作文一:《平行四边形的变形》3900字
课堂呼唤生活经验的数学化——小议“平行四边形容易变形”的教学 南京市北京东路小学 陈静 前两天学校举行了青年教师“青春风采杯”的数学课堂教学竞赛活动四年级的几位年轻教师共同执教了一节几何图形的概念教学课——《平行四边形的认识》在听课的过程中几位教师对于平行四边形容易变形的这个教学环节的处理不尽相同但我在听课的过程中却对这个问题产生了一些思考课后我与几位青年教师探讨了关于平行四边形的容易变形的特点并就如何就行教学进行了进一步的构思。 课例一某老师执教的《平行四边形的认识》片断 教师课前要求学生用吸管制作了平行四边形的学具 师同学们课前咱们已经亲自动手制作了平行四边形的学具在用吸管做学具的过程中要注意些什么 生要注意所使用的四根吸管中有两根长度一样可以稍微长一些另外的两根长度也一样可以短一些。 师对平行四边形对边相等。那么咱们轻轻拉动这个平行四边形学具的一组对边你发现了什么 生我发现平行四边形一拉就变成了其它的平行四边形再一拉就变成了长方形再拉又会变成平行四边形。 生老师我发现了这个平行四边形变得又扁又斜又形成了一个新的平行四边形了。 师你观察的真仔细同学们请你们想象一下如果我们继续拉动这个平行四边形那会形成多少不同的平行四边形呢请你们用自己的学具尝试着拉一拉看能得到什么结论 生每人拿出已经准备好的平行四边形的学具不断拉动进行观察 师大家有结论了么 生齐声回答有了 师谁能发表一下自己的意见 生我拉动学具发现了这个学具可以组成很多的平行四边形还能摆成长方形。 师大家同意他的意见吗 生齐声回答同意 师你们的发现很了不起这也就说明了平行四边形具有一个特征——你们知道是什么吗 生平行四边形比较容易变形。 师对平行四边形的确容易变形平行四边形的这个特点正好和哪一种图形的特征相反 生齐声回答三角形 师用同样的材料做成的学具为什么会组成不同的图形呢 生因为平行四边形不像三角形那样具有稳定性平行四边形容易变形。 师对三角形具有稳定性而平行四边形却容易变形。三角形的稳定性在日常生活中的应用我们已经讲过了那么你还能发现平行四边形的这个特点在生活中有哪些应用吗 生老师我看到了在电动门上就有平行四边形。 师电动门上为什么不用三角形而用平行四边形呢 生因为平行四边形容易变形而三角形具有稳定性用平行四边形电动门容易开关。 师你说得很好同学们还在那里看到了平行四边形容易变形的特点在生活中的运用呢 生电动门上有平行四边形. 生我家里墙上有挂衣架也是平行四边形的。 生老师我看到了你刚才给我们看的一幅图片上也有就是在楼梯扶手上也有平行四边形但是为什么在楼梯扶上要用平行四边形呢那不是容易变形的吗 师喔楼梯扶手上的平行四边形是固定的因此它并不容易变形。 …… 思考“拉得动”容易变形 平行四边形容易变形的特点是人所皆知的也是在进行平行四边形概念教学的过程中所有教师都会教授的一个知识点回顾以上这位教师的教学过程似乎都在深刻的挖掘平行四边形容易变形的特点并结合生活中的实际例子来充分的说明平行四边形的这个特点。应该说以平常的教学评价标准来看这位教师的教学目标已经达到了在他的教学过程中是运用了平行四边形的教具或者学具让学生进行拉动来帮助学生理解平行四边形容易变形的特点。学生在拉动平行四边形的过程中感受到平行四边形非常容易改变形状从而认识到平行四边形容易变形的特点并且还在生活中寻找到若干实例来映证平行四边形容易变形这个特点在生活实践中的运用。 但是学生为什么会产生这样的疑问“在楼梯扶上要用平行四边形吗那不是容易变形的吗”对呀平行四边形在楼梯扶手上时为什么就固定了不容易变形了呢 其实平行四边形容易变形
的特征和三角形具有稳定性的特征相反许多教师在教授三角形的稳定性时也经常运用三角形的学具让学生去用力拉扯然后发现怎样拉都不变形甚至有的学生把学具拉断了以后学具也没有没有变形。但学生形成的“深刻印象”只是停留使劲“拉”上在表面的热闹背后是否“拉不动”就表示图形具有“稳定性”“拉得动”就表示图形不具有“稳定性”其实深究三角形稳定性的概念内涵应该定义为“只要三角形的三条边长度固定这个三角形的大小和形状也完全固定”。由此可知三角形的稳定性和平行四边形的容易变形的特点都不应该仅仅落脚在能否拉动学具的浅显认识上而是应该深入挖掘“图形边长固定其形状和大小是否能完全固定”的概念内涵并由此展开教学。?造成理解上的歧义的一个重要原因就是数学中的不少词语如稳定性都是由日常语言中直接借鉴过来的因此如果对这一过程缺乏清楚的认识的话就容易造成意义的混淆包括日常意义对于学生数学学习的干扰。由此可见那位学生问及“在楼梯扶上要用平行四边形呢那不是容易变形的吗”这个问题时其实对平行四边形容易变形的特征理解已经偏离了当平行四边形被铸成扶手上的固定装饰时其四边长度确定两边夹角也就相应确定了那这个平行四边形的性状和大小也就具有唯一性了。由此说明在教师进行概念教学的过程中要特别注意数学概念由生活积累走向抽象的模式化过程。?即使我们是由生活中的相关对象或现象去直接引出数学概念仍然要有一个重新定义建构的过程。 那么怎样进行平行四边形容易变形的特点的教学呢经过思考我决定这样去尝试 课例二尝试执教的《平行四边形的认识》片断 师同学们如果有三根小棒我们能把它们围成一个三角形而且只要小棒的长度固定这个三角形的形状和大小也会完全固定这就是三角形的稳定性。假如我们增加一根小棒用四根小棒围成一个平行四边形会出现什么情况呢 教师提供四根固定长度的小棒生纷纷尝试用四根小棒围成平行四边形探究其中的规律。 生老师我们发现用四根小棒围成平行四边形可以围成好几种每一种的形状都不一样。 师你上来展示一下你围的方法好吗 生 师有没有其他的围法 生纷纷举手 师围法很多对吗也就是说当平行四边形的四条边的长度确定以后它的形状和大小是否能完全确定呢 生不能。 师你们想一想为什么会出现这样的情况呢这说明了什么 生这可能说明四边形不太稳定不像三角形那样具有稳定性。即使四条边的长度固定了形状或大小也不可能完全确定。 师你说得很好其实除了四边形不具有这样稳定性通过实践大家也会发现其它的多边形也不具有稳定性。你们有没有深入的想一想为什么只有三角形具有这样的稳定性呢 生轻声讨论 生我们想到了一个原因但不知道是不是这样。可能是因为三角形的三条边长度固定后三个角的度数也就相对固定了因此它的形状和大小也就完全固定了而平行四边形或者多边形的几条边的长度即使固定下来可是其中的角度大小不可能完全固定因此就会形成各种形状的四边形。 师你们的思考很有价值也就是说假如我们用四根小棒围成一个平行四边形就可能会有不同的围法假如我们不仅固定小棒的长度同时规定四边形中角的大小那四边形的形状就会完全确定了是吗 师其实当平行四边形的夹角度数确定时如?a已定也就说明平行四边形相邻两边BC到BE的距离被确定了那CE的长度也就一定了图形BCE正好构成一个三角形也就再一次说明三角形具有稳定性不易变形。 师:你们再用自己的学具验证一下我们刚才的发现好吗看看你们还有什么新的发现 生利用学具进行实验验证并汇报自己的发现我们发现平行四边形四条边长度已定但其角度变化时就可以形成很多不同的形状。 生我发现只要捏紧这个平行四边形的两个角这个平行四边形的性状就不会变了我知道其中的原因其实这个平行
四边形也就变成两个三角形了所以就不会变形了。 …… a B C D E 师经过验证同学们发现平行四边形边的长度确定时其形状和大小并不确定也就是说平行四边形不具有稳定性容易变形。 …… 再次思考 在这样的教学设计中教师始终紧紧把握“稳定性”的概念内涵把 “稳定”与“容易变形”加以比较从“围成图形的边的长度确定图形的形状和大小是否完全确定”这一点出发帮助学生把生活中积累的“稳定”的认识引导到数学概念的“稳定性”建构上。在教学的过程中教师没有把容易变形简单定义为“能不能拉动”而是从图形边的长度相对固定后是否图形的性状和大小就完全固定的角度出发让学生在实践操作中首先感受用长度固定的四根小棒能够围成形状和大小不完全相同的平行四边形让学生形成初步认识——四边形四条边的长度固定了其形状和大小也会发生变化然后让学生共同探究其中蕴含的规律学生很快发现在边的长度固定的情况下平行四边形的性状不能完全确定。然后教师再让学生深入思考究竟为什么平行四边形边的长度固定形状却会发生变化呢深究其中的原因是因为平行四边形的角度不确定而导致平行四边形容易变形。通过拉动自己制作的平行四边形的学具让学生进一步理解并巩固其已经形成的认识强化平行四边形不具有稳定性且容易变形的特点。 长期以来我们的数学教师们在教学平行四边形容易变形的特点时一直所采用的方法就是或者教师或者学生制作平行四边形的学具进行拉一拉的实验并简单的把能拉得的动的情况就称作容易变形这其实已经把图形“容易变形”也就是其不具有“稳定性”特点简单化生活化偏面化了应该说容易变形并不能简单等同于能否拉动就如同三角形的“稳定性”不能简单等同于“牢固性”和“确定性”一样。我们的课堂需要呼唤生活经验的数学化学校数学应该注重避免学生的思维走向“浅表化”“卡通化”数学概念的建构应注重对概念内涵的把握应该有必要的模式化过程。正如上述课例中的描述一样对于平行四边形容易变形的特点的教学应建立在突出其数学本质与内涵的基础上如果偏离了这个中心我们的教学就容易走向形式主义走向肤浅愿我们每一位教师都能认真思考教学过程中遇到?拿恳桓鑫侍庾既钒盐帐拍畹哪诤檬巫呦蛏钊搿?参考文献 ??郑毓信. 《学校数学必要的抽象》.人民教育.2006.3-4 .
作文二:《[中学]中考总复习:多变形与平行四边形--知识讲解(基础)》5300字
中考总复习:多边形与平行四边形--知识讲解(基础)1. 多边形
A:了解多边形及正多边形的概念;了解多边形的内角和与外角和公式;知道用任意一个正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌平面;了解四边形的不稳定性;了解特殊四边形之间的关系(
B:会用多边形的内角和与外角和公式解决计算问题; 能用正三角形、正方形、正六边形进行简单的镶嵌设计;能依据条件分解与拼接简单图形( (2)平行四边形
A:会识别平行四边形(
B:掌握平行四边形的概念、判定和性质,会用平行四边形的性质和判定解决简单问题(
C:会运用平行四边形的知识解决有关问题(
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、多边形
1. 多边形:
在平面内,由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形(
多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段( 2.多边形的对角线:
从n边形的一个顶点出发可以引出(n,3)条对角线,共有n(n-3)/2条对角线,把多边形分成了(n,2)个三角形(
3(多边形的角:
n边形的内角和是(n,2)?180?,外角和是360?. 【要点诠释】
(1)多边形包括三角形、四边形、五边形??,等边三角形是边数最少的正多边形.
(2)多边形中最多有3个内角是锐角(如锐角三角形),也可以没有锐角(如矩形).
(3)解决n边形的有关问题时,往往连接其对角线转化成三角形的相关知识,研究n边形的外角问题时,也往往转化为n边形的内角问题.
考点二、平面图形的镶嵌
1(镶嵌的定义
用形状,大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片,这就是平面图形的镶嵌(
2(平面图形的镶嵌
(1)一个多边形镶嵌的图形有:三角形,四边形和正六边形; (2)两个多边形镶嵌的图形有:正三角形和正方形,正三角形和正方形,正方形和正八边形,正三角形和正十二边形;
(3)三个多边形镶嵌的图形一般有:正三角形、正方形和正六边形,正方形、正六边形和正十二边形,正三角形、正方形和正十二边形.
【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点:几个图形的内角拼接在一起时,其和等于360?,并使相等的边互相重合.
考点三、三角形中位线定理
1(连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2(定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 考点四、平行四边形的定义、性质与判定
1(定义:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(
2(性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等,邻角互补;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心( 3(判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形(
4(两条平行线间的距离:
定义:夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离( 性质:夹在两条平行线间的平行线段相等(
【要点诠释】
1.平行四边形的面积=底×高;
2.同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等( 【典型例题】
类型一、多边形与平面图形的镶嵌
1((2012?南京)如图,?1、?2、?3、?4是五边形ABCDE的4个外角(若?A=120?,则?1+?2+?3+?4= (
【思路点拨】根据题意先求出?5的度数,然后根据多边形的外角和为360?即可求出?1+?2+?3+?4的值(
【答案与解析】
由题意得,?5=180?-?EAB=60?,
又?多边形的外角和为360?,
??1+?2+?3+?4=360?-?5=300?(故答案为:300?(
【总结升华】本题考查了多边形的外角和等于360?的性质以及邻补角的和等于180?的性质(
举一反三:
【变式】如图,小林从P点向西直走12米后,向左转,转动的角度为α,再走12米,如此重复,小林共走了108米回到点P,则α=_________.
【答案】40?.
2( (2011?十堰)现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )
A(正方形和正六边形 B(正三角形和正方形 C(正三角形和正六边形 D(正三角形、正方形和正六边形 【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.
【答案】A.
【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90?和120?,要镶嵌则需要满足90?m,120?n,
360?,但是m、n没有正整数解,故选A.
【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点:几个图形的内角拼接在一起时,其和等于360?,并使相等的边互相重合.
举一反三:
【变式】现有四种地面砖,它们的形状分别是:正三角形、正方形、正六边形、正八边形,且它们的边长都相等(同时选择其中两种地面砖密铺地面,选择的方式有( )
A(2种 B(3种 C(4种 D(5种
【答案】B.
类型二:平行四边形及其他知识的综合运用
3((2011?孝感)如图,在?ABC中,BD、CE是?ABC的中线,BD与CE相交于点O,点F、G分别是BO、CO的中点,连接AO(若AO=6cm,BC=8cm,则四边形DEFG的周长是( )
A.14cm B(18cm C(24cm D(28cm
【思路点拨】主要考查平行四边形的判定以及三角形中位线的运用,由中位线定理,可得EF?AO,FG?BC,且都等于边长BC的一半(分析到此,此题便可解答( 【答案】A.
【解析】?BD,CE是?ABC的中线,
1?ED?BC且ED=BC, 2
?F是BO的中点,G是CO的中点,
1?FG?BC且FG=BC, 2
1?ED=FG=BC=4cm, 2
1同理GD=EF=AO=3cm, 2
?四边形EFDG的周长为3+4+3+4=14(cm)(故选A(
【总结升华】本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理,三角形的中位线的性质定理,为证明线段相等和平行提供了依据(
4. 如图所示,?ABC中,?BAC=90?,延长BA到D,使,点E、F分别为边BC、AC的中点.
(1)求证:DF=BE;
(2)过点A作AG?BC,交DF于G,求证:AG=DG.
【思路点拨】(1)E、F分别为BC、AC中点,则EF为?ABC的中位线,所以EF?AB,.而
.则EF=AD.从而易证?DAF??EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证?D=?DAG即可.
【答案与解析】(1)?点E、F分别为BC、AC的中点,
? EF是?ABC的中位线.
? EF?AB,.
又? ,
? EF=AD.
? EF?AB,??EFC=?BAC=90?,??BAC=90?,??DAF=90.
又? F是AC的中点,?AF=CF,??DAF??EFC.?DF=EC=BE.
(2)由(1)知??DAF??EFC,??D=?FEC.
又? EF?AB,??B=?FEC.
又? AG?BC,??DAG=?B,
?? DAG=?FEC
??D=?DAG.
?AG=DG.
【总结升华】三角形中位线定理的作用:位置关系——可以证明两条直线平行;数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形.
举一反三:
【变式】如图,已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点,E、F分别是PA、PR的中点,点P在BC上从B向C移动,点R不动,那么下列结论成立的是( )
A(线段EF的长逐渐增大 B(线段EF的长逐渐变小
C(线段EF的长不变 D(无法确定
【答案】C.
5(如图:六边形ABCDEF中,AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,BC平行且等于FE,对角线FD
2?BD(已知FD=4cm,BD=3cm(则六边形ABCDEF的面积是_________cm(
【思路点拨】连接AC交BD于G,AE交DF于H(根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得平行四边形AEDB和AFDC(易得AC=FD,EH=BG(计算该六边形的面积可以分成3部分计算,即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积(
【答案与解析】
连接AC交BD于G,AE交DF于H(
?AB平行且等于ED,AF平行且等于CD,
?四边形AEDB是平行四边形,四边形AFDC是平行四边形,
?AE=BD,AC=FD,
?FD?BD,
??GDH=90?,
?四边形AHDG是矩形,
?AH=DG
?EH=AE-AH,BG=BD-DG
?EH=BG(
?六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD?BD=3×24=12cm(
故答案为:12.
【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形,根据面积公式进行计算(
6 .(2012?厦门)已知平行四边形ABCD,对角线AC和BD相交于点O,点P在边AD上,过点P作PE?AC,PF?BD,垂足分别为E、F,PE=PF(
3(1)如图,若PE=,EO=1,求?EPF的度数;
2(2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF=BC+3-4,求BC的长(
【思路点拨】(1)连接PO,利用解直角三角形求出?EPO=30?,再利用“HL”证明?PEO和?PFO全等,
根据全等三角形对应角相等可得?FPO=?EPO,从而得解;
1(2)根据三角形中位线定理可得PF?AO,且PF=AO,然后根据两直线平行,同位角相等可得2
?AOD=?PFD=90?,再根据同位角相等,两直线平行可得PE?OD,所以PE也是?AOD的中位线,然后
证明四边形ABCD是正方形,根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解(
【答案与解析】
(1)如图,连接PO,?PE?AC,PE= 3 ,EO=1,
EO3?tan?EPO=, ,PE3
??EPO=30?,
?PE?AC,PF?BD,
??PEO=?PFO=90?,
POPO, ,在Rt?PEO和Rt?PFO中,, ,PEPF, ,
?Rt?PEO?Rt?PFO(HL),
??FPO=?EPO=30?,
??EPF=?FPO+?EPO=30?+30?=60?;
(2)如图,?点P是AD的中点,点F是DO的中点,
1?PF?AO,且PF=AO, 2
?PF?BD,
??PFD=90?,
??AOD=?PFD=90?,
又?PE?AC,
??AEP=90?,
??AOD=?AEP,
?PE?OD,
?点P是AD的中点,
?PE是?AOD的中位线,
1?PE=OD, 2
?PE=PF,
?AO=OD,且AO?OD,
平行四边形ABCD是正方形, ?
设BC=x,
12232则BF=x+×x=x, 2422
?BF=BC+3-4=x+3 -4, 22
32?x+3-4=x, 24
解得x=4,即BC=4(
【总结升华】 本题考查了平行四边形的性质,三角形的中位线定理,正方形的判定与性质,(2)中判
定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键( 举一反三:
【变式】如图1,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(,2,,1),且P(,1,,2)是双
曲线上的一点,Q为坐标平面上的一动点,PA?x轴,QB?y轴,垂足分别为A、B(
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;
(2)当点Q在直线MO上运动时,是否可以使?OBQ与?OAP面积相等,
(3)如图2,点Q在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平
行四边形OPCQ周长的最小值(
图1 图2
【答案】(1)正比例函数解析式为,反比例函数解析式为(
(2)当点Q在直线MO上运动时,
设点Q的坐标为,,解得.
所以点Q的坐标为和(
(3)因为P(,),由勾股定理得OP,,
平行四边形OPCQ周长=(
因为点Q在第一象限中的双曲线上,所以可设点Q的坐标为,
由勾股定理可得,通过图形分析可得:
OQ有最小值2,即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时,线段OQ的
长度最小(
所以平行四边形OPCQ周长的最小值:(
作文三:《一种考虑剪切变形的平行四边形厚_薄板通用单元》15800字
C HINESE JO URNAL OF APPL IED M EC HA NICS Dec. 2003 2003 年 12 月
() 文章编号 :100024939 20030420136206
Ξ 一种考虑剪切变形的平行四边形厚/ 薄板通用单元
1 ,2122 2 夏桂云曾庆元李传习张建仁颜东煌
1 2( 中南大学 湖南长沙 410075) ( 长沙交通学院 湖南长沙 410076)
摘要 :根据 Timo shenko 二广义位移梁理论 ,构造了深梁位移场的插值函数 。利用斜坐标系与直角 坐标系的变换关系 、有限条带思想和深梁位移插值函数 , 构造了一种考虑剪切变形的平行四边
( ) 形厚Π薄板弯曲通用单元的位移 曲率 、剪应变 、转角 、横向位移插值函数 ,导出了刚度矩阵和非结 点荷载等效力 。并对简支Π固支方板 、Razzaque 斜板 、四边简支斜交板弯曲进行了数值计算 。算例 表明此单元有较好的精度 ,对于薄板不出现剪切闭锁 ,可适应于目前桥梁建设中大量采用的斜交板 桥结构分析 。
关键词 :斜板弯曲 ;厚Π薄板平行四边形通用单元 ;有限条带 ;剪切闭
锁 A 中图分类号 :O342 ; TB115 文献标识码 :
1 引言2 坐标变换与基本方程在我国公路建设的大潮中 ,随着高等级公路的 设平行四边形单元的夹角为 α, 直角坐标系为
修建 ,桥梁越来越服从线路的要求 ,出现了大量的斜 ox y z 、单元坐标系为 o x y z ,如下图 1 所示。
板桥结构 。对于斜板结构有限元分析目前主要采用 很显然 ,直角坐标系与单元坐标系的变换关系为 :
三角形板单元和等参单元 ,然而直接采用平行四边x α= x ? + ?yco s ()1 形斜板单元也是一种较好的选择 ,这样单元网格划 = αy y? sin 分简便 ,计算明了 。 板弯曲广义应变为 :
对于平行四边形板结构的分析 ,目前有一定的k X1 2 2 2 T 研究基础 。李国豪院士提出了各向异性斜板弯曲 5w 5w 5w k = k = - - - Y222 的平衡微分方程 ,并提出了实用的近似解方法 。王 5 x 5 y 5 x 5 y2 ,4 k X Y 荣辉借助坐标变换和有限条带法构造了薄板弯
5 ()2 曲平行四边形单元 。张充满用解析法研究了连续
6 利用传递法则有 : 铰接斜板桥的受力问题 。王磊基于康托洛维奇方 2 2 2 2 = 5 w/ 5 x = 5 w/ 5 ?x 法研究了平行四边形板弯曲问题 。这些研究都集中 k X 2 2 在薄板的范围 。本文利用斜坐标与直角坐标的变换 k = 5 w / 5 y Y
2 22 2 及厚/ 薄梁通用单元位移插值函数 ,用基于有限条带 αα1 5w cos 5w cos 5w = - ] [ -2 +2 22 22思想构造平行四边形厚 / 薄板弯曲单元的位移插值 α 5 x? 5 y? α5 x? sinsinα 5 y? sin
2 2 2 () 函数 曲率 、剪切应变 、转角 、横向位移,导出了刚度 α5w 5w 1 5w c o s = - 2 = - 2 [ - ] k X Y25 x 5 y αα5 x? 5 y? sin sin 5 x? 矩阵 。所构造的单元考虑了剪切变形 ,适用于厚/ 薄
()() 3 斜 矩板弯曲的分析 ,不存在剪切闭锁 。
Ξ 来稿日期 :2002212230 修回日期 :2003206219
第一作者简介 :夏桂云 ,男 ,1972 年生 ,中南大学博士生 ,长沙交通学院讲师 ;研究方向 :桥梁工程 1
第 4 期 夏桂云 ,等 :一种考虑剪切变形的平行四边形厚/ 薄板通用单元 137
2 2 5 w/ 5 x 不再保持相等。两者差值为梁的横向剪切应 5w 5w , χ= , χ记 := 22X Y [ 7 ] 5 x 5 y ??γ 变 。厚梁的物理控制方程如下:2 2 2 5w 5w 5w d wd () = 4 χ= 2 + ( X Y - [ C ?θ) - ] = q 5 x? 5 y?5 x? 5 y? 5 y? 5 x?d x d x ()T T 6 则 { k k k } = X Y X Y χ() [ T T ] ?{ - χχ5 - } XY X Y θdd w d ) ( θ) - ( - C ?- = mD ? d x d x d x 式中
式中 : D = EI 、C = k GA 。其中 E 为弹性模量 , G 为 0 1 0 2抗剪模量 , I 为抗弯惯矩 , A 为截面面积 , k 为剪切系 αco sα 1 co s- 222[ 7 ] ααα数。[ T T ] = sin sin sin
1 不考虑集度荷载 ,设 q 、m 为零 , 不考虑边界条 α2co s - 0 ααsinsin () 件时式 6的解为 : 2 D d d F F ()θ w = F - 7 2;=C d x d x
312 厚 / 薄梁单元的构造
取上述解析解为试函数 , 构造厚 / 薄梁通用单
元。设 F 为三次多项式 :
2 3 ()F = [ 1 x x x ] ?{λ} 8
T 图 1 平行四边形板单元坐标系 图 2 厚 / 薄梁单元 其中 :{λ} = {λ λλ λ} 为待定系数。 12 34
() () 将 8式代入 7式 ,得到横向位移 w 、转角位
θλ移与{} 的关系 , 再利用梁单元两端结点位移的 3 厚 / 薄梁通用单元
λ点协调条件解出{} ,有 : 311 本构方程 2 D 6 D 2 3 1 x - 7w x x - xTimo shenko C C 提出了二广义位移梁理论 , 本文 = δ()[ T ]{} 9 θ 23 x 0 1 2 x 用此理论的解析解作为试函数来构造厚 / 薄梁通用 T 单元的位移场插值函数。厚梁理论采用直线假定 ,放 式中 :{δ} θ w θ} 为单元结点位移 = { w 12 2 1
向量 。 θ弃直法线假定 ,转角在一般情况下与中线倾角
3 z L 3 z L 2 2 1 1 ) ) 1 - - ( + ( - 3 z z z 3 z z z 1 21 1 21 2 2 2 L2 L
0 1 0 0 [ T ] = 3 z L 1 2 1 3 z L 2 ) ) - + - - 3 z ( 3 z ( 222 2 2 L2 L
2 z / L z - 2 z / L z 2 22 22 ) (其中 : z = 2 D/ C , z = 1/ [ L + 12 D / C] 1 2
有了横向位移和转角位移后 ,可建立曲率、剪应变的插值函数关系 。其中曲率 :
()10 χ θδδ= d/ d x = [ A ] [ T ]{} = [ B ]{} 1
式中 [ A ] = [ 0 0 2 6 x ]
() () + 1/ L - 3 z L ] [ B ] = [ 12 z x / L - 6 z 6 z x - 1/ L + 3 z L - 12 z x / L + 6 z 6 z x 2 1 2 2 2 2 2 22 剪应变 : ()γ = [ ( d w/ d x ) - θ] = [ R ] ?[ T ] ?{δ} = [ B ]{δ} 11 2
式中[ R ] = [ 0 0 0 - 6 D / C ]
[ B ] = [ - 6 z z / L - 3 z z 6 z z / L - 3 z z ] 2 1 2 1 2 1 2 1 2 梁单元系统势能为 : L θC d w 2 2 D d( ()) ( θ)( + θ)θ12 w , = { - - qw - m} d x 7 0 2 d x 2 d x ?
() 应用最小势能原理 ,对式 12变分 ,可得到单元的有限元平衡方程 : e e e()[ K ] { q} = { R } 13
式中单元刚度矩阵为
138 应 用 力 学 学 报 第 20 卷
L L T [ B ] d x [ B ]?C ? 1 1 2 2 b s 0 ?0
其中弯曲刚度矩阵 2 2 22 2 212 z L 6 z L - 12 z L 6 z L 2 2 2 2
2 32 22 3 3 z L - 6 z L 3 z L - 1/ L + 1/ L 2 2 2 [ K] = D ? b 2 2 2 对12 z L - 6 z L 2 2
2 3 称3 z L + 1/ L 2
剪切刚度矩阵
2 22 2 36 z 1 z 2 36 z 1 z 2 2 2 2 2 - 18 z z 18 z z 1 21 2L L 2 2 2 22 2 9 z z L 18 z z 9 z z L - 1 2 1 2 1 2 [ K] = C ? s 2 2 36 z z 1 22 2- 18 z z 对1 2 L 2 2 9 z z L 称1 2
() 等效结点荷载可根据式 9中横向位移与转角位移的插值函数进行。并且其均布荷载的结点等效力与初等
梁单元相同。
4 平行四边形单元位移函数的构造
和单元刚度
在平行四边形单元内取纵横向有限条带 , 如图 3 所
示。有限条带的位移模式按厚 / 薄梁通用单元的位移模式
() 来构造 。根据式 10可知横向有限条带的曲率为 图 3 平行四边形斜板弯曲单元的纵横向条带
T θαθαχ = [ X A ] ?[ T A ] ?[ w - sin w - sin] XLYLR Y R
T [ X A ] ?[ TA ] ?[ N I ] [ w = Lθw θ() R]14 Y?L Y? R
[ X A ] = [ 0 0 2 6 x? ] 式中
1 3 z a 3 z a2 1 2 ) ) 1 - - ( ( 3 z z z +3 z z z 1 21 1 21 2 a 2 2 a 2
0 1 0 0
[ TA ] = 3 z a 3 z a2 1 2 1 ) ) - ( ( - 3 z + 3 z 22 2 a 22 a 2
2 z 2 z 22z z 22a a
1 对
0 α - sin 称[ N I ] = 0 0 1
0 0 0 α- sin 3 Et 2 D 1 5 Gt 其中 ,= C = z = , z = D 1 2 2 ,2 C 6 + 12 D / Ca () 12 1 - u
纵向条带的横向位移根据厚 / 薄梁单元横向位移模式可知 :
T T θαθαw = [ Y C] ?[ TB ] ?[ w sinw sin] θL 1 ?X1 4 ?X4 N N ] ?[ w θ= [ N N 3 4 1 X?1w ] 124 X?4 T T θN N ] ?[ w 3 4 2 X?2()θαθαN θ15 w = [ Y C] ?[ TB ] ?[ w sinw sin] = [ N 2w ] R 2 ?X2 3 ?X3 13 X?3 326 Dy? / C ] 式中[ Y C ] = [ 1 y? - 2 D/ C y? - y?
第 4 期 夏桂云 ,等 :一种考虑剪切变形的平行四边形厚/ 薄板通用单元 139
3 ?z b 3 ?z b 2 2 1 1 ) ) 1 - - 3 z z ( 3 z z ( ?? ?? 1 2z? +1 2z? -1 1 2 b 2 2 b 2 1 0 0 0 [ TB ] = 3 z? b 3 z? b 2 2 1 1 ) ) - - 3 z? ( 3 z? ( 2+ 2- 2 b 22 b 2
2 z? 2 z? 22- z? z? 2 2 b b 3 Et2 D 1 5 Gt 其中D = ,C = z? = , z? = 21 2 ,2 C 6 b() + 12 D / C12 1 - u
转角位移取线性插值 ,则 :
T T ()θ= θθ; θθθ16 [ M M ] ?[ ]= [ M M ] ?[ ] Y? L 12 ?YY? 4 Y? R 12 ?YY? 3 1 2 式中 M = 1 - y? / b , 1 M = y? / b 2
() () () 将式 15、式 16代入式 14,整理后有
()χ δ17 = [ X A ] ?[ T A ] ?[ N I ] ?[ S Y ] ?{} X
N N 0 0 0 0 0 0 0 N N 0 4 0 0 M 0 0 M 10 0 0 0 0 0 2 [ S Y ] = 式中0 0 0 N N 0 N N 0 0 0 40 0 0 0 0 0 0 0 M 0 0 0 M 21 T δ{} = [ w θθθθθθ 1θw w w θ] Y? 1 2?X2 Y? 2 3?X3 Y? 3 4Y? 4 ?X1 ?X4
同理可建立纵向有限条带的曲率为
T T χ θαθα= θθ= [ Y A ] ?[ TB ] ?[ w sinw sin] [ Y A ] ?[ TB ] ?[ Z I ] ?[ w w ] B ?XBU ?X U B?XB U?X U Y
()18
1 对
0 α sin 称 式中[ Y A ] = [ 0 0 2 6 y ] , [ Z I ] = 1 0 0
α0 0 0 sin 取横向有限条带的线位移为 :
T T w = [ X C ] ?[ T A ] ?[ w θαθ= B 1- sinw - θαN? N? N? N? ] ?[ w θ [ Y? 12 sin] 4 1 Y? 1w ]Y? 2 2 Y? 2 T T w = [ X C ] ?[ T A ] ?[ w θ R 4N? ?N ] ?[ w 3 4 4 ?Y 4()θαθαθ19 - sinsin] w ] Y? 4w - Y? 3 = [ ?N N? 3 ?Y 3 3 1223x? x? - 2 D / C x? - 6 Dx? / C ] 式中[ X C ] = [ 1
转角位移取线性插值为
T T θθθM M ] ?[; = [ M M ] ?[= [ ` ` ` ` 12 X?1θθ12 X?4θ()]]20 XB ?X2 X U ?X3 式中 M` = 1 - ?x / a , M` = ?x / a 1 2
() () () 将式 19、式 20代入式 18,整理后有 :
χ ()21 Y A ] ?[ TB ] ?[ ZI ] ?[ S X ] ?{δ} = [ Y
0 0 0 0 0 0 0 0 N? N? N? N? 4 M` 0 10 0 M` 0 0 0 0 0 0 0 2 式中[ S X ] = 0 0 0 0 0 0 N? 0 N? N? 0 N? 3412 0 0 0 0 0 0 0 0 M` 0 0 M` 21
() 根据厚 / 薄梁转角位移模式的式 9,纵 、横向条带的转角由结点位移表示为
θδθδ()= [ XB ] ?[ T A ] ?[ N I ] ?[ S Y ] ?{} , = [ YB ] ?[ TB ] ?[ Z I ] ?[ S X ] ?{} 22 ?X Y?
2 2 [ XB ] = [ 0 式中1 2 ?x 3 x? ] , [ YB ] = [ 0 1 2 ?y 3 ?y ] 则扭率为 ()χ23 ) ()(θθ= 5/ 5 y? + 5/ 5 x? ?X Y? X Y
140 应 用 力 学 学 报 第 20 卷
2 2 2 2 α α α α ab ab si n a bsi n ab ab si n a bsi n() 组装板弯曲广义应变场 曲率场: q ?[ -{ F ] = 4 24 24 4 24 24 T χ ()χ24 χ[ B ] = [] 0 XY 2 2 2 X Y2 α α α ab absinabsin ab absin absinα T - - ] () 根据式 5有 4 24 24 4 24 24
T ()33 ()25 χχχ [ B ] = [ T T ] ?[] 1 XYX Y
则板由于弯曲贡献的刚度矩阵为 : a b 5 数值算例 T ( ) [ B ] d ?y d ?x 26 [ K] = [ B ] [ D ]?1 b 1 ? ?0?0
算例 1 简支 / 固支方板受均布荷载弯曲问题 μ 1 0
计算受均布荷载 q 作用下的简支和固支方板跨 1 μ0 式中[ D ] = D ? μ 中挠度和弯矩。方板边长为 L ,厚度为 t ,泊松比 = μ1 - 0 0 2013 。由于具有对称性 ,取 1/ 4 板进行分析 ,各计算结 [ 8 ] () 根据厚 / 薄梁通用位移模式的式 11, 可知剪切应 果与理论解及其他单元结果比较如表 1 所示。
变用结点位移表示为 :
χδ= [ R D ] ?[ T A ] ?[ N I ] ?[ S Y ] ?{} ?X ()27 δ= [ R D ] ?[ TB ] ?[ ZI ] ?[ S X ] ?{} χY?
式中 [ R D ] = [ 0 0 0 - 6 D / C ]
组装剪切应变场 ,则正交坐标系下的剪应变为
[ B ] = [ T S ] ?[ B ] 3 2 ()28
式中
α1 co s T 图 4 1/ 4 简支、固支方板 [ B ] = , [ T S ] = 2 γγ[]?X Y ? 1 算例 2 Razzaque 斜板问题 相应剪切刚度矩阵为4 ( ) 表 1 均载作用下方板的中心挠度系数 w / qL / 100 D a b T ( ) [ K] = [ B ] [ C] 29 边界 t / L 解析解 L FR1 L FR2 本文解 S 3 ??[ B ] d ?y d ?x 3 ?0?0 0 . 001 0 . 4062 0 . 4062 0 . 4105 0 . 4057 四 1 0 0 . 01 0 . 4062 0 . 4062 0 . 4106 0 . 4060 边 式中[ C ] = C ? 0 . 10 0 . 4273 0 . 4224 0 . 4304 0 . 4257 0 1 简
0 . 15 0 . 4536 0 . 4480 0 . 4566 0 . 4520 支 至此 ,平行四边形板弯曲单元的刚度已构造出来 : e 0 . 20 0 . 4906 0 . 4845 0 . 4933 0 . 4889 [ K ] = [ K ] + [ K ] ()30 b S 0 . 001 0 . 1265 0 . 1263 0 . 1290 0 . 1260 四 本文采用 MA TL AB 数学软件的符号运算功能 0 . 01 0 . 1265 0 . 1264 0 . 1293 0 . 1263 边 () () 直接导出式 26、29刚度矩阵中各元素值。 通0 . 10 0 . 1499 0 . 1482 0 . 1522 0 . 1499 固
常情况下 ,板中可能作用有非结点荷载 ,因此 0 . 15 0 . 1798 0 . 1762 0 . 1802 0 . 1785 支 0 . 20 0 . 2167 0 . 2144 0 . 2183 0 . 2173 必需建立非结点荷载等效公式。根据厚 / 薄梁横向
注 : ?1/ 4 方板网格划分密度为 5 ×5 ; ?解析解、L FR1 、L FR2 结果摘 位移模式 ,可建立平行四边形板单元的横向位移 ,其 自文献[ 8 ] 。 可用纵向或横向条带来表示 :
如图 5 所示 , 一薄斜板的参数为 E = 1000 、u = δ w = [ X C ] ?[ T A ] ?[ N I ] ?[ S Y ] ?{}
0131 、L = 10010 、t = 011 ,受均布荷载 ;边界条件为 δ= [ Y C ] ?[ TB ] ?[ Z I ] ?[ S X ] ?{} ()31
一对边简支 、另一对边自由 , 板中心挠度 w 和中心 故单元均布荷载的结点等效力为 :a b 弯矩 M 的计算结果与文献[ 8 ] 的计算结果比较如 y { F} = [ X C] q d ?y d ?x ?[ T A ] ?[ N I ] ?[ S Y ] ? ? ?0?0 表 2 所示 。
a b 从表中可以看出 , 本文计算结果与 GPL2T9 、 q d ?y d ?x = [ Y C] ?[ TB ] ?[ ZI ] ?[ S X ] ? ? ?0?0 不出现剪切闭锁 。D KT 、差分解符合较好 ,
()32 四边简支平行四边形板弯曲问题算例 3
经计算 , 对于单元均布荷载这两种表达式计算 取文献 [ 4 ] 的算例。如图 6 所示 , 已知短边长
结果一致 ,其显式表达式为 : α 11155 L 、长边长 2 . 02 L ,= 60?,在均布荷载和 9 号
第 4 期 夏桂云 ,等 :一种考虑剪切变形的平行四边形厚/ 薄板通用单元 141
() 表 4 不同厚度斜板在 9 号点集中荷载作用下的 点 斜对称中心集中荷载作用下 ?2 ?、?2 ?截面 2 ( )?2 ?、?2 ?截面挠度 w ×1000 D/ PL 横向位移如表 3 、表 4 所示。 位置 0 . 001 0 . 01 0 . 10 0 . 15 表 2 均载 q 作用下 Razzaque 斜板中心挠度和弯矩 1 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000
1 . 2248 1 . 3678 1 . 5524 2 1 . 2221 GPL2T9 项目 网格 本文值 差分解 D KT 3 2 . 7217 2 . 7275 2 . 9742 3 . 2888 2 ?2 0 . 7318 0 . 6392 0 . 7728 ?2 ? 板 4 4 . 4662 4 . 4750 4 . 8407 5 . 3027 0 . 7783 0 . 7527 0 . 7882 截 4 ?4中 5 6 . 4423 6 . 4538 6 . 9525 7 . 5997 面 0 . 7861 0 . 7742 0 . 7915 6 ?6心 6 8 . 6197 8 . 6336 9 . 2958 10 . 1842 0 . 7945 7 10 . 8946 10 . 9111 11 . 7834 12 . 9969 0 . 7890 0 . 7822 0 . 7924 8 ?8挠 8 12 . 9867 13 . 0070 14 . 2308 15 . 9175 0 . 7913 0 . 7881 0 . 7936 度 12 ?129 14 . 0951 14 . 1 16 . 3498 19 . 4760 0 . 7921 0 . 7903 0 . 7966 16 ?161 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 1 . 0140 0 . 8952 1 . 2530 2 ?22 2 . 0168 2 . 0199 2 . 2636 2 . 5986 板 3 4 . 1642 4 . 1706 4 . 5903 5 . 1878 0 . 9925 0 . 9589 1 . 0468 4 ?4中 ?2 ? 4 6 . 3589 6 . 3685 6 . 9641 7 . 8001 0 . 9742 0 . 9587 0 . 9996 6 ?6心 截 0 . 9589 5 8 . 5099 8 . 5229 9 . 3000 10 . 3810 0 . 9683 0 . 9596 0 . 9831 弯 8 ?8面 6 10 . 5151 10 . 5314 11 . 5063 12 . 8608 0 . 9638 0 . 9598 0 . 9711 矩 12 ?127 12 . 2505 12 . 2702 13 . 4829 15 . 1781 16 ?160 . 9622 0 . 9598 0 . 9702 8 13 . 5457 13 . 5687 15 . 1377 17 . 3369 9 14 . 0951 14 . 1 16 . 3498 19 . 4760 注 :计算中边界条件取为 :在 A B 、CD 边上 w = 0 ;在 CB 、DA 边上自 4 2 ( ) ( ) 由。板中心挠度w ?100 D/ qL 、板中心弯矩M ?10/ qL 。 注 :计算中的边界条件取为周边 w = 0 。 y
表 3 不同厚度斜板在均布荷载作用下的 ?2 ?、?2 ? 4 6 结 束 语 ( )截面挠度系数 w ×1000 D/ qL
本文基于有限条带思想建立了厚 Π薄梁通用单 位置 0 . 001 0 . 01 0 . 10 0 . 15 元、厚 Π薄板平行四边形通用单元。厚 Π薄梁通用1 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 单 元中分别建立了横向位移、转角位移 、剪切应变2 1 . 9675 1 . 9713 2 . 2769 2 . 6834 和曲 率的插值函数 ,单元精度高 , 而且不出现剪切3 3 . 9797 3 . 9873 4 . 4762 5 . 7 闭锁 , 其均布荷载的结点等效值与初等梁一致 , 限4 5 . 7940 5 . 8049 6 . 4311 7 . 2438 ?2 ? 于篇幅 本文未给出考题结果 。厚 Π薄板平行四边截 5 7 . 2885 7 . 3018 8 . 0172 8 . 9474 形通用单 元精度高 ,无剪切闭锁现象 ,当夹角取为 面 6 8 . 4260 8 . 4408 9 . 2106 10 . 2219 90?时便为 矩形板通用单元 , 非常适应于目前桥梁7 9 . 2136 9 . 2294 10 . 0298 11 . 0940 界经常采用 的斜板桥结构分析 。 8 9 . 6736 9 . 6898 10 . 5055 11 . 5993
9 9 . 8246 9 . 8409 10 . 6611 11 . 7645
1 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000
2 1 . 8591 1 . 8622 2 . 0692 2 . 3504 参 考 文 献
3 3 . 6873 3 . 6935 4 . 0606 4 . 5698 李国豪. 关于斜交异性板的弯曲理论J , 同济大学学报 , 1997 , 1 4 5 . 3936 5 . 4027 5 . 9061 6 . 5998 ?2 ? ( ) 25 2:121,126 截 5 6 . 8997 6 . 9112 7 . 5274 8 . 3696 王荣辉等. 斜交板梁桥的有限单元算法J , 力学与实践 , 2001 , 2 面 6 8 . 1401 8 . 1537 8 . 8586 9 . 8154 ( ) 23 5:28,31
王荣辉等. 斜形板结构计算的平行四边形板块有限单元法J , 7 9 . 0634 9 . 0785 9 . 8473 10 . 8856 3 ( ) 华中理工大学学报 ,1999 ,27 9:7,9 8 9 . 6325 9 . 6484 10 . 4558 11 . 5429 王荣辉. 杆、板、壳结构计算理论及应用M , 北京 : 中国铁道出 9 9 . 8246 9 . 8409 10 . 6611 11 . 7645 版社 ,1999 . 166,176 4 张充满等. 连续铰接斜板桥的解析方法 J , 工程力学增刊 ,
1995 ,9 :1634,1638 5 王磊. 平行四边形板弯曲问题的康托洛维奇法J , 湖南大学学 ( ) 报 ,1983 ,10 4:36,47 6 胡海昌. 弹性力学的变分原理及其应用M , 科学出版社 ,1981 :
139,150
龙志飞等. 有限元法新论原理程序进展M , 北京 : 中国水利水 7 电出版社 ,2001 :167,182
8
图 5 Razzaque 斜板问题 图 6 四边简支平行四边形板
No . 4 CH IN ESE J OU RNAL O F A P PL I ED M ECHAN ICS ?
A Parallel Qua drilateral Plate Fin ite Element f or
Bending Computation of Obl ique Plate incl uding Shear
1 1 2 2 2X i a Gui y u nZe ng Q i n gy u an L i Ch ua n x i Zhan g J i an ren Y a n Don gh u an g
1 2( ) ( ) Cent ral So ut h U niversit y , Changsha 410075Changsha Co mmunicatio ns U niversit y , Changsha 410076 Abstract : Acco rding to t he Timo shenko beam t heo ry , shape f unctio ns of generalized displacement s are co n2 st ructed. U sing t he t ransfo r matio n bet ween skew coo rdinate and o rt hogo nal coo rdinate , a parallel quadrilateral plate element is co nst ructed by using t he finite belt and shape f unctio ns of generalized deep beam displacement s. The displacement mo de 、stiff ness and equivalent fo rce are derived. Simply2suppo rted and clamped square plate under dist ributed loading 、Razzaque p ro blem of skew plate and simply 2suppo rted skew plate under dist ributed loading and co ncent rated loading are analyzed. N umeric result s agree wit h ot her t heo ries very well . This element is f ree f ro m shear lock and can be used to analyze t he skew plate bridges.
Keywor ds : ben di n g of skew pl ate , gene ral i z ed t hickΠt hi n p a ral lel q ra d ri l ate ral pl ate ele m en t , f i ni te bel t ,
s hea r lock in g .
Research on Optimization f or Obta in ing Supporting System Equal Fate of Rotary Kiln with Multi2supporting ba sed on Axes Mea suring
1122 L i X uej u nW a n g Gua n gbi nW a n g M eison gChe n Gan qi n g1( ) So und Maintenance o n Machine and Equip ment Key L ab of Hunan Province , Hunan Science and Technology U niversit y , Xiangtan , Hunan 411201
2( ) Hunan Suntop Cement Gro up L t d , Xiangtan , Hunan 411423
Abstract : Axis line deflectio n and asymmet ric load dist ributio n of t he rotary kiln induce t he cracking of suppo rt2 ing shaf t f requently. By mechanical analyzing t he shaf t of suppo rting w heel , t he relatio n bet ween t he axis line and f atigue f ate of suppo rt system is derived. Acco rdingly , t he remaining f ate of suppo rting system can be o b2 tained easily wit h axes measuring. To carry o ut t he op timizatio n , an op timizatio n mo del must be set up . The quantit y of axis line regulating is regarded as op timizatio n variable . The minimum value of remaining f ate be2 t ween all suppo rting shaf t s of suppo rting system is defined as o bjective f unctio n . The p ractical regulating kiln example is given . The result indicates t hat t he f anatic exist s in ro utine regulatio n and t he op timizing regulatio n fo r o btaining equal f atigue f ate is required , w hich can effectively p revent t he cracking of suppo rting shaf t . That p rovides usef ul t heo ry reference to maintain and regulate rotary kiln . It is also significant to guide p ractical p ro2 ductio n .
Keywo drs : rot a ry ki l n , a xes m eas u ri n g , s u p port syst em , f at i g ue f ate , op ti m i z i n g reg ul at ion .
作文四:《等积变形巧学平行四边形面积的计算(可编辑)》3900字
等积变形巧学平行四边形面积的计算
等积变形巧学平行四边形面积的计算
执教者:东山县实验小学 陈循金评析者:东山县实验小学 曾晓娴、陈循金
教学内容:《平行四边形面积的计算》(数学北师大版)第九册
教学设想:
本节课是在学生对平行四边形有了初步的认识,掌握了平行四边形的各部分名称,学习了长方形、正方形面积计算的基础上进行教学的。平行四边形面积公式推导方法的掌握,对学习后面三角形、梯形面积公式具有重要的作用,所以平行四边形的面积公式的推导是本节课的重点、难点之所在。执教者在本节课中,以等积变形的数学思想为主线,应用小组合作,实验操作等学习方法,让学生主动寻求割补转化的方法,化抽象为具体,巧学平行四边形的面积计算公式,部份体现新课程的理念。下面采撷课上的几个片段,与大家共享。
片段一:巧用钉板,为推导平行四边形面积公式做准备。
师:出示钉板:
师:谁能告诉老师这个长方形的面积?
生:8平方厘米,我用数方格的方法得出的,因为钉板的每一个方格是边长
1厘米的正方形,它的面积是1平方厘米,8个小正方形,正好8平方厘米。
生:这个长方形的面积为8平方厘米,我用它的长4厘米×宽2厘米=8平方厘米。
(学生们纷纷表示赞同,尤其认为第二位同学的方法较为简便)
师:拉动橡皮筋,使原来的长方形,变成一个多边形。
师:谁能说出这个多边形的面积?
生:用数方格的方法可数出它是8平方厘米的面积。
生:也是8平方厘米,因为前面的两个小三角形的面积刚好是一平方厘米( ),正好补上后面的部分。
生:是8平方厘米,因为如果把前面的三角形( )割下来移到后面去,它就变成刚才的长方形,2×4=8(平方厘米)。
师:同学们真聪明,说得很精彩,懂得将多边形转化成学过的长方形,利用长方形的面积公式算出面积,老师是难不住大家啦 ,老师这里还有一个难题,大家敢不敢接受挑战。
生:(异口同声)敢。
师:再次拉动橡皮筋,使钉板上的多边形变成平行四边形。
师:再看看,这个图形它的面积是多少?
生:中间的部分()是个小正方形,面积2×2=4(平方厘米),旁边两个小三角形,凑起来刚好是4平方厘米,所以它的面积是8平方厘米。
生:8平方厘米,因为如果将前面的三角形割 下来,移到后面去,它就变成
刚才的长方形,所以面积是8平方厘米。
师:很好??小的平行四边形,我们可以用数方格的方法数出面积,如果有一个大的平行四边形花圃,要让你求面积你怎么办?
评析:
在本片段中,执教者巧用钉板,引导学生采用直接度量(数方格)到间接度量利用公式的方法,算出三个不同图形的面积。引导学生用长方形的面积公式算出第一个图形长方形的面积后,贯彻等积变形的数学思想,引导学生采用划分、割补的方法,把后面两个图形转化为刚刚算好面积的长方形,按的顺序算出面积,为下面学习推导平行四边形的面积公式做准备。
片段二:小组合作,操作实验,推导平行四边形面积计算公式。
师:同学们,刚才我们用转化的方法把多边形转化成长方形,大家能不能用同样的方法把平行四边形转化成学过的图形?再求出它的面积呢?
生:小声议论??
师:如何转化呢?请同学们分小组讨论转化的方法,然后利用准备好的平行四边形和剪刀,剪一剪,拼一拼,把平行四边形转化成自己会算面积的图形。
生大声讨论,各抒己见,手中的剪刀忙个不停。(时间长约6分钟)
师:刚才同学们讨论得非常积极,大家相互检查,看是不是把原来的平行四边形转化成长方形(或其它已经学过的会计算面积的图形)。
师:谁能把如何转化及转化结果展示出来?
生:我沿着平行四边形底边上的高剪开,移动小三角形,原来的平行四边形就转化成长方形。
生:我们也是这样做的。
生:我还有其它办法。我沿着平行四边形底的中点上的垂线把平行四边形剪成两部分把第一部分平移,就得到长方形。
生:??
师:同学们说得很好,其实沿平行四边形的任意一条高剪开,平移都可以得到一个长方形。(师结合讲解演示)下面再请同学们结合剪拼过程,分小组,讨论下面几个问题:(幻灯出示)
?平行四边形转化成长方形后,两种图形的面积有什么联系?
?转化成长方形后的长和宽分别以原平行四边形的底和高有什么关系?
生:议论纷纷,踊跃发言??
把一个平行四边形转化成一个长方形后,它们的面积相等,这个长方形的长和原来平行四边形的底相等,这个长方形的宽与原来平行四边形的高相等,因为长方形的面积=长×宽,所以平行四边形的面积=底×高。
师:边听边板书:
其他学生点头表示赞同。
师:指导学生填写实验报告。
1、我们可以用割补、平移的方法把一个平行四边形转化为一个 。
2、这两个图形的面积 。
3、长方形的长和原来平行四边形的底 ,长方形的宽与原来平行四边形的
高 。
4、由于长方形的面积= ,所以平行四边形的面积= 。
师:一起来验证我们推导的这个公式是否正确。
师:(出示钉板)我们刚才用数方格的方法,算出它的面积有多大?
生:(异口同声)8平方厘米。
师:大家说说它的底和高各是多少厘米。
生:底4厘米,高2厘米。
师:咱们用这个公式来计算一下这个平行四边形的面积。
生:应该也是8平方厘米,因为根据公式,平行四边形的面积=底×高,它的底是4厘米,高是2厘米,所以面积就是8平方厘米。
其他学生:对。
师:对了,这说说明我们推导得出的这个公式是正确的。下面请同学们闭上眼睛,将刚才的推导过程,默想一遍??
评析:
在本片段中,执教者引导学生通过实验操作,用不同的方法把平行四边形转化成长方形,并且通过操作、观察,找出平行四边形与所拼成的长方形的内在联系,在此基础上推导出平行四边形的面积公式,并通过验证,体现所推导公式的正确性和用公式计算面积的快捷方便。在本环节中,执教者采用小组合作的学习形式,注重师生、生生之间的信息交流,体现了信息交流的多向性原则,最大程度地提高课堂效率,另外,在公式推导结束后,执教者那让学生默想公式的推导过程,使探索推导活动由有声的外部语言活动向无声的内部语言过渡,加速学生的内化,加深了学生对公式的理解。
片段三:拓展延伸,启迪思维
??
师出示课后思考题:拉动长方形木条框相对的两上角,使其变成一个平行四边形(如图所示)。
师:学习本节课,你们能比较两个图形面积的大小吗?
学生议论纷纷,答案不一 ??
(铛,铛,铛??下课铃响。)
评析:
虽然下课铃已响,但同学们抓耳挠腮,积极思考,久久也不愿离开座位,课已停,意犹存。在这一环节中,执教者摒弃传统教学中“你学会了什么?”的总结方式,抛出了 开放性的问题:比较长方形和长方形挤压而变成的平行四边形的两个图形面积的大小,这样就把它同平行四边形的面积公式推导过程区别开来,从而使学生头脑中的问号不断地涌现,越学越想学,欲罢不能。
总评:
本节课的教学设计体现了新课程理念,《数学课程标准》指出:“要让学生在现实情境中体验和理解数学,鼓励学生独立思考,引导学生自主探索,合作交流。”在本节课中,执教者充分引导学生注重引导学生采用自主探索、合作操作、动手实践、猜想验证等多样化的学习方式去探索平行四边形的面积计算公式,让学生经历知识的发生、发展过程,使学生在学习过程中,主动获取知识,激发学习的积极性、主动性,培养探索创新精神和实践能力。
本节课在教学环节的安排上,既考虑了学科的特点,也考虑了学生的心理特征,主要有以下三个特点:1、制造认知冲突,激发学生探索的欲望。数方格是求平行四边形面积方法的一种,但它不是一种普遍适用的方法,陈老师通过设问:“如果是一个大的平行四边形花圃,能不能也用数方格的方法计算面积,能否通过这一问题情境的创设,使学生产生探索不同方法的心理倾向。2、注重小组合作,
注重操作实验。让学生自主探索平行四边形面积计算公式。本课的重心在于让学生对平行四边表面积计算公式的理解探索上,通过转化图形、小组合作、动手操作、讨论比较、填写实验报告单,再默想推导过程,学生经历知识的形成过程,培养学生的学习能力。3、练习设计注重层次性,体现对公式的运用和实践能力的培养。本课安排的练习既有层次性,又有实践性,既注重让学生直接运用公式计算平行四边形面积,更注重让学生在计算中测量估算,不但强化了学生的动手操作,也有利于让学生综合运用知识解决问题,培养学生的实践能力。
本课最大的亮点体现在对钉板的巧妙利用上,一开始数方格求面积时,
三个图形的转化,激起学生学习求平行四边形面积浓厚的兴趣,在图形转化中,又巧妙利用钉板,清楚再现图形的平移、转化痕迹,有效利用教具,增强学生学习的直观性。
本课值得探讨的是在动手操作环节,教师为了让学生更清楚推导过程,把实验过程和填写实验报告单分开进行,这样无意中分离了学生的动手操作与思维思考的联系,如果二者能结合进行,则有利于学生联系实践,有利学生在实践中总结,在实践中探索发现解决数学问题。
作文五:《等积变形 巧学平行四边形面积的计算【精品推荐-doc】》3700字
等积变形 巧学平行四边形面积的计算
执教者:东山县实验小学 陈循金
评析者:东山县实验小学 曾晓娴、陈循金
教学内容:《平行四边形面积的计算》(数学北师大版)第九册
教学设想:
本节课是在学生对平行四边形有了初步的认识,掌握了平行四边形的各部分名称,学习了长方形、正方形面积计算的基础上进行教学的。平行四边形面积公式推导方法的掌握,对学习后面三角形、梯形面积公式具有重要的作用,所以平行四边形的面积公式的推导是本节课的重点、难点之所在。执教者在本节课中,以等积变形的数学思想为主线,应用小组合作,实验操作等学习方法,让学生主动寻求割补转化的方法,化抽象为具体,巧学平行四边形的面积计算公式,部份体现新课程的理念。下面采撷课上的几个片段,与大家共享。
片段一:巧用钉板,为推导平行四边形面积公式做准备。
师:出示钉板:
师:谁能告诉老师这个长方形的面积,
生:8平方厘米,我用数方格的方法得出的,因为钉板的每一个方格是边长1厘米的正方形,它的面积是1平方厘米,8个小正方形,正好8平方厘米。
生:这个长方形的面积为8平方厘米,我用它的长4厘米×宽2厘米,8平方厘米。
(学生们纷纷表示赞同,尤其认为第二位同学的方法较为简便)
师:拉动橡皮筋,使原来的长方形,变成一个多边形。
师:谁能说出这个多边形的面积,
生:用数方格的方法可数出它是8平方厘米的面积。
生:也是8平方厘米,因为前面的两个小三角形的面积刚好是一平方厘米( ),正好补上后面的部分。
生:是8平方厘米,因为如果把前面的三角形( )割下来移到后面去,它就变成刚才的长方形,2×4,8(平方厘米)。
师:同学们真聪明,说得很精彩,懂得将多边形转化成学过的长方形,利用长方形的面积公式算出面积,老师是难不住大家啦 ,老师这里还有一个难题,大家敢不敢接受挑战。
生:(异口同声)敢。
师:再次拉动橡皮筋,使钉板上的多边形变成平行四边形。
师:再看看,这个图形它的面积是多少,
生:中间的部分( )是个小正方形,面积2×2,4(平方厘米),旁边两个小三角形,凑起来刚好是4平方厘米,所以它的面积是8平方厘米。
生:8平方厘米,因为如果将前面的三角形割 下来,移到后面去,它就变成刚才的长方形,所以面积是8平方厘米。
师:很好??小的平行四边形,我们可以用数方格的方法数出面积,如果有一个大的平行四边形花圃,要让你求面积你怎么办,
评析:
在本片段中,执教者巧用钉板,引导学生采用直接度量(数方格)到间接度量利用公式的方法,算出三个不同图形的面积。引导学生用长方形的面积公式算出第一个图形长方形的面积后,贯彻等积变形的数学思想,引导学生采用划分、割补的方法,把后面两个图形转化为刚刚
算好面积的长方形,按 的顺序算出面积,为下面学习推导平行四边形的面积公式做准备。
片段二:小组合作,操作实验,推导平行四边形面积计算公式。
师:同学们,刚才我们用转化的方法把多边形转化成长方形,大家能不能用同样的方法把平行四边形转化成学过的图形,再求出它的面积呢,
生:小声议论??
师:如何转化呢,请同学们分小组讨论转化的方法,然后利用准备好的平行四边形和剪刀,剪一剪,拼一拼,把平行四边形转化成自己会算面积的图形。
生大声讨论,各抒己见,手中的剪刀忙个不停。(时间长约6分钟)
师:刚才同学们讨论得非常积极,大家相互检查,看是不是把原来的平行四边形转化成长方形(或其它已经学过的会计算面积的图形)。
师:谁能把如何转化及转化结果展示出来,
生:我沿着平行四边形底边上的高剪开,移动小三角形,原来的平行四边形就转化成长方形。
生:我们也是这样做的。
生:我还有其它办法。我沿着平行四边形底的中点上的垂线把平行四边形剪成两部分把第一部分平移,就得到长方形。
生:??
师:同学们说得很好,其实沿平行四边形的任意一条高剪开,平移都可以得到一个长方形。(师结合讲解演示)下面再请同学们结合剪拼过程,分小组,讨论下面几个问题:(幻灯出示)
?平行四边形转化成长方形后,两种图形的面积有什么联系,
?转化成长方形后的长和宽分别以原平行四边形的底和高有什么关系,
生:议论纷纷,踊跃发言??
把一个平行四边形转化成一个长方形后,它们的面积相等,这个长方形的长和原来平行四边形的底相等,这个长方形的宽与原来平行四边形的高相等,因为长方形的面积,长×宽,所以平行四边形的面积,底×高。
师:边听边板书:
其他学生点头表示赞同。
师:指导学生填写实验报告。
1、我们可以用割补、平移的方法把一个平行四边形转化为一个 。
2、这两个图形的面积 。
3、长方形的长和原来平行四边形的底 ,长方形的宽与原来平行四边形的
高 。
4、由于长方形的面积, ,所以平行四边形的面积, 。
师:一起来验证我们推导的这个公式是否正确。
师:(出示钉板)我们刚才用数方格的方法,算出它的面积有多大,
生:(异口同声)8平方厘米。
师:大家说说它的底和高各是多少厘米。
生:底4厘米,高2厘米。
师:咱们用这个公式来计算一下这个平行四边形的面积。
生:应该也是8平方厘米,因为根据公式,平行四边形的面积,底×高,它的底是4厘米,高是2厘米,所以面积就是8平方厘米。
其他学生:对。
师:对了,这说说明我们推导得出的这个公式是正确的。下面请同学们闭上眼睛,将刚才的推导过程,默想一遍??
评析:
在本片段中,执教者引导学生通过实验操作,用不同的方法把平行四边形转化成长方形,并且通过操作、观察,找出平行四边形与所拼成的长方形的内在联系,在此基础上推导出平行四边形的面积公式,并通过验证,体现所推导公式的正确性和用公式计算面积的快捷方便。在本环节中,执教者采用小组合作的学习形式,注重师生、生生之间的信息交流,体现了信息交流的多向性原则,最大程度地提高课堂效率,另外,在公式推导结束后,执教者那让学生默想公式的推导过程,使探索推导活动由有声的外部语言活动向无声的内部语言过渡,加速学生的
内化,加深了学生对公式的理解。
片段三:拓展延伸,启迪思维
??
师出示课后思考题:拉动长方形木条框相对的两上角,使其变成一个平行四边形(如图所示)。
师:学习本节课,你们能比较两个图形面积的大小吗,
学生议论纷纷,答案不一 ??
(铛,铛,铛??下课铃响。)
评析:
虽然下课铃已响,但同学们抓耳挠腮,积极思考,久久也不愿离开座位,课已停,意犹存。在这一环节中,执教者摒弃传统教学中“你学会了什么,”的总结方式,抛出了 开放性的问题:比较长方形和长方形挤压而变成的平行四边形的两个图形面积的大小,这样就把它同平行四边形的面积公式推导过程区别开来,从而使学生头脑中的问号不断地涌现,越学越想学,欲罢不能。
总评:
本节课的教学设计体现了新课程理念,《数学课程标准》指出:“要让学生在现实情境中体验和理解数学,鼓励学生独立思考,引导学生自主探索,合作交流。”在本节课中,执教者充分引导学生注重引导学生采用自主探索、合作操作、动手实践、猜想验证等多样化的学习方式去探索平行四边形的面积计算公式,让学生经历知识的发生、发展过程,使学生在学习过程中,主动获取知识,激发学习的积极性、主动性,培养探索创新精神和实践能力。
本节课在教学环节的安排上,既考虑了学科的特点,也考虑了学生的心理特征,主要有以下三个特点:1、制造认知冲突,激发学生探索的欲望。数方格是求平行四边形面积方法的一种,但它不是一种普遍适用的方法,陈老师通过设问:“如果是一个大的平行四边形花圃,能不能也用数方格的方法计算面积,能否通过这一问题情境的创设,使学生产生探索不同方法的心理倾向。2、注重小组合作,注重操作实验。让学生自主探索平行四边形面积计算公式。本课的重心在于让学生对平行四边表面积计算公式的理解探索上,通过转化图形、小组合作、动手操作、讨论比较、填写实验报告单,再默想推导过程,学生经历知识的形成过程,培养学生的学习能力。3、练习设计注重层次性,体现对公式的运用和实践能力的培养。本课安排的练习既有层次性,又有实践性,既注重让学生直接运用公式计算平行四边形面积,更注重让学生在计算中测量估算,不但强化了学生的动手操作,也有利于让学生综合运用知识解决问题,培养学生的实践能力。
本课最大的亮点体现在对钉板的巧妙利用上,一开始数方格求面积时,
三个图形的转化,激起学生学习求平行四边形面积浓厚的兴趣,在图形转化中,又巧妙利用钉板,清楚再现图形的平移、转化痕迹,有效利用教具,增强学生学习的直观性。
本课值得探讨的是在动手操作环节,教师为了让学生更清楚推导过程,把实验过程和填写实验报告单分开进行,这样无意中分离了学生的动手操作与思维思考的联系,如果二者能结合进行,则有利于学生联系实践,有利学生在实践中总结,在实践中探索发现解决数学问题。
作文六:《平行四边形》1000字
第三单元 四边形
【第二课时】 平行四边形
一、教学目标:
1.结合生活情境和操作活动让学生初步感受平行四边形的特征及平行四边形易变形的特性,了解平行四边形与四边形的联系和区别,初步建立平行四边形的表象,并在方格纸上画平行四边形。
2.提高学生动手能力。
3.提高学生互相帮助的意识,了解平行四边形在生活中的应用。
二、教学重点
了解平行四边形的特征,初步建立平行四边形的表象。
三、教学难点:
探索平行四边形的特征。
四、教学具准备
课件、图片。
五、教学过程
(一)情境导入
1.今天老师带大家去参
观一所漂亮的学校好吗?现
在我们就一起去参观这所学
校。
2.出示课件:请同学们
仔细观察这所学校,你能找到
哪些图形朋友?
3.同学们找的这些图形
中我们已经认识了长方形和
正方形,现在老师想来考考你
们, 这是刚才同学找到的长
方形,你能说说长方形有什么
特点吗?
4.现在老师要来变个魔术,小朋友仔细观察一下,这个长方形变成了什么图形?
这节课我们就一起来认识这位图形朋友。(板书课题-平行四边形)
(二)探索新知
1.请同学们再观察一遍,长方形变成了平行四边形,你还发现了什么?你认为平行四边形的边和角有什么变化?
2.探索平行四边形的特征
(1)篮子里有一些平行四边形,你们可以借助剪刀、直尺、三角板、活动角等工具,想办法来验证平行四边形的特点,看能不能发现平行四边形的其它秘密,比一比哪一组想出来的方法最多?
(2)说说你是用什么办法验证平行四边形的特点?
(3)小结:同学们可真了不起,先观察推测出平行四边形的特点,再自己动手做实验,验证并发现了平行四边形的这些特点,现在谁能用自己的话完整地说一说平行四边形的特点? (板书:平行四边形的对边相等,对角相等。)
3.生活中的平行四边形及其特性
(1)今天我们交上平行四边形这位朋友了,生活中你在哪儿见过平行四边形这位朋友?
(2)老师还找了一些平行四边形,请看屏幕:(出现伸缩铁门)你发现了什么? 这个铁门为什么能伸缩?
(3)用小棒做一个三角形和一个平行四边形,再拉拉看,然后互相交流 一下,你发现了什么?
小结发现:三角形拉不动,平行四边形一拉就变形。
(4)老师在这个平行四边形的对角再摆一根小棒,变成了什么?
你再拉拉看,你发现了什么?
(5)小结:三角形不易变形,比较稳定;平行四边形不稳定,容易变形。(板书:易变形)铁门能伸缩就是应用了平行四边形容易变形的特性。
(三)拓展延伸
1.找平行四边形
请看屏幕(课件):下面哪些图形是平行四边形?给它们涂上颜色。
2.拼平行四边形
用七巧板拼出平行四边形。
作文七:《平行四边形》4100字
平行四边形
基础知识点
平行四边形定义:
(1)平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形.平行 四边形用符号“ ”表示.平行四边形 ABCD 记作 ,读作平行四 边形 ABCD .
平行四边形的性质:
(1)平行四边形的对边平行且相等. (2)平行四边形的对角相等,邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分.
(4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点,则这直线被一组对边截
下的线段以对角线的交点为中点, 且这条直线二等分平行四边形的面积. 边 对边分别相等 对角线互相平分 平行四边形
角 对角相等 邻角互补 平行四边形的判定
方法一 几何语言表达定义法:
∵ AB ∥ CD , AD ∥ BC ,∴四边形 ABCD 是平行四边形 方法二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
∵ AB=CD, AD=BC,∴四边形 ABCD 是平行四边形 方法三 :对角线互相平分的四边形是平行四边形。
∵ OA=OC, OB= OD ∴四边形 ABCD 方法四:∵ AB=CD, AB ∥ CD ,∴四边形 ABCD 是平行四边形
题型一 平行四边形的概念
1、如图,在 □ ABCD 中, EF//AB, GH//AD, EF 与 GH 交于点 O ,则该图中的平行 四边形的个数共有( ) .
(A)7 个 (B)8个 (C)9个 (D)11个
2、 分别过 ABC 的三个顶点作对边的平行线, 这些平行线相交, 则可构成 _______个平行四边形。
题型二 平行四边形的性质
1、 □ ABCD 中, 两邻角之比为 1∶ 2, 则它的四个内角的度数分别是 ____________.
2、 □ ABCD 的周长是 28cm ,△ ABC 的周长是 22cm ,则 AC 的长是 __________. 3、 □ ABCD 的周长为 60cm , 对角线交于点 O , △ BOC 的周长比△ AOB 的周长小 8cm , 则 AB =______cm , BC =_______cm .
4、 □ ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O ,若 AC =8, AB =6, BD =m ,那么 m 的 取值范围是 ____________.
5、若平行四边形的一边长为 6cm, 一条对角形长为 4cm, 则一条对角形长 x 的取
值范围为 ________。
6、已知:ABC 中, ////, , AB EF GH BE GC =
求证:. AB EF GH =+
7、在□ ABCD 中,∠ BCD 的平分线与 BA 的延长线相交于点 E , BH ⊥ EC 于点 H ,求 证:CH =EH .
8、如图:? ABCD 中, MN ∥ AC ,试说明 MQ=NP.
9、如图,在 ? ABCD 中,点 E , F 分别在边 DC , AB 上, DE=BF,把平行四边 形沿直线 EF 折叠,使得点 B , C 分别落在 B′ , C ′ 处,线段 EC′ 与线段 AF 交于 点 G ,连接 DG , B′G . 求证:(1)∠ 1=∠ 2; (2) DG=B′G .
题型三 平行四边形中的等腰三角形
1、 如图, 在平行四边形 ABCD 中, ∠ ABC 的平分线交 AD 于点 E , ∠ C=110?, BC=4cm,CD=3cm,则∠ AEB=,DE=.
C
H
G E
题型四 平行四边形的面积
2、如图,在□ ABCD 中, AB =3, AD =4,∠ ABC =60°,过 BC 的中点 E 作 EF ⊥ AB , 垂足为点 F , 与 DC 的延长线相交于点 H , 则△ DEF 的面积是 .
3、如图,已知点 A (-4, 2) B (-1,-2),□ ABCD 的对角线交于坐标原点 O
(1)请直接写出点 C 、 D 的坐标
(2)写出从线段 AB 到线段 CD 的变换过程
(3)直接写出□ ABCD 的面积
题型五 平行四边形的判定
1、如图,已知, ? ABCD 中, AE=CF, M 、 N 分别是 DE 、 BF 的中点. 求证:四边形 MFNE 是平行四边形.
2、在 ? ABCD 中,分别以 AD 、 BC 为边向内作等边 △ ADE 和等边 △ BCF ,连接 BE 、 DF .求证:四边形 BEDF 是平行四边形.
3、 如图, 在 □ ABCD 中, E 、 F 、 G 、 H 分别是四条边上的点, 且满足 BE=DF,CG=AH,连接 EF 、 GH 。求证:EF 与 GH 互相平分。
A B D
E
F
4、已知:如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC , BD 相交于点 O , EF 经 过点 O 并且分别和 AB , CD 相交于点 E , F , 点 G , H 分别为 OA , OC 的中点. 求 证:四边形 EHFG 是平行四边形.
5如图, 已知 △ ABC 是等边三角形, 点 D 、 F 分别在线段 BC 、 AB 上, ∠ EFB=60°, DC=EF.
(1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD.
6、如图, △ ACD 、 △ ABE 、 △ BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形. (1)当 AB≠AC 时,证明:四边形 ADFE 为平行四边形;
(2)当 AB=AC时,顺次连接 A 、 D 、 F 、 E 四点所构成的图形有哪几类?直接 写出构成图形的类型和相应的条件.
题型六 三角形的中位线
1、已知△ ABC 的周长为 1,连结△ ABC 的三边中点构成第二个三角形, ? 再连结 第二个三角形的三边中点构成第三个三角形,依此类推,第 2010个三角形 的周长是( )
A 、
20081 B、 2009
1 C、 220081 D、 2
20091
2、如图所示,已知四边形 ABCD , R , P 分别是 DC , BC 上的点, E , F 分别是 AP , RP 的中点, 当点 P 在 BC 上从点 B 向点 C 移动而点 R 不动时, 那么下列结论 成立的是( )
A.线段 EF 的长逐渐增大 B.线段 EF 的长逐渐减少 C.线段 EF 的长不变 D.线段 EF 的长不能确定
3、如图,四边形 ABCD , E 、 F 、 G 、 H 分别是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点. (1)请判断四边形 EFGH 的形状?并说明为什么;
(2)若使四边形 EFGH 为正方形,那么四边形 ABCD 的对角线应具有怎样的 性质?
4、如图,已知四边形 ABCD 中,点 E , F , G , H 分别是 AB 、 CD 、 AC 、 BD 的中点,并且点 E 、 F 、 G 、 H 有在同一条直线上.求证:EF 和 GH 互相平分.
5、如图,在△ ABC 中,已知 AB=6, AC=10, AD 平分∠ BAC , BD ⊥ AD 于点 D , E? 为 BC 中点.求 DE 的长.
6、如图,在四边形 ABCD 中, AD=BC,点 E , F , G 分别是 AB , CD , AC 的中点。 求证:△ EFG 是等腰三角形。 7、 如图, AD 是△ ABC 的中线, E 是 AD 的中点, F 是 BE 延长线与 AC 的交点。 求
证:AF=2
1
FC
8、已知:如图,在 □ ABCD 中, E 是 CD 的中点, F 是 AE 的中点, FC 与 BE 交于 G .求证:GF =GC .
9、已知:如图,在四边形 ABCD 中, AD =BC , E 、 F 分别是 DC 、 AB 边的中点, FE 的延长线分别与 AD 、 BC 的延长线交于 H 、 G 点.
求证:∠ AHF =∠ BGF .
题型七 探索规律
1、 在一次数学实践探究活动中, 小强用两条直线把平行四边形 ABCD 分割成四 个部分,使含有一组对顶角的两个图形全等;
(1)根据小强的分割方法,你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直 线有 _________ 组;
(2)请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线; (3)由上述实验操作过程,你发现所画的两条直线有什么规律?
2、 在 △ ABC 中, AB=AC, 点 P 为 △ ABC 所在平面内一点, 过点 P 分别作 PE ∥ AC 交 AB 于点 E , PF ∥ AB 交 BC 于点 D ,交 AC 于点 F .若点 P 在 BC 边上(如 图 1),此时 PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点 P 分别在 △ ABC 内(如图 2), △ ABC 外(如图 3)时,上述结论是否成 立?若成立,请给予证明;若不成立, PD , PE , PF 与 AB 之间又有怎样的数量 关系,请写出你的猜想,不需要证明.
3、 如图 1, P 为 Rt △ ABC 所在平面内任意一点 (不在直线 AC 上) , ∠ ACB=90°, M 为 AB 边中点.操作:以 PA 、 PC 为邻边作平行四边形 PADC ,连续 PM 并延 长到点 E ,使 ME=PM,连接 DE .
探究:
(1)请猜想与线段 DE 有关的三个结论;
(2)请你利用图 2,图 3选择不同位置的点 P 按上述方法操作;
(3)经历(2)之后,如果你认为你写的结论是正确的,请加以证明;
如果你认为你写的结论是错误的,请用图 2或图 3加以说明;
(注意:错误的结论,只要你用反例给予说明也得分)
(4)若将 “Rt △ ABC” 改为 “ 任意 △ ABC” ,其他条件不变,利用图 4操作,并写 出与线段 DE 有关的结论(直接写答案).
作文八:《平行四边形》6300字
第十八章 平行四边形
18.1平行四边形
专题一 平行四边形的性质
1. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, ∠ A =70°, 将平行四边形折叠, 使点 D 、 C 分别落在点 F 、 E 处(点 F 、 E 都在 AB 所在的直线上),折痕为 MN ,则∠ AMF 等于( ) A . 70°
B . 40° C . 30° D . 20°
2. 如图,平行四边形 ABCD 中, AB 3=, 5BC =, AC 的垂直平分线交 AD 于 E ,与 AC 交于点 F ,则 CDE △ 的周长是( ) A . 6 B . 8 C . 9 D . 10
3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,∠ BAD =32°. 分别以 BC 、 CD 为边向外作△ BCE 和 △ DCF ,使 BE =BC , DF =
DC ,∠ EBC =∠ CDF ,延长 AB 交边 EC 于点 H ,点 H 在 E 、 C 两点之间,连结 AE 、 AF . (1)求证:△ ABE ≌△ FDA .
(2)当 AE ⊥ AF 时,求∠ EBH 的度数 .
专题二 平行四边形的判定
4. 已知, 如图, AB 、 CD 相交于点 O , AC ∥ DB , AO =BO , E 、 F 分别是 OC 、 OD 中点 . 求证:四边形 AFBE 是平行四边形 .
5. 已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ,给出下列四个论断:
① OA =OC ;② AB =CD ;③∠ BAD =∠ DCB ;④ AB ∥ BC .
请你从中选取两个
.. 论断作为条件,以“四边形 ABCD 为平行四边形”作为结论,完成下 列各题:
(1)构造一个真命题
... ,画图并给出证明;
(2)构造一个假命题
... ,举出反例
.. 加以说明.
A
专题三 三角形的中位线
6. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地 ABC ,已知点 E 、 F 分别是边 AB 、 AC 的中点,量得 EF =5米,他想把四边形 BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡, 则需用篱笆的长是 ( ) A . 15米 B . 20米 C . 25米 D . 30米
7. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ,点 E 是 CD 的中点,△ ABD 的 周长为 16 cm,则△ DOE 的周长是 cm .
8. 如图,在图(1)中, 111A B C 、 、 分别是 ABC △
的边 BC CA AB 、 、 的中点,在图(2) 中, 222A B C 、 、 分别是 111A B C △ 的边 111111B C C A A B 、 、 的中点,?,按此规律,则第
n 个图形中平行四边形的个数共有 _________个 .
【温馨提示】
1. 常见的考查类型:(1)利用平行四边形的性质和判定证明三角形全等;(2)利用平行 四边形的性质和判定证明线段相等或求角的大小; (3) 利用三角形的中位线求线段的大 小和图形的周长 .
2. 平行四边形可以用来证明线段或角相等,或者是用来计算线段长度和角的大小,解题的 关键是灵活运用平行四边形的性质 . 【方法技巧】
平行四边形的一般判定思路如下:
参考答案
1. B 【分析】∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB ∥ CD ,根据折叠的性质可得 MN ∥ AE , ∠ FMN =∠ DMN . ∵ AB ∥ CD ∥ MN ,∠ A =70°,∴∠ FMN =∠ DMN =∠ A =70°, ∴∠ AMF =180°-∠ DMN -∠ FMN =180°-70°-70°=40°.
2. B 【分析】 由条件知, F 必为 AC 的中点, 所以 EF 垂直平分 AC , AE =EC , 因此△ CDE 的周长为 EC +ED +CD =AE +ED +CD =AD +CD =AB +BC =3+5=8. 3. 解:(1)证明:在平行四边形 ABCD 中, AB =DC . ∵ DF =DC ,∴ AB =DF . 同理 EB =AD . 在平行四边形 ABCD 中,∠ ABC =∠ ADC .
又∵∠ EBC =∠ CDF ,∴∠ ABE =∠ ADF ,∴△ ABE ≌△ FDA . (2)∵△ ABE ≌△ FDA ,∴∠ AEB =∠ DAF .
∵∠ EBH =∠ AEB +∠ EAB ,∴∠ EBH =∠ DAF +∠ EAB . ∵ AE ⊥ AF ,∴∠ EAF =90°. ∵∠ BAD =32°, ∴∠ DAF +∠ EAB =90°-32°=58°, ∴∠ EBH =58°.
4. 证明:∵ AC ∥ BD , ∴∠ C =∠ D , ∠ CAO =∠ DBO , AO =BO , ∴△ AOC ≌△ BOD . ∴ CO =DO ,
∵ E 、 F 分别是 OC 、 OD 的中点,∴ OF =12OD =1
2
OC =OE . ∵ AO =BO 、 EO =FO ,∴四 边形 AFBE 是平形四边形 . 5. 解: (1)解法一:
已知:OA =
OC , AD ∥ BC .
求证:四边形 ABCD 为平行四边形. 证明:如图,∵ AD ∥ BC ,
∴ ADO CBO DAO BCO ∠=∠∠=∠, . 又 OA OC =,∴△ OAD ≌△ OCB .
AD BC ∴=.
故四边形 ABCD 为平行四边形. 解法二:
已知:∠ BAD =∠ DCB , AD ∥ BC .
求证:四边形 ABCD 为平行四边形. 证明:如图,∵ AD ∥ BC ,∴ DAO BCO ∠=∠.
又∠ BAD =∠ DCB ,且 BAC BAD DAO ∠=∠-∠, DCA DCB BCO ∠=∠-∠ , ∴ BAC DCA ∠=∠.
∴ AB ∥ CD .故四边形 ABCD 为平行四边形.
(2)假命题及反例如下图,画出一个即可
.
8. 3n 【分析】在图(1)中, A 1、 B 1、 C 1分别是△ ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 的中点, ∴ A 1C 1∥ AB 1, A 1B 1∥ BC 1, A 1C 1∥ B 1C, A 1C 1=AB 1, A 1B 1=BC 1, A 1C 1=B 1C ,
∴四边形 A 1B 1AC 1、 A 1B 1C 1B 、 A 1C 1B 1C 是平行四边形,共有 3个. 在图(2)中, A 2、 B 2、 C 2分别是△ A 1B 1C 1的边 B 1C 1、 C 1A 1、 A 1B 1的中点,
同理可证:四边形 A 1B 1AC 1、 A 1B 1C 1B 、 A 1C 1B 1C 、 A 2B 2C 2B 1、 A 2B 2A 1C 2、 A 2C 2B 2C 1是平 行四边形,共有 6个. …
按此规律,则第 n 个图形中平行四边形的个数共有 3n 个 .
18.2 特殊的平行四边形
专题一 开放类题目
1. 在四边形 ABCD 中,顺次连接四边中点 E 、 F 、 G 、 H ,构成一个新的四边形,请你对四 边形 ABCD 填加一个条件,使四边形 EFGH 成为一个矩形.这个条件是
.
2. (2013湖北仙桃 ) 如图,两个完全相同的三角尺 ABC 和 DEF 在直线 l 上滑动.要使四边 形 CBFE 为菱形,还需添加的一个条件是 (写出一个即可).
3. 如图,在△ ABC 中, D 为 BC 边的中点,过 D 点分别作 DE ∥ AB 交 AC 于点 E , DF ∥ AC 交 AB
于点 F .
(1)证明:△ BDF ≌△ DCE ;
(2)如果给△ ABC 添加一个条件,使四边形 AFDE 成为菱形,则该条是 ;如果 给△ ABC
添加一个条件,使四边形 AFDE 成为矩形,则该条件是 .(均不再增 添辅助线)请选择一个结论进行证明.
专题二 规律探索题
4. (2013广东深圳)如下图,每一幅图中均含有若干个正方形,第 1幅图中有 1个正方形; 第 2幅图中有 5个正方形;?按这样的规律下去,第 6幅图中有 个正方形.
5. (2013浙江衢州)如图,在边长为 1的菱形 ABCD 中,∠ DAB =60°.连接对角线 AC , 以 AC 为边作第二个菱形 ACEF ,使∠ FAC =60°.连接 AE ,再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使∠ HAE =60°,? 按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 .
6. 如图,在菱形 ABCD 中,边长为 10,∠ A =60°. 顺次连接菱形 ABCD 各边中点,可得四 边形 A 1B 1C 1D 1;顺次连接四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点,可得四边形 A 2B 2C 2D 2;顺次连接 四边形 A 2B 2C 2D 2各边中点,可得四边形 A 3B 3C 3D 3;?按此规律继续下去?,则四边形 A 2B 2C 2D 2的周长是 ;四边形 A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是
.
专题三 综合应用题
7. 如图, M 为正方形 ABCD 边 AB 的中点, E 是 AB 延长线上的一点, MN ⊥ DM ,且交 ∠ CBE 的平分线于 N . (
1)求证:MD =MN ;
(2)若将上述条件中的 “ M 为 AB 边的中点 ” 改为 “ M 为 AB 边上任意一点 ” ,其余条件不 变,则结论 “ MD =MN ” 成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,说明理由.
8. 在 □ ABCD 中, AC 、 BD 交于点 O ,过点 O 作直线 EF 、 GH ,分别交平行四边形的四条 边于 E 、 G 、 F 、 H 四点,连接 EG 、 GF 、 FH 、 HE .
(1)如图①,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由;
(2)如图②,当 EF ⊥ GH 时,四边形 EGFH 的形状是 ;
(3)如图③,在(2)的条件下,若 AC =BD ,四边形 EGFH 的形状是 ;
(4)如图④,在(3)的条件下,若 AC ⊥ BD ,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由.
【方法技巧】
1. 开放性题目是中考中常见的题目,此类题答案往往不唯一,常见的类型有条件开放性题 目和结论开放性题目 . 解题时一定要弄清题目中的语言意思或图形意思, 然后根据已知条 件或结论进行选择 .
2. 对于含有特殊平行四边形的规律探索题,应先观察图案的变化趋势,从增加(减少)、 倍数、平方(立方)、前后两数的关系等方面去思考,解题的关键是仔细观察图形的变 化并找到规律.
参考答案
1. AC ⊥ BD 【分析】 由三角形中位线性质易得四边形 EFGH 是平行四边形, 当添加 AC ⊥ BD 时,可得到四边形 EFGH 为矩形 .
2. 答案不唯一,如 CB=BF, BE ⊥ CF ;∠ EBF = 60, BD=BF等 【分析】∵两个三角尺 ABC 和 DEF 完全相同,∴ CB ∥ EF , CB =EF , ∴四边形 CBFE 是平行四边形 . ∴可以添 加 CB=BF, BE ⊥ CF ,∠ EBF = 60, BD=BF等,都能说明四边形 ABFE 是菱形 . 3. 证明:(1)∵ DE ∥ AB ,∴∠ EDC =∠ FBD . ∵ DF ∥ AC ,∴∠ FDB =∠ ECD . 又∵ BD =DC ,∴△ BDF ≌△ DCE . (2) AB =AC ∠ A =90°, ①证明:∵ DE ∥ AB , DF ∥ AC ,
∴四边形 AFDE 为平行四边形,∴∠ B =∠ EDC . 又∵ AB =AC ,∴∠ B =∠ C ,∴∠ EDC =∠ C ,∴ ED =EC . 由△ BDF ≌△ DCE 可得 FD =EC .∴ ED =FD , ∴四边形 AFDE 为菱形.
②证明:同理可证四边形 AFDE 为平行四边形. ∵∠ A =90°,
∴四边形 AFDE 为矩形.
4. 91 【分析】第①幅图中含有 1个正方形,第②幅图中含有 5个正方形;第③幅图中含 有 14个正方形?,所以第①幅图中正方形的个数可以表示为 2
11=,第②幅图中正方形 的 个 数 可 以 表 示 为 2
2
512=+, 第 ③ 幅 图 中 正 方 形 的 个 数 可 以 表 示 为
22214=++, ? , 则 第 ⑥ 幅 图 中 正 方 形 的 个 数 可 以 表 示 为 22222245691+++++=个正方形 .
5. n
) 3( 【分析】如图,在菱形 ABCD 中,取 AC 的中点 M ,连接 BM ,由菱形的性质
可得 BM ⊥ AC ,且∠ BAC =30°.在 Rt △ ABM 中, AB =1,∴ AM =
2
3
,∴ AC =;同 理, 在菱形 ACEF 中, 可得到 AN =
32
3
?, AE =3; 可猜想得其一般规律为第二个菱 形边长是第一个菱形边长的 3倍, 第三个菱形边长是第二个菱形边长的 3倍, ?因此
第 n 个菱形的边长是 n
) 3(.
6. 20
AC 、 BD ,根据菱形和矩形及三角形的中位线定理可得矩形 7. 解:(1)证明:取 AD 的中点 F ,连接 FM .
∵∠ FDM +∠ DMA =∠ BMN +∠ DMA =90°,∴∠ FDM =∠ BMN . ∵ BN 平分∠ CBE , ∴∠ DFM =∠ MBN =135°. 又∵ AF =AD =AB =AM =MB =DF , ∴△ DFM ≌△ MBN . ∴ DM =MN .
(2)结论 “ DM =MN ” 仍成立. 证明如下:
在 AD 上截取 AF =AM ,连接 FM .
∵ DF =AD -AF , MB =AB -AM , AD =AB , AF =AM , ∴ DF =MB .
∵∠ FDM +∠ DMA =∠ BMN +∠ DMA =90°,
11 ∴∠ FDM =∠ BMN .
又∠ DFM =∠ MBN =135°,
∴△ DFM ≌△ MBN .
∴ DM =MN .
8. 解:(1)四边形 EGFH 是平行四边形;
证明:∵ □ ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ,
∴ EO =FO , GO =HO ,
∴四边形 EGFH 是平行四边形,
(2)菱形
(3)菱形
(4)四边形 EGFH 是正方形 .
证明:∵ AC =BD ,∴ □ ABCD 是矩形 .
又∵ AC ⊥ BD ,∴ □ ABCD 是菱形 .
∴ □ ABCD 是正方形,∴∠ BOC =90°,∠ GBO =∠ FCO =45°, OB =OC . ∵ EF ⊥ GH ,
∴∠ GOF =90°,∴∠ BOG =∠ COF .
∴△ BOG ≌△ COF ,
∴ OG =OF ,∴ GH =EF .
由(1)知四边形 EGFH 是平行四边形,又∵ EF ⊥ GH , EF =GH , ∴四边形 EGFH 是正方形.
作文九:《平行四边形》11500字
一、填空题:(每空5分,共35分)
(1)在四边形ABCD中对角线AC、BD相交于O,当AO=_______________,BO=____________时,四边形ABCD是平行四边形。
(2)在?ABCD中,如果AB=BC,AC=BD,那么平行四边形是__________________。 (3)一组对边_____________,另一组对边_____________的四边形是梯形。
(4)当平行四边形添加_____________________________条件时,可一刀剪拼成正方形。 (5)如果菱形的两条对角线的长分别为6和8,那么菱形的边上的高是____________。
二、选择题:(每题5分,共25分)
1、下列命题错误的是( )
A、对角线相互垂直且相等的四边形是正方形 B、对角线相互垂直的矩形是正方形
C、对角线相等的菱形是正方形
D、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
2、在下列图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A、平行四边形 B、矩形 C、菱形 3、等腰梯形的一个角是50?,那么它的对角是( )
D、等腰梯形
A、40? B、50? C、130? D、90?
4、点A、B、C、D在同一平面内,从①AB//CD ②AB=CD ③BC//AD ④BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A、3种 B、4种 C、5种 D、6种
5、顺次连结一个四边形各边的中点,如果得到的是一个菱形,那么原四边形一定满足条件( ) A、四边相等 C、两条对角线相等
B、两条对角线互相垂直 D、两条对角线互相平分
三、作图:(8分)
如图,等腰梯形ABCD中,用直尺和圆规画一个菱形PQRS,使它的四个顶点P、Q、R、S分别在AB、BC、CD、AD上。(保留作图痕迹,并写出作法)
B
C
四、证明题:(第1、2小题各10分,第3小题12分)
1、在平行四边形ABCD中,E、F为对角线BD上的三等分点。 求证:四边形AFCE是平行四边形。
2、在如图菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,E、F分别是AB、BC的中点。求证:OE=OF。
3、在如图中,若△ADE≌△CBF,点E、F分别为AB、CD的中点,BD是对角线AG//DB交CB的延长线于G。
①求证:四边形ABCD是平行四边形;
②若四边形BFDE是菱形,则四边形AGBD是矩形;
③在②中应增加什么条件,才能判别矩形AGBD是正方形。
第二单元
一、选择题。(每道3分,共27分)
1.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是( ).
(A)一组对角相等 (B)两条对角线互相平分 (C)两条对角线互相垂直 (D)一组邻角互补
2.□ABCD的对角线交于O,AC=12cm,BD=5cm,△OAB的周长为15.5cm,则CD的长度等于( ). (A)7cm (B)8cm (C)9cm (D)9.5cm
3.平行四边形周长40,两邻边比为4:1,那么这个四边形较长边为( ). (A)12 (B)14 (C)16 (D)20
4.平行四边形对角线将其分成( )对全等三角形. (A)2 (B)3 (C)4 (D)5
5.矩形的两条对角线与各边一起围成的三角形中,可以组成全等三角形的对数是( ).
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 6.矩形各角平分线围成的四边形是( ).
(A)平行四边形 (B)正方形 (C)矩形 (D)菱形 7.□ABCD中,如图4–3,以AB为底的高是( ). (A)DB (B)AF (C)BE (D)AD
图4-3 8.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 ( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形
10.既是轴对称,又是中心对称的图形是 ( )
A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段
二、填空题(每空3分,共24分)
1.平行四边形对边( ),对角( );邻角( ),两条对角线( ).
2.两条对角线( )四边形是矩形, 两条对角线( )的四边形是菱形,两条对角线( )的菱形是正方形.
3.矩形短边长为4,对角线夹角为60°,则对角线的长为( ).
4.菱形ABCD中,BD为对角线,BE平分∠ABD交AD于E,∠AEB为60°,则菱形各角度数是( ).
5.如图4–1,正方形IABCD,以AD为一边向外作等边三角形ΔADE,的度数( )度.
图4-1 图4-2
6.如图4–2,MN⊥BC,BN=NC,AM⊥CD,CM=MD,∠MAN-80°,∠DBC=30°,∠ADC=( ).
7.如果两组对应边互相垂直的两个角之差是35°,那么这两个角分别是( )和( ).
8.矩形ABCD中,E、F分别是AD、AB上的点,EF⊥CE,EF=CE,DE=2,矩形周长为16,则AE长为( ). 三、证明题
1.已知:如图4–4,AB∥CD,AC=BD. 求证:OD=OC.(7分)
图4-4
2.如图4–5在△ABC中,AB=AC,D点在BC上,DE∥AC,DF∥AB,E在AB上,F在AC上.求证:DE+DF=AB.(7分)
四.计算题。
1、已知平行四边形ABCD的周长为60cm,对角线AC,BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC的周长长
8cm,求这个平行四边形各边的长。(5分)
2. 矩形ABCD中,AB=4cm,AD=3cm,把矩形沿直线AC折叠,点B落在E处,连接DE,四边形ACED是什么四边形?为什么?它的面积是多少?周长呢? (5分)
六.设计方案。
1、如图所示四边形ABCD为一池塘,在池塘的四角上各种有一棵树,要求在不移动树的前提下,让池塘的面积扩大一倍,想一想,该怎么做。(7分)
七、实践操作。如图所示,把此长方形分成两个直角三角形,怎样分?(5分)
八、探究。
如图,在△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角平分线,CE⊥AE。 (1) 求证:DA⊥AE。
(2) 试判断AC与DE是否相等?并证明你的结论。
6.1 矩形(1)
1.我们把__________叫做矩形.
2.矩形是特殊的____________,所以它不但具有一般________的性质,而且还具有特殊的性质:(1)_________;(2)___________.
3.矩形既是______图形,又是________图形,它有_______条对称轴.
4.如图1所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,图中有_______个直角三角形,?有____个等腰三角形.
5
2,则它的一条对角线的长是______.
6.如图所示,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,若∠AOD=60°,OB=?4,?则DC=________.
【基础过关】
7.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线相等 B.对角相等 C.对边相等 D.对角线互相平分 8.若矩形的对角线长为4cm,一条边长为2cm,则此矩形的面积为( ) A.
2 B.
2 C.
2 D.8cm2
9.如图2所示,在矩形ABCD中,∠DBC=29°,将矩形沿直线BD折叠,顶点C落在点
E处,则∠ABE的度数是( )
A.29° B.32° C.22° D.61°
10.矩形ABCD的周长为56,对角线AC,BD交于点O,△ABO与△BCO的周长差为4,?
则AB的长是( )
A.12 B.22 C.16 D.26
11.如图3所示,在矩形ABCD中,E是BC的中点,AE=AD=2,则AC的长是( ) A
.4 C.
D
【应用拓展】
12.如图所示,在矩形ABCD中,点E在DC上,AE=2BC,且AE=AB,求∠CBE的度数.
13.如图所示,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过顶点C作CE∥BD,交A?孤延长线于点E,求证:AC=CE.
14.如图所示,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,将矩形沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上的点F处,求CE的长.
【综合提高】
15.如图所示,在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=4cm,动点P以1cm/s的速度从A点出发,?经点D,C到点B,设△
ABP的面积为s(cm2),点P运动的时间为t(s).
(1)求当点P在线段AD上时,s与t之间的函数关系式; (2)求当点P在线段BC上时,s与t之间的函数关系式;
(3)在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像.
答案:
1.有一个角是直角的平行四边形
2.平行四边形,平行四边形
(1)矩形的四个角都是直角 (2)矩形的对角线相等 3.中心对称,轴对称,2 4.4,4 5.3 6.
7.A 8.B 9.B 10.C 11.D 12.15° 13.证四边形BDCE是平行四边形,得CE=?BD=AC 14.3 15.(1)s=
52
52
t (2)s=-t+35 (3)略
6.1 矩形(2)
【知识盘点】
1.判定一个四边形是矩形的方法:
(1)矩形的定义:有一个角是________的_________是矩形; (2)有三个角是__________的四边形是矩形; (3)对角线______的__________是矩形.
2.已知四边形ABCD是平行四边形,请你添上一个条件:_________,使得平行四边形ABCD是矩形.
3.在四边形ABCD中,∠BAC=90°,AB∥CD,请你添上一个条件:_________,使得四边形ABCD是矩形.4.在坐
标系中,A(-2,0),B(-2,3),C(3,0),若使以点A,B,C,D为顶点的四边形是矩形,则符合条件的点D的坐标是________.
5.两条平行线被第三条直线所截,?两组同旁内角的平分线相交所成的四边形是什么四
边形?答:_____________. 6.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,△AOD是正三角形,
AD=4,则这个平行四边形的面积是________.
7.下列命题中正确的是( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角相等且有一个角是直角的四边形是矩形 C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.内角都相等的四边形是矩形
8.矩形的三个顶点坐标分别是(-2,-3),(1,3),(-2,-4),那么第四个顶点坐标是( ) A.(1,-4) B.(-8,-4) C.(1,-3) D.(3,-4) 9.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是( ) A.测量两条对角线,是否相等
B.测量两条对角线,是否互相平分
C.用曲尺测量门框的三个角,是否都是直角
D.用曲尺测量对角线,是否互相垂直
10.若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形,则原四边形一定是( ) A.一般平行四边形 B.对角线互相垂直的四边形 C.对角线相等的四边形 D.矩形
11.平行四边形的四个内角角平分线相交所构成的四边形一定是( )
A.一般平行四边形 B.一般四边形 C.对角线垂直的四边形 D.矩形
12.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,BD=CD,E是BC的中点,求证:?四边形ABED是矩形.
13.如图所示,延长等腰△ABC的腰BA至点D,使AD=BA,延长腰CA至点E,使AE=CA,?连结CD,DE,EB,求证:四边形BCDE是矩形.
14.如图所示,在平行四边形ABCD中,M是BC的中点,∠MAD=∠MDA,
求证:四边形ABCD是矩形.
15.如图所示,把矩形OABC放置在直角坐标系中,OA=6,OC=8,若将矩形折叠,使点B与O重合,得到折痕EF. (1)可以通过_______办法,使四边形BEFC变到四边形AEFO的位置(填“平移”、“旋转”或“翻转”); (2)求点E的坐标;
(3)若直线a把矩形OABC的面积分成相等的两部分,?则直线a?必经过点的坐标是_______.
答案: 1.(1)直角,平行四边形 (2)直角 (3)相等,平行四边形 2.AC=BD或∠A=90°等 3.AB=CD或AD∥BC 4.(3,3) 5.矩形 6.
.D 8.A 9.C 10.B 11.?D ? 12.略 13.略 14.略 15.(1)旋转 (2)(6,
74
) (3)(3,4)
6.1 矩形(3)
1.直角三角形斜边上的中线等于_________.
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的中线,若AB=4,则CD=_______.
3.如图1所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是边AB上的中线,若∠ADC=70°,则∠ACD=_______.
(1) (2) (3)
4.如图2所示,一斜坡AB的中点为D,
,CD=1,则此斜坡的坡比是_______.
5.如图3所示,在△ABC中,AD⊥BC于点D,点E,F分别是AB,AC的中点,若AB=8,BC=7,AC=5,则△DEF的
周长是________. 6.如图4所示,在矩形ABCD中,AC和BD是两条对角线,若AE⊥BD于E,∠DAE=2∠BAE,则∠FAC=________.
(4) (5) (6)
7.若直角三角形的两条直角边长分别为6和8,则斜边上的中线长是( )
A.3 B.4 C.5 D.10
8.如图5所示,在四边形ABCD中,∠BDC=90°,AB⊥BC于B,E是BC?的中点,?连结AE,DE,则AE与DE的大小关系是( )
A.AE=DE B.AE>DE C.AEAB,O为对角线的交点,过O作一直线分别交BC、AD于M、N。 (1)求证:梯形ABMN的面积等于梯形CDNM的面积(如图①)
(2)如图②,与MN满足什么条件时,将矩形ABCD以MN为折痕,翻折后能使C点恰好与A点重合?(只写出满足的条件,不要求证明)
(3)在(2)的条件下,若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分的面积的
12
,求BM:MC的值。
一、选择题(仔细读题,一定要选择最佳答案哟!)
1.如图1中(1),把一个长为m、宽为n的长方形(m?n)沿虚线剪开,拼接成图(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为( ) A.
m?n2
B.m?n C.
m2
D.
n2
2.如图2.在矩形ABCD中,AB?1,AD?3,AF平分?DAB,过C点作CE?BD于E,延长AF、EC交于点H,下列结论中:①AF?FH;②BO?BF;③ CA?CH;④BE?3ED, 正确的( )
A.②③ B.③④ C.①②④ D.②③④ 3.如图3,矩形纸片ABCD中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG, 则AG的长为( )
A.1 B.
43
C.
32
D.2
4、如图4,EF过矩形ABCD对角线的交点O,交AB、CD于E、F,则阴影部分的面积是矩形面积的( )。
A、
15
B、
14
C、
13
D、
310
254
5、如图5,矩形ABCD中,AB=8㎝,把矩形沿直线AC折叠,使点B落在点E处,AE交DC于F,若AF=
AD长为( )。
A、4㎝ B、5㎝ C、6㎝ D、7㎝
㎝,则
6.如图6,长方形ABCD中,E点在BC上,且AE平分?BAC。 若BE=4,AC =15,则?AEC面积为( )
(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 。
图1 图2 图3
图4 图5 图
6
二、填空题 (试一试,你一定能成功哟!)
1.若将4根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形形状,并使面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是______度。
2.如果用4个相同的长为3宽为1的长方形,拼成一个大的长方形,那么这个大的长方形的周长可以是_____. 3.矩形内有一点P到各边的距离分别为1、3、5、7,则该矩形的最大面积为
4.一个矩形的对角线等于长边的一半与短边的和,则短边与长边的比为 。
5.现在一张长为40cm,宽为30cm的纸片,要从中剪出长为18cm,宽为12cm的矩形纸片,则最多能剪出 张。
6.矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线和短边的和为15,则短边的长是 ,对角线长是 。
7.如图7,先把矩形ABCD对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上对应点为B1,则
∠DAB1等于 。
8.如图8,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,对角线AC、BD相交于点O,且BE︰ED=1︰3,AD=6㎝,则AE的长等
于 。
9.如图9,在矩形ABCD中,EF∥BC,HG∥AB,S矩形AEOH=9,S矩形HOFD=4,S矩形OGCF=7,则S△HBF= 。
10.如图10,矩形ABCD沿AE折叠,使点B落在DC边上的F处,若△AFD的周长为9,△ECF周长为3,则矩形的
周长为 。
三、解答题 (认真解答,一定要细心哟!)
1、已知如图18,矩形ABCD中,DE=AB,CF⊥DE,试说明EF=EB。
2.如图四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内. 求证:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
3、如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F。①求证:EO=FO;②当O点运动到何处时,四边形AECF是矩形?并证明你的结论。
参考答案
第二单元
一、选择题
1.(B); 2.(A); 3.(C); 4.(C); 5.(D); 6.(B); 7.(B).8(C)9(D)
二、填空题
1.平行且相等;相等;互补;互相平分.
2.相等且互相平分;互相垂直且平分对角;相等.
3.8; 4.80°,100°; 5.30°; 6.60°; 7.72.5°,107.5°; 8.3. 四、证明题
1. 证明:过D作DE∥AC,交AB于E,
五. 1. 2(X+X+8)=60,X=11.即BC=11,AB=19
2.是等腰梯形,因为E,C到AD的距离相等,均为12/5
过C,E作AD垂线于M,N,再算NA=ME的长,12/5减它们就是上底了 运用勾股定理求两腰,面积周长就出来了.
六、略。 七、略。 八、略。
作文十:《平行四边形》2900字
平行四边形的面积
教学过程:
一、创设情境,引入新课
师 :老师这儿有两张不同形状的硬纸片,我请一个同学到前面来选一个最大的拿走。
师:他在犹豫,最后他认为这一张最大。有的同学认为平行四边形的大,有的认为长方形的大,还 有的认为一样大。
师:同学们想想在这种情况下我们该如何比较他们的大小呢?
生 1:求两张纸片的面积就能比较大小了。
师:你的想法很好,谁来求一下他们的面积呢 ?
生 2:长方形的巧克力面积 =6×4=24(平方厘米);平行四边形巧克力面积老师我们还没学过我不 会求。
师:好,请坐。长方形的面积我们已经计算出来了,只要知道这个平行四边形的面积就能比较他们 的大小了。 那这一节课,我们就一起来探究一下:怎样来求平行四边形的面积。(板书:平行四边形的 面积)
二、积极动脑、提出猜想
师:同学们, 求平行四边形的面积有一个计算公式, 如果老师直接告诉你, 你就会觉得它非常简单。 那,你们是想让老师直接告诉你呢,还是自己去探究发现呢?
生:自己去探究发现。
师:好,那就请同学们大胆的猜一猜:平行四边形面积的计算公式是什么?并且说一下为什么这么 猜?
生 1:底×邻边 有道理,那老师把它写下来。
师:为什么这么猜呢?
生:长方形的面积就是两个邻边相乘, 所以我认为平行四边形的面积也是两个邻边相乘, 所以我猜; 底×邻边。
师:有道理,那老师把它写在黑板上。(板书:底×邻边)
生 2:(底+邻边)×2
师:你能说一下理由吗?同学们对他的猜想有意见吗?
生:这是求的平行四边形的周长,而不是求它的面积。
师:同学们认为他说的怎么样?
生:非常正确。
师:那刚才那位同学还坚持你的观点吗?其他同学还有不同的想法吗?
生:底×高
师:怎么考虑的?
生:我沿着平行四边形的高把它剪下来。把它移到右边,正好拼成一个长方形,所以我就猜 : 底×高。
师:有头脑。那咱们把它记录下来。(板书:底×高)
师:同学们还有不同的想法吗?
师:那这些猜想一定正确吗?
生:不一定。
师:那下一步该怎么办呢?
生:验证。
师:那我们先来验证第一个:底×邻边,行不行呢?
生:行。
师:那, 大家先在小组内说一说, 用什么样的方法来验证?并且想一想验证的这个猜想到底对不对? 如果不对,你认为是什么?为了研究方便,老师制作了几个同样大小的平行四边形卡片来代替刚才的硬 纸片,卡片就在桌面上。
生:(讨论)
三、动手操作、验证猜想
师:同学们肯定都想出了自己的验证方法,在动手验证之前,先听清老师提几点小小的要求:(课 件出示要求)
1、小组成员要团结合作,合理分工。
2、各小组成员推选 1名组员汇报,其他组员可以补充。
3、老师给大家准备了一些学具,也许会对你们的验证有所帮助。学具在信封内。先别着急,听清 老师要求的坐端正,心动不如行动,大家抓紧时间开始吧。(稍等片刻,再出示课件展示的学具,教师 不用对学具进行说明)
生:(学生活动)
师:经过大家的动手验证,相信大家有很多的研究成果向大家展示一下,哪一个小组先来说? 1、证伪
生 1:我们小组用的是:长方形框架,我一拉长方形的框架,发现面积变小,而两邻边的长度不变, 即乘积不变。所以我排除底×邻边。
师:小伙子,你真不简单,虽然这个猜想公式是错误的,但是你们的验证方法和得出结论是很有价 值的。
生 2:我们小组用的是:数方格, 我们通过数方格的方法算出平行四边形卡片的面积是 28平方厘米, 而用猜想公式算出的面积是 35平方厘米。所以我们的猜想公式:底×邻边是错误的。
师:小伙子,你真棒,敢于否定自我,这种精神值得表扬,虽然你们的猜想公式是错误的,但是你 们的验证方法和得出的结论是非常正确的。
2、证真
师:现在同学们都认为底×邻边是错误。那现在就剩下底×高,那它就一定正确吗?
生:不一定。
师:还需要我们验证吗?
生:需要。
师:同学们可以在小组内想一个方法来验证一下:底×高是否正确?
生:(活动)
师:经过同学们的再次动手验证,同学们又有了新的研究成果。哪一个小组先来汇报一下。其他同 学要认真听,如果有不明白的地方随时提出来,当然也可以补充他们小组的说法。
生 1:我沿着平行四边形的高剪下来,把它拼成长方形,求出面积是 28平方厘米。
师:你不但做的好,说的也挺棒的。
生 2:我也是沿着平行四边形的高剪下来,把它拼成长方形,我还发现长方形的长就是平行四边形 的底,长方形的宽就是平行四边形的高。
师:你做的太棒了,不亏我们班的数学小博士。其他同学还有补充的吗?有疑问吗?
生:没有。
师:不过老师还真有几个问题不明白 ?
师:1、这是沿着什么剪的?
生:沿着高剪的。
师:2、为什么要沿着高剪呢?
生:能拼成一个长方形。
师:你为什么要拼成一个长方形呢?
生:能够求出平行四边形的面积。
师:长方形的面积和平行四边形的面积有什么关系?
生:相等。
师:那平行四边形的面积为什么不是长×宽,而是底×高呢?
生:因为平行四边形的底就是长方形的长,平行四边形的高就是长方形的宽。
师:刚才同学们借助学具通过动手验证了平行四边形的面积就是底×高,可是我们的数学不仅需要 动手操作,更需要动脑思考和推理,现在老师想给大家提一个更高的要求:利用刚才同学们的推导方法 得出平行四边形的面积计算公式,这可是一个很有挑战性的任务!大家有没有信心完成?
生:有。
师 :现在大家可以根据老师发给你的示意图,把推导过程写在图的下面。
生:长方形的面积 =长×宽
平行四边形的面积 =底×高
师:看来大家不但证明的非常好,推导的也特别棒。
(要求生只列式不计算。)
四、练习巩固,知识升华
师:我看同学们是不是真的掌握了,求一个车位的面积 ?
生:列算式。
五、课堂小结,拓展延伸。
师:通过,这一节课的学习,同学们表现的非常出色,哪一位同学愿意说一说,你在这一节课中, 学到了什么?
生 1:我学会转化这种思想方法。
生 2:我们学到了平行四边形面积的计算方法。
师:这位同学听得真仔细,那我们在推导平行四边形的面积时,是按照什么步骤来进行的? 生:首先是猜想——验证——结论(并板书)
师:这是数学上常用的探究方法。那我们以后可以用这种探究方法来推导出哪些图形的面积公式? 生:三角形,梯形,圆……
师:同学们,课下可以试一试。通过这一节课的学习,老师感受到我们班的孩子表现是最棒的! 【评析】
授人以鱼,不如授人以渔,数学的学习,不仅是数学知识本身的学习,更主要的是数学思想方法的 学习,课的最后,不仅一起复习了本节课所学内容,更主要的是回顾了思想方法,总结了解决问题的一 般方法。强化了本节课的设计意图。
附板书设计:
平行四边形的面积 = 底 ×邻边 猜想
验证
平行四边形的面积 = 底 ×高 结论
s =a .h
=ah
长 方 形 面 积 =() ×()
平行四边形面积 =() ×()
S 表示平行四边形的面积, a 表示底, h 表示高。
用含有字母的式子表示平行四边形的面积:() 长 方 形 面 积 =() ×()
平行四边形面积 =() ×()
S 表示平行四边形的面积, a 表示底, h 表示高。
用含有字母的式子表示平行四边形的面积:() 长 方 形 面 积 =() ×()
平行四边形面积 =() ×()
S 表示平行四边形的面积, a 表示底, h 表示高。
用含有字母的式子表示平行四边形的面积:()