 是CD 的中点.
A
D
E
G
B F C
23.(1)(四川内江) 如图5-1-20所示,在矩形ABCD 中,AB =10,BC =5,点E 、F 分别在AB 、CD 上,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使点A 、D 分别落在长方形ABCD 外部的点A 1、D 1处,则阴影部分图形的周长为( ).
A.15 B.20 C.25 D.30
D
F
C
A E
D 1
A 1
B
(2)(中国台湾) 图5-1-21(a ) 所示的长方形ABCD 中,E 点在AD 上,且BE =2AE . 分别以BE 、CE 为折线,将点A 、D 向BC 的方向折过去,图5-1-21(b ) 为对折后A 、B 、C 、D 、E 五点均在同一平面上的位置图. 若图5-1-21(b ) 中,∠AED =15°,则∠BCE 的度数为( ). A.30° B.32.5° C.35° D.37.5°
(b )
C
(a )
24.(四川凉山州) 如图5-1-22所示,∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中,那么击打白球时,必须保证∠1的度数为( ). A.30° B.45° C.60° D.75°
25. 如果直线l 1、l 2相交成30°的角,交点为O ,P 为平面上任一点,若作点P 关于l 1的对称点P 1是第1次,再作点P 1关于l 2的对称点P 2是第二次,以后继续轮流作关于l 1、l 2的对称点. 那么经过 次后,能回到点P .
27. 某台球桌面为如图5-1-24所示的长方形ABCD ,小球从A 沿45°角击出,恰好经过5次碰撞到B 处,则AB :AD =( ).
A. 1:2 B. 2:3 C. 2:5 D. 3:
5
D
C
2. 在下列说法中,正确的是( ).
A. 如果两个三角形全等,则它们必是关于直线成轴对称的图形 B. 如果两个三角形关于某直线成轴对称,那么它们是全等三角形 C. 等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形
D. 一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形 3. 下列图形中对称轴最多的是( ).
A. 等腰三角形 B. 正方形 C. 圆 D. 线段
4. 如图5-2-1所示,有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( ). A. 在AC 、BC 两边高线的交点处 B. 在AC 、BC 两边中线的交点处
C. 在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 D. 在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处
A
B C
5. 如图5-2-2所示,OP 平分∠AOB ,PD ⊥OA ,点C 是射线OB 上一动点,若PD =2,则PC 的最小值是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
B
C O D A
6. 如图5-2-3所示,在Rt △ACB 中,∠ACB =90°,∠A =25°,D 是AB 上一点. 将Rt △ACB 沿CD 折叠,使点B 落在AC 边上的点B' 处,则∠ADB' 等于( ). A.25° B.30° C.35° D.40°
A
B'
D
C
B
7. 如图5-2-4所示,DE 是△ABC 中AC 边的垂直平分线,若BC =8cm,AB =10cm,则△EBC 的周长为( )cm.
A.16 B.18 C.26 D.28
A
D
E B
C
11. 如图5-2-8所示,在△ABC 中,∠B =80°,DE 是AC 的垂直平分线,且∠BAD :∠BAC =1:3,则∠C .
A
E
12. 如图5-2-9所示,BD 垂直平分线段AC ,AE ⊥BC ,垂足为E ,交BD 于P 点,PE =3cm,则P 点到直线AB 的距离是 cm.
B
D C
A
B
P
E
D
13. 如图5-2-10所示,∠AOB 内一点P ,P 1、P 2分别是P 关于OA 、OB 的对称点,P 1P 2交OA 于点M ,交OB 于点N ,若P 1P 2=5cm,则△PMN 的周长是.
A
P 1
C
M
P
O N B
P 2
15. 如图5-2-12所示,在△ABC 中,AB=AC,AD 是BC 边上的高,点E 、F 是AD 的三等分点,若△ABC 的面积为12cm 2,则图中阴影部分的面积是 cm 2.
A
E F
B D C
22. 为了美化环境,在一块正方形空地上分别种植四种不同的花草. 现将这块空地按下列要求分成四块:(1)分割后的整个图形必须是轴对称图形;(2)四块图形形状相同;(3)四块图形面积相等. 现已有两种不同的分法:(1)分别作两条对角线(如图5-2-19(a ) );(2)过一条边的四等分点作这边的垂线段(图5-2-19(b ) )(图5-2-19(b ) 中两个图形的分割看作同一方法). 请你按照上述三个要求,分别在图5-2-19(c ) 和图5-2-19(d ) 的两个正方形中给出另外两种不同的分割方法. (正确画图,不写画法)
(a ) (b ) (c ) (d )
23. 如图5-2-20所示,已知△ABC 和直线MN. 求作:△A'B'C' ,使△A'B'C' 和△ABC 关于直线MN 对称. (不要求写作法,只保留作图痕迹)
M
A
B
C
M
B
N
A
N
C
(a ) (b )
26. 如图5-2-23所示,△ABC 是边长为2的等边三角形,D 是AB 边的中点,F 是BC 边上的动点,E 是AC 边上的动点,当E 、F 的位置在何处时,才能使△DEF 的周长最小?简要说明做法.
27. 如图5-2-24所示,AD 平分∠BAC ,P 是射线AD 上一点,P 与A 不重合,AC>AB. 求证:PC-PBOC, OB>OD. 求证:AD +BC>AB+CD.
作文七:《生活中的轴对称》4700字
第八章 生活中的轴对称
第三节 探索轴对称的性质
,一, 教学设计
?教学目标
知识与技能目标
1(学生通过自己动手~探索轴对称的基本性质~理解对应点所连的线段被
对称轴垂直平分的性质。
2(能用轴对称性质解决实际问题。
3(通过本节课学习~逐步培养学生的观察能力与分析能力 过程与方法目标
通过实际生活中轴对称图片的展示、学生经历自己动手探索轴对称性质、并学会用性质解决实际问题的过程~逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
情感与态度目标
1(通过本节课学习~学生能充分感受到数学源于实践并服务于实践~充分
体现了理论与实践的辩证关系。
2(轴对称是生活中大量存在的一种图形~通过研究它的性质~让学生充分
感受到数学的有用性和实用性。
3(学生以轴对称图形的美~感受到数学学科的美~从而更加积极主动地学习数学知识。
4(学会与人合作~并能与他人交流思维的过程和结果。
?教学重点
探索轴对称性质。
?教学难点
概括和归纳轴对称的性质是本节的难点。由于学生受到年龄、思维能力以及所学知识的限制~不能很好地将观察到的现象归纳和概括~为了突破这一难点~教学中采取学生自己动手折纸、探索轴对称性质~以此激发学生的学习兴趣。再通过教师的提问~引导学生逐步归纳出观察到的结论。 ?教具准备
多媒体、普通纸片、钢笔、铅笔、量角器、刻度尺、小镜子 ? 教学过程设计
教 学 活 动
教师活动 学生活动 活动说明
1
一、创设情境 通过这一教学活动
学生进行观察、列1(请同学们列举我们教学生能充分感受到数学
举:如黑板、日光灯管、室里哪些物体是成轴对来源于实践~生活中处处
电视柜、窗户等。 称的, 有数学~从而激发学生的
2(用图形计算器,或电求知欲~更加积极主动地
学生观看、欣赏 脑、手工剪纸,展示生活投入到学习中去。
中的轴对称图形。
3(用图形计算器,或电学生观看、欣赏
脑、手工剪纸,展示成轴
对称的两个图形。
学生按(1)、(2)、(3)二、探索轴对称的性质
步骤完成。 实验一: 1( 请同学们将一张纸片 按以下步骤做一做: m(1)将纸片折叠一次~
并在折痕上任取两点
A、B,(2)继续折叠~AB 使点A、点B重合,
(3)将纸展开~沿第二
条折痕画直线m。 学生1:点A、B在2( 想一想:(1)点A与点 直线m异侧。 B关于直线m有什么 生2:点A、B到直样的位置关系,
2
线m的距离相等。
教师对学生得出的生3:点A、B不仅
正确结论加以肯定~对错到直线m的距离相等~而
误结论给予点拨 且关于直线m成轴对称。 学生进行度量、分小(2)连结AB~请同学们用 组讨论~得出他们认为正量角器、刻度尺度量并判 确的结论。 断线段AB与直线m有什 生4:线段AB与直 么关系,
线m相交。
生5:线段AB与直
线m不仅相交~还可得出
它们互相垂直。
生6:因为点A、B
到直线m的距离相等~也
通过实验一~学生对 就是直线m过线段AB的
轴对称性质有了初步认中点~所以直线m是线段 识 AB的中垂线。实验二: 1( 请同学们将课前准备 好的纸片对折~然后 用笔尖扎出“14”这 个数字~将纸打开铺学生按步骤完成~得 平~用笔沿扎痕画出下图: ,如右图,。
m 2( 想一想: (1)图中折痕 ''A C C A m两旁的图形有什么
关系,(2)在上面过程学生通过动手、动1 2 中~点C与C′重合~脑、观察、分析~对轴对 3 4 '''点D与点D′重合。 B D E E D B 称的性质有了进一步的
连结C、C′的线段与认识。
直线m有什么关系,
点D与点D′呢,(3)
'' 线段AB与线段AB 有什么位置关系和大 ''小关系,CD与CD学生围绕教师设置
呢,(4)?1与?2有什的问题~分小组进行探索
么关系,?3与?4 讨论~选派代表回答探索
呢,说说你的理由。 结果。
3
下面请同学们完成学生完成课本第215学生通过第三次探课本第215页“做一做:” 页“做一做”。 索~对轴对称的性质从感
性认识上升到理性认识。
(一)类似于两个全等三角通过类比的方法学
形可以定义轴对称中的生可以比较容易地理解
对应点、对应线段、对应有关概念。 角。 (二)由以上实验及做一学生归纳轴对称的逐步培养学生抽象~做~由学生归纳出轴对称性质:1.对应点连线段被 概括能力。 的性质。 对称轴垂直平分。2.对应 线段相等~对应角相等。
三、试一试:
学生分小组讨论~推 ,1,如图~EFGH是选代表回答:1(作点A 矩形的台球桌面~有两球 关于EF的对称点A′ 分别位于A、B两点的位 2(连结A′B交EF置~试问怎样撞击A球~ 于点C则沿AC撞击黑球才能使A球先碰撞台边EF通过“试一试”逐步A~必沿CB反弹击中白反弹后再击中B球, 培养学生用性质解决实球B。 H G 际问题的能力。同时通过在学生回答之后~教 “试一试”学生能充分感师引导学生归纳出解决 。A 受到数学源于实践~并服此类问题实际上就是用 B 。 务于实践。 了轴对称的性质1。 E F 不仅用到轴对称性学生用课前准备好,2,请同学们动手做课质解决实际问题~同时也的小镜子自己动手通过本第217页“试一试”。
增加了数学课堂的趣味观察、分析得出结论。
性。
四、小结: 由学生归纳本节课
所学知识。
五、作业:
课本第216页,习题1、2。
,二,背景材料
4
各种角度的实物、剪纸或多媒体图片(
,三,例题精选
例1(如图~在俯南河n边的空地上~房屋开发商准备建一个三角形住宅小区~A、B两幢建筑物恰好建在三角形住宅小区的两个顶点处~现要求小区大门C建在俯河边且小区周边最短。如果你是这个项目的总设计师~请确定出小区大门C的最佳位置。并在图中标出。
B 。
A (
n
,四,练习精选
1(已知:如图7~直线l及异侧两点A~B(求作:直线l上一点P~使P与A~B两点距离之差最大(
提示:作A(或B)关于直线l的对称点A,(或B,)~直线A,B(或B,A)与直线l的交点即为所求(
2(已知:如图8~?MON及?MON内一点A(求作:?ABC~使B在OM上~C在ON上~且使?ABC的周长最小(
,五,知识拓展与提高练习
7(如图7—62~A、B、C是新建的三个居民小区(我们已经在到三个小区距离相等的地方修建了一所学校~现规划修建居民小区D(其要求是:(1)到学校的距离与其他小区到学校的距离一样,(2)控制人口密度~有利于生态环境建设,试确定小区D的最佳位置(
5
【综合能力训练】
1(下列说法中~正确的是, ,
A(两个全等三角形~一定是轴对称的
B(两个轴对称的三角形~一定是全等的
C(三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形 D(三角形的一条高线把三角形分成以高线为轴对称的两个图形 2(下列命题中~正确的是, ,
A(两个全等的三角形合在一起是一个轴对称图形
B(等腰三角形的对称轴是底边上的中线
C(等腰三角形底边上的高就是底边的垂直平分线
D(一条线段可看作以它的垂直平分线为轴的轴对称图形 3(下列图形中~不是轴对称图形的是, ,
A(一条直线B(一条线段
C(两条平行线 D(射线及其一侧有两点
4(在直线、线段、角、两条平行直线、两条相交直线这些图形中~轴对称图形
有, ,
A(5个 B(4个 C(3个 D(2个
A'B'C'5(如下图~?ABC和?关于直线l对称~下列结论中:,1,?ABC
A'B'C'BAC',B'ACCC'B'C'??,,2,?,,,3,l垂直平分,,4,直线BC和的交点不一定在l上~正确的有, ,
6
A(4个 B(3个
C(2个 D(1个
6(设A、B关于直线MN对称~则________垂直平分________( 7(如果一个三角形是轴对称图形~且它的对称轴不止一条~则它是________三角形(
8(已知线段AB~直线CD?AB于O~OA,OB~若点M在直线CD上~则MA,________,若NA,NB~则点N在________________(
9(?ABC中~AC的垂直平分线交AC于E~交BC于D~?ABD的周长为12cm~AC,5cm~则?ABC的周长为________(
A'B'C10(已知:?ABC和直线MN~其中点C在MN上~求作?~使它与?ABC关于直线MN对称(
11(如下图~AD是?ABC中的?A平分线~且AB,AC~求证:BD,DC(
7
12(如下图~?ABC中~AB,AC~点M、N分别在BC所在直线上~且AM,AN(求证:BM,CN(
13(如下图~?中~是的中点~、分别在、上~且?(求ABCMBCEFACABMEMF证:EF,BF,CE(
14(已知~如下图?ABC中~?ACB为直角~CM?AB于M~AT平分?BAC交CM于D~交BC于T~过D作DE?AB交BC于E(
求证:CT,BE(
,六,教学反思与点评
新课程中知识传授者不再是教师唯一的或常规的角色~教师要改变过于强调知识传授倾向~帮助学生努力形成积极主动的学习态度~注重培养学生的独立性和自主性~引导学生质疑、调查、探究~在实践中学习。本节课由生活中轴对称图形的引入~最后到性质的应用~让学生感到数学的有用性、实用性~激发学生的学习热情。通过学生自己动手实验探索轴对称的性质~学生亲身经历数学知识的产生、发展的思维过程~从中逐渐提高思维能力~同时也学会学习。
,七,学情分析
8
本节课从学生列举教室里成轴对称的物体到自己做实验~不断探索、发现并概括出轴对称性质~充分体现了以学生为主体的教学活动。在这一过程中~学生不仅学到了数学知识~同时也逐渐学会学习。
,八,教学建议
本节课重点是轴对称性质的探索~难点是从探索过程中抽象概括出性质。在教学中~应尽可能通过从实际生活中轴对称图形引入~让学生亲身体验到数学知识来源于实践~并且通过轴对称图形的美~感受到数学学科的美~从而激发学生的学习积极性。学生通过两个实验及“做一做”~对轴对称性质从感性认识逐渐上升到理性认识~最后概括出轴对称性质。这样学生通过自己动手实验~探索轴对称性质的产生过程~加深了对性质的理解~培养了学生观察、分析、归纳、概括~并能运用性质解决实际问题的能力。
9
10
作文八:《生活中的轴对称》4600字
第七章 生活中的轴对称
知识框架:
①一个图形沿某一条直线对折,直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。 ②两个图形沿某一条直线折叠,这两个图形能完全重合,就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。
③常见的轴对称图形:线段(两条对称轴),角,长方形,正方形,等腰三角形,等边三角形,等腰梯形,圆,扇形
典型例题:
例1.如图所示,下列图案是我国几家银行的标志,其中不是轴对称图形的有( )
例2、观察下图中各组图形,其中成轴对称的为 ( ) .(只写序号)
针对练习: (一)、判断题
1.轴对称图形只有一条对称轴.( )
2.轴对称图形的对称轴是一条线段.( )
3.两个图形成轴对称,这两个图形是全等图形.( ) 4.全等的两个图形一定成轴对称.( ) (二) 选一选:
1. 下列图形中,是轴对称图形的为( )
2.如图,下列轴对称图形中对称轴最多的是( )
2:简单的轴对称图形(角、线段、等腰三角形) 1、角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等。
2
∵ ∠1=∠2 PB⊥OB PA⊥OA ∴ PB=PA
①如下图,OC平分∠AOB,D为OC上任一点,DE⊥OB于E,若DE=4 cm,则D到OA的距离为
_____.
2、线段垂直平分线:
①概念:垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称:中垂线 ②性质:线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
∵ OA=OB CD⊥AB ∴ PA=PB
③如图1所示,DE是AB的垂直平分线,交AC于点D,若AC=6 cm,BC=4 c则△BDC的周长是________.
C
AEB
3、等腰三角形
1、等腰三角形:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、等腰三角形的性质:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(简称:等边对等角)
(2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),
(3)等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3、等腰三角形的判定:
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形。
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边也相等(简称:等角对等边)。
4.△ABC中,∠A=40°,∠B=70°,则△ABC为_____三角形.因为 . 4、等边三角形
1、定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、等边三角形的性质:
(1)具有等腰三角形的所有性质。
(2)等边三角形的各边都相等,各个角也都相等,并且每个角都等于60°。 推论:直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、等边三角形的判定
(1)三边都相等的三角形是等边三角形。 (2)三个角都相等的三角形是等边三角形
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
4、如图,AD是△ABC的对称轴,∠DAC=30°,DC=4厘米,则△ABC是 三角形,△ABC的周长为 。
典型例题
例1.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是 ( )
A.三角形底边上的高 B .三角形顶角的平分线
C.三角形底边上的中线 D. 三角形底边的垂直平分线
例2.等腰三角形两边的长分别为2cm和5cm,则这个三角形的周长是 ( )
A.9cm B.12cm
C.9cm和12cm D.在9cm与12cm之间 例3. P是∠ABC平分线BD上的任一点,点Q在边BC上,且PQ=2,则点P到另一边AB的距离是( )
A.等于2cm B.大于2cm C.小于2cm D.小于或等于2cm
针对练习:
1. 如图2,∠1=∠2,PD⊥AB,PE⊥BC,垂足分别为D、E,则下列结论中错误的是( )
C
2
D
A
A.PD=PE B.BD=BE C.∠BPD=∠BPE D.BP=BE
2.如图,直线l1,l2,l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离
ll2
相等,则可供选择的地址有( )
lA.1处 B.2处 C. 3处 D.4处
3.△ABC中,AD⊥BC于D,且BD=CD,若AB=3,则
AC=_____. 4.等腰三角形的一个角为100°,则它的两底角为_____.
5.底角等于顶角一半的等腰三角形是_____三角形,画出此三角形斜边上的高,这时图中有_____个等腰三角形.
6.等边三角形有_____条对称轴.
7.等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_____.
8.(分类讨论思想)等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分,则此三角形的底边长为_____.
9.如图,已知:△ABC中,BC∠BDC
作文九:《生活中的轴对称》6900字
第五章 生活中的轴对称
第一课时 5.1 轴对称现象
一、学习目标:1、经历观察、分析现实生活实例和典型图案的过程,认识轴对称和轴
对称图形培养学生探索知识的能力与分析问题、思考问题的习惯。
2、会找出简单对称图形的对称轴, 了解轴对称和轴对称图形的联系与区别。教 学 反 思
二、学习重点:
通过对现实生活实例和典型图案的观察与分析,认识轴对称和轴对称图形,
会找出简单的轴对称图形的对称轴。
三、学习难点:找出简单轴对称图形的对称轴与理解轴对称和轴对称图形的联系与区别 (一)预习准备
(1)预习书
115~117页 (2)预习作业:
1.如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是( )
2.如图所示,下面的5个英文字母中是轴对称图形的有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图所示的图案中,是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (二)学习过程:
1、如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做_______图形,这条直线叫做_______。
2、对称轴是一条_______,有些轴对称图形可能有几条,甚至无数条对称轴。
3、把一个图形沿着一条直线翻折过去,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这_______图形成轴对称,这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。 4
、轴对称图形与轴对称的区别:
区别:轴对称是_______图形的位置关系,而轴对称图形是_______具有特殊形状的图形。 5.你认识世界上各国的国旗吗?如图7-4所示,观察下面的一些国家的国旗,是轴对称图形的有( )
A.甲乙丙丁戊 B.甲乙丁戊 C.甲乙丙
戊 D.甲乙戊
6.小红将一张正方形的红纸沿对角线对折后,得到等腰直角三角形,然后在这张重叠的纸上剪出一个非常漂亮的图案,她拿出剪出的图案问小冬,打开后的图案的对称轴至少有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
7.如图所示,从轴对称的角度来看,你觉得下面哪一个图形比较独特?简单说明你的理由.
教 学 反 思
8.观察如图所示的图案,它们都是轴对称图形,它们各有几条对称轴?在图中画出所有的对称轴.
9.如图所示的四个图形中,从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同??请指出这个图形,并简述你的理由.
拓展:
1.如图所示,以虚线为对称轴画出图形的另一半.
回顾小结:
1.如果一个图形沿某一条直线折叠后,直线两旁的部分能够,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做 。
2.对于两个图形,如果沿一条直线对折后,它们能,那么这两个图形成轴对称,这条直线就是 。
3.轴对称是指两个图形之间的和
关系。而轴对称图形是对一个图形而言,轴对称图形是一个具有特殊形状的图形。它们都有沿某条直线对折使直线两旁的图形能 .
第二课时 5.2 探索轴对称的性质
一、学习目标: 探索轴对称的基本性质,理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等的性质。
二、学习重点:理解“对应点所连的线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”的性质
三、学习难点:运用对称轴的性质。 (一)预习准备
(1)预习书118~119页 思考:轴对称有哪些性质? (2)预习作业:
1.以下结论正确的是( ).
A.两个全等的图形一定成轴对称 B.两个全等的图形一定是轴对称图形 C.两个成轴对称的图形一定全等 D.两个成轴对称的图形一定不全等 2.下列说法中正确的有( ). ①角的两边关于角平分线对称;
②两点关于连接它的线段的中垂线为对称;
③成轴对称的两个三角形的对应点,或对应线段,或对应角也分别成轴对称. ④到直线L 距离相等的点关于L 对称
A .1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.下列说法错误的是( ). A.等边三角形是轴对称图形;
B.轴对称图形的对应边相等,对应角相等; C.成轴对称的两条线段必在对称轴一侧;
D.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分. (二)学习过程:
(1)在轴对称图形中对应点所连的线段被对称轴_______。 (2)对应线段_______,对应角_______。
(3)轴对称图形变换的特征是不改变图形的_______和_______,只改变图形的_______。 (4)成轴对称的两个图形,它们的对应线段或其延长线相交,交点在_______上。 例1.已知Rt △ABC 中,斜边AB=2BC,以直线AC 为对称轴,点B 的对称点是B ′, ?如图所示,则与线段BC 相等的线段是______, 与线段AB 相等的线段是_______和_______.? 与∠B 相等的角是_______和_______, 因此,∠B=________.
例2.如图,牧童在A 处放牛,其家在B 处。A 、B 到河岸的距离分别为AC 、
BD ,且AC=BD,已知A 到河岸CD 的中点的距离为500m 。
(1) 牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水,所走的路程最短?在
图中作出该处并说出理由。
教 学 反 思
(2) 最短路程是多少m ?
C
D
河
A B
变式练习 如图,在金水河的同一侧居住两个村庄A 、B ,要从河边同一点修两条水渠到A 、B 两村浇灌蔬菜,问抽水站应修在金水河MN 何处两条水渠最短?
A
M
。
B
。 N
例3.如图,矩形ABCD 沿AE 折叠,使点D 落在BC 边上的点F 处,如果∠BAF=60°,那么∠DAE=_________.
变式练习 如图,把一张长方形纸片ABCD 沿BD 对折,使C 点落在E 处,BE 与AD 交于点O ,
写出一组相等的线段________(不含AB=CD,AD=BC)。
A O D
B 拓展:
5.如图,∠AOB 内一点P ,分别画出P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2,连接P 1P 2交OA 于M ,交OB 于N ,若P 1P 2=5cm,则△PMN 的周长为多少?
回顾小结:对应点所连的线段被对称轴 、 、 .
教 学 反 思
第三课时 5.3.1 简单的轴对称图形(一)
一、学习目标: 1.等腰三角形的有关概念,探索并掌握等腰三角形的性质;
2. 了解等边三角形的概念,并探索等边三角形的性质。 二、学习重点:等腰三角形的性质,等边三角形的性质。
三、学习难点:了解等腰三角形的性质、等边三角形的性质都是源于它们的轴对称 (一)预习准备
(1)预习书121~122页
思考:等腰三角形和等边三角形的性质? (2)预习作业:
△ABC 中,AB=AC。
(1)若∠A=50°,则∠B=______°,∠C=______°; (2)若∠B=45°,则∠A=______°,∠C=______°; (3)若∠C=60°,则∠A=______°,∠B=______°; (4)若∠A=∠B ,则∠A=______°,∠C=______°。 (二)学习过程:
1、有两边相等的三角形是等腰三角形,它是_______图形。 2、等腰三角形顶角的_______、底边上的_______、底边上的_______重合(也称“_______”),它们所在的直线都是等腰三角形的_______。 3、等腰三角形的两个底角_______。
4、三边都相等的三角形是_______三角形,也叫做_______三角形。 5、如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边_______。 例1、①等腰三角形的一个角是30°,则它的底角是______°
②等腰三角形的周长是24cm ,一边长是6cm ,则其他两边的长分别是__________ 变式练习.
(1)在△ABC 中,若BC=AC,∠A=58°,则∠C=_____,∠B=________.
(2)等边三角形的两条中线相交所成的钝角度数是_______.
例2、如图,在△ABC 中,已知AB=AC,D 是BC 边上的中点,∠B=30°,求∠BAC 和∠ADC 的度数。
A
B D
C
教 学 反 思
变式练习.如图,P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC=_______.
教 学 反 思
拓展:
12.如图,∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于F ,过F 作DE ∥BC 交AB 于D ,交AC 于E , 求证:BD+EC=DE.
13.如图,点D 在AC 上,点E 在AB 上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE
,求∠
A
的度数.
回顾小结:
(1)等腰三角形和等边三角形的轴对称性质 (2)三线合一
第四课时 5.3.2 简单的轴对称图形(二)
一、学习目标:1、经历探索简单图形轴对称性的过程,进一步体会轴对称的特征,发展空
间观念
2、探索并了解角的平分线、线段垂直平分线的有关性质。
二、学习重点:1、角、线段是轴对称图形
2、角的平分线、线段垂直平分线的有关性质 三、学习难点:角的平分线、线段垂直平分线的有关性质 (一)预习准备
(1)预习书~126页
思考:角平分线有什么特征?线段垂直平分线有什么特征? (2)预习作业:
1.下列图形中,不是轴对称图形的是( ).
A.角 B.等边三角形 C.线段 D.平行四边形 2.下列图形中,是轴对称图形的有( )个.
①直角三角形,②线段,③等边三角形,④正方形,⑤等腰三角形,⑥圆,⑦直角. A.4个 B.3个 C.5个 D.6个 3.下列说法正确的是( ).
A.轴对称图形是两个图形组成的 B.等边三角形有三条对称轴
C .两个全等的三角形组成一个轴对称图形;D .直角三角形一定是轴对称图形 4.如图,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,D 、E 为垂足. (1)若∠1=∠2,则有___________; (2)若CD=CE,则有___________.
(二)学习过程:
1、角是轴对称图形,它的对称轴是_______,角的平分线上的点到这个角的两边的距离_______。
2、线段是轴对称图形,它的一条对称轴是_______,另一条对称轴是线段所在的直线。
3、线段垂直平分线上的点到这条线段_______。
例1.如图,在△ABC 中,BC=10,边BC 的垂直平分线分别交AB ,BC 于点E 和D ,BE=6, 求△BCE 的周长.
变式训练1。如图,在△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,
A
AE=3cm,△ABC 的周长为13cm, 求△ABC 的周长。 E
B
C
教 学 反 思
例2.如图,已知∠C=90°,∠1=∠2,若BC=10,BD=6,则点D 到边AB 的距离为_____.
变式训练2. 如图,在△ABC 中,∠A=90°,BD 是∠ABC 的平分线,DE 是BC 的垂直平分线, 则∠C=_________
D
A
C
E
B
拓展:
1.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120°,D 、F 分别为AB 、AC 的中点,?DE?⊥AB ,GF ⊥AC ,E 、G 在BC 上,BC=15cm,求EG 的长度.
2.如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线DE 交边BC 于点D ,交边AB 于点E ,若△EDC
的周长为24,△ABC 与四边形AEDC 的周长之差为12,求线段DE 的长
E C
B D
回顾小结:
(1) 角是 图形。
(2) 角平分线上的点到这个角的两边的 相等。 (3) 线段是轴对称图形。
(4) 垂直并且 线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到这条线段的
距离相等。
教 学 反 思
第五课时 5.4 利用轴对称设计图案
一、学习目标:1、经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图过程,掌握有关画
图的操作技能,发展初步审美能力,增强对图形欣赏的意识。
2、能按要求把所给出的图形补成以某直线为轴的轴对称图形,能依据图形的轴对称关系设计轴对称图形。
二、学习重点:本节课重点是掌握已知对称轴L 和一个点,要画出点A 关于L 的轴对称点的画法,在此基础上掌握有关轴对称图形画图的操作技能,并能利用图形之间的轴对称关系来设计轴对称图形.
三、学习难点:掌握有关画图的技能及设计轴对称图形是本节课的难点。 (一)预习准备 (1)预习书128~129页 思考:如何作轴对称图形 (2)预习作业:
补全下列图形,使它成为轴对称图案
(二)学习过程:
轴对称的性质:在轴对称图形中,
(1)对应点所连的线段被对称轴_______。(2)对应线段_______,对应角_______。 1.下图中给出了图案的一半,虚线是这个图案的对称轴.
(1)你能猜出整个图案的形状吗?(2)画出它的另一半,证实你的猜想.
教 学 反 思
2.如图,直线L 是一个轴对称图形的对称轴,画出这个轴对称图形的另一半。
L
3.把下列各图补成以L 为对称轴的轴对称图形.
拓展:
1. 根据下列语句,用三角板、圆规或直尺作图,不要求写做法:
(1) 过点C 作直线MN ∥AB ; (2) 作△ABC 的高CD
(3) 以CD 所在直线为对称轴,作与△ABC 关于直线CD 对称的△A ′B ′C ′,并
说明完成后的图形可能代表什么含义。 ′
回顾小结:
本节课学习了已知对称轴L 和一个点如何画出它的对应点,以及如何补全图形,并利用轴对称的性质知道如何设计轴对称图形。
教 学 反 思
第五章 轴对称复习
一、学习目标:掌握轴对称的有关概念,掌握线段、角、等腰三角形的性质,并能灵活
应用上述知识解题。
二、学习重点:复习轴对称的基本性质,简单的轴对称图形,并会运用轴对称的性质解
决相关问题。
三、学习难点:轴对称与轴对称图形的关系和区别,灵活运用轴对称的性质解决相关问
题。
本章知识回顾
(一)基础知识
轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相
重合,则称这个图形是轴对称图形。
成轴对称:如果两个图形沿一条直线对折后,它们能完全重合,则称这两
个图形成轴对称。
对称轴:这一条直线叫对称轴
常见图形的对称轴
角:1条。(角平分线所在的直线)
线段:2条。(线段的垂直平分线和它本身)
等腰三角形:1条。(底边上的中线或高或顶角平分线)
等边三角形:3条。(三边上的“三线合一”)
长方形(矩形):2条。(对边中点所在直线)
正方形:4条(两对边中点和两对角线所在直线)
正n 边形:n 条
圆:无数条
(二)轴对称的性质
1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分
2、对应线段相等,对应角相等
(三)常见轴对称图形的性质
1、线段垂直平分线性质
(1)线段的垂直平分线是线段的一条对称轴
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段的两端距离相等
第 11 页 共 12 页 教 学 反 思
教 学 反 思 知识运用:
1.如图,已知AD 是BC 的中垂线,所能得到的结论是: 你能根据现有条件,推得∠ABD=∠ACD 。
2.如图,在△ABC 中,AB=AC=16cm,AB 的垂直平分线交
AC 于D ,如果BC=10cm,那么△BCD 的周长是_______cm.
2、角平分线性质
A
(1)角平分线所在直线是角的对称轴
(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等
3、等腰三角形 (1)等腰三角形是轴对称图形
(2)它的对称轴是底边上的中线、底边上的高、顶角的角平B F C 分线所在的直线。并且三线合一。
(3)等边对等角、等角对等边。
(4)等边三角形是特殊的等腰三角形。 4、等边三角形
(1)三边都相等的三角形是等边三角形(也叫正三角形)
(2)等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴。
(3)等边三角形三个内角都等于60°
知识运用
1、(1)等腰△ABC 中,AB=AC,顶角∠A=100°,那么底角 ∠
, ∠ C (2) △ABC 中,AB=AC,∠B=72°,那么∠A=
(3) 等腰△ABC 中有一个角为50°,那么另外两个角分别是 °
2、如图,在△ABC 中,AB=AC时, A (1)∵AD ⊥BC
∴∠ ____= ∠_____; ____=____
(2) ∵AD 是中线
∴____⊥____; ∠_____= ∠_____
(3) ∵ AD 是角平分线 D C B ∴____ ⊥____; _____=____
3.如图,P 、Q 是△ABC 边上的两点,BP=PQ=QC=AP=AQ, 求∠BAC 的度数。
第 12 页 共 12 页 P Q C
作文十:《生活中的轴对称》3600字
《生活中的轴对称》 一、【知识复习】 角平分线:(1)性质:①角平分线上的点相等.②三角形的三条角平分线,且这个点到相等. 垂直平分线:(1
)性质:①垂直平分线上的点相等(2)判定:到线段的两边的点,在这上 在直角三角形中如果一个锐角等于,那么它所对的直角边等于的一半
练习1. 如图,NM 是线段AB 的中垂线, 下列说法正确的有: .
①AB ⊥MN, ②AD=DB, ③MN ⊥AB , ④MD=DN,⑤AB 是MN 的垂直平分线. 2. 如图,△ABC 中,AB=AC=17,BC=16,DE垂直平分AB ,则△BCD 的周长是 。 3. 如图,△ABC 中,DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线,(1)若BC=12,则三角形AEG 的周长为
(2)若∠BAC=126,则∠EAG= 。(3)若DE 、FG 的延长线交于点P ,试问点P 是否在线段BC 的中垂线上?若在, 请说明理由
1题图 2题图 3题图
4. 如图,已知:∠C =90?,DE 是AB 的垂直平分线,D 为垂足,交BC 于E ,AB =2AC . 求证:CE =DE .
5. 如图所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC ∥OA ,PD ⊥OA ,若PC=4,求PD 的长.
B
C
O
A
1. 下列各式计算正确的是 ( )
224
A. a + a=a B. a
.czsx..
-1
÷a =
122222
C. D. (3x ) =6x (x +y ) =x +y 2a
A
B
2. 下列图形中,不是轴对称图形的是( ) ..
A .
B .
C . D .
D
第4题图
3. 下列说法:①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线,则EA =EB ,PA =PB ;②若PA =PB ,EA =EB ,则直线PE 垂直平分线段AB ;③若PA =PB ,则点P 必是线段AB 的垂直平分线上的点;④若EA =EB ,则过点E 的直线垂直平分线段AB .其中正确的个数有( )A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
4. 如图,AB //CD ,BD 平分∠ABC ,若∠D =40?,则∠DCB 的度数是().
A .100? B .110? C .120? D .130? 5. 若(x +m )(x -8)中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A 、8B 、-8 C、0 D、8或-8
6.如右图,AB ∥CD , ∠BED=110°,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE, 则∠BFD= ( )6题图
A. 110° B. 115° C.125° D. 130°
7. 如图所示,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE ⊥AD ,2CE=AC,那么CD 的长是( ) A .2 B.3 C.1 D.1.5
A
F
C
D E
C
7题图
8. 某人驾车从A 地沿高速公路前往B 地,中途在服务区停车熄火休息了一段时间。出发时油箱中剩油40升,到达B 地后发现油箱中剩油4升,则从A 地出发后到达B 地的过程中,油箱所剩油量y (升)与时间t (小时)之间的图像大致是( )
9题图
9. 已知D 为等边ΔABC 内一点,DA=DC,P 点在ΔABC 外,且CP=CA,CD 平分∠PCB ,∠P 为() A .20B. 25C. 30D. 40
10. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,其中第②个图形中一共有9个小圆圈,其中第③个图形中一共有12个小圆圈,...,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )
?
?
?
?
①②③
A. 21 B. 24 C. 27 D. 30 11. 随着人们生活水平的不断提高,汽车逐步进入到千家万户,小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路(如图所示),建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,这样可供选择的地址有( )处。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
12. 如图,Rt ?ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,角平分线AF 交CD 于点E ,FG ⊥AB 于 点G 。则下列结论中不正确的是:( )
A、∠ACD =∠B B、CE =CF =FG C、AC =AG D、CE =ED 13. -2+() -1-(-3) 0-(-2) -2-(-1) 2014=____
14. 如图,AB ∥CD ,∠B=68°,∠E=20°,则∠D 的度数为__________. 15. 若a -b =3, ab =10, 则a 2+b 2=________
16. 如图,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于E ,S △ABC =36m 2,AB =18cm ,BC =12cm ,则DE 的长是17. 已知x 2-kx +
1
2
1
是一个完全平方式,那么k 的值为 。 4
O
O
18. 在三角形纸片ABC 中,∠C=90, ∠A=30,AC=3,折叠该纸片,使点A 与点B 重合,折痕与AB 、A C分别相交于点D
和点E (如图),折痕DE 的长为
19如图已知△ABC 是等边三角形,D,E 分别为BC 、AC 上的点,且CD=AE,AD 、BE 相交于点F ,BQ ⊥AD 于点Q, 下面结论
正确是____________
①?ABD ??BCE ②∠AFE =60 ③BF =BD ④BF =2FQ
14题图
D
C
A
F
E
15题图 18题图 19题图
20.化简(1)2(a +1) 2+(a +1)(1-2a ) (2)〔(x +2y ) 2-(x -y )(x +2y ) -5y 2〕÷(2y )
21. 先化简,再求值:(x +y ) -(x +y )(x +3y ) -5y
[
22
]÷(2y ) 其中x =-2,y =1。
2
o
22.如图,已知在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ,交BC 于点F .求证:BF=2CF.
23.如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ,求证:OE=OD
B C
24. 如图1,一条笔直的公路上有A 、B 、C 三地,B 、C 两地相距 150 千米,甲、乙两辆汽车分别从B 、C 两地同时出发,沿公路始终匀速相向而行,分别驶往C 、B 两地.甲、乙两车到A 地的距离
y 1、y 2(千米)与行驶时间 x (时)的关系如图2所示.
图2
图
1
根据图象进行以下探究:
(1)请在图1中标出 A 地的位置,并写出相应的距离:AB =km ,
AC =km ;
(2)在图2中求出甲汽车到达C 地的时间a ,并写出甲车从B 地到A 地与甲车从A 地到C 地的y 1与行驶时间x 的关系式. (3)A 地设有指挥中心,指挥中心及两车都配有对讲机,对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话, 请问两车至少有一辆车能与指挥中心用对讲机通话的时间一共有多长?(写出过程)
25. 如图所示,在△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外一点,且∠ABD =60°,
A
∠ACD =60°,求证:BD+DC=AB。
D C
26. 如图,在△ABC 中,点D 是∠BAC 的角平分线上一点,BD ⊥AD 于点D ,过点D 作DE ∥AC 交AB 于点E .求证:DE =BE .
27. (1)如图1,在等边△ABC 中,点M 是BC 上的任意一点(不含端点B 、C ),连结AM ,以AM 为边作等边△AMN ,连结CN .求证:∠ABC =∠ACN .
(2)如图2,在等边△ABC 中,点M 是BC 延长线上的任意一点(不含端点C ),其它条件不变,(1)中结论∠ABC =∠ACN 还成立吗?请说明理由. (3)如图3,在等腰△ABC 中,BA =BC ,点M 是BC 上的任意一点(不含端点B 、C ),连结AM ,以AM 为边作等腰△AMN ,使顶角∠AMN =∠ABC .连结CN .试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系,并说明理由.