范文一:不动点定理
项目编号:
理学院教学、科研
项目立项申请书(讨论稿)
学科门类:理学
项目名称:不动点定理
申 请 者:张同山
承担单位:理学院
协助单位:理工专教研室
填表日期: 2008.11.30
理学院编制 2008.11.18
填表说明及填写要求:
一、 本申请书各项内容要实事求是,逐条认真填写。表达要明确、严谨,字迹要清晰易辨。外语要同时用原文和中文表达。第一次出现的缩写词,须注出全称。
二、 封面“项目编号”一栏由学院秘书填写。
三、 院内项目申请书一式三份(电子版),申请人存根一份,申请人所在教研室一份,学院留存一份。
四、部分栏目填写要求:
1、 学科门类:分理学、工学、农学、医学、哲学、经济学、法学、教育学、文学、历史学、管理学共11类。
2、项目名称:应确切反映项目内容,不超过25个汉字(含标点符号)。 3、项目内容性质:以下第“五”中所列“项目内容性质”仅供填表时参考。 4、所属学科领域:申请课题所需的基础学科。如涉及多学科可填写两个,先填为主学科。
5、项目组成员:指在项目组内对学术思想、技术路线的制定与理论分析及对项目的完成起主要作用的人员。
五、“项目内容、性质”简介 1、专业建设方面
1.1专业建设调研报告; 1.2专业建设方案;
1.3专业群方向模块课程设计; 1.4岗位群针对性课程设计; 1.5专项技能模块课程设计; 1.6专业招生与就业;
1.7实验实训方案的设计与可行性分析; 1.8校企合作、工学结合的初步探索; 1.9产学研办学模式的创新设想初探;等等.
2.0就业市场的信息收集、整理、发布(理学院网站或学校信息平台) 2、课程建设方面
2.1课程年鉴自查报告;
2.2教材建设(教材,讲义,学习指导书,复习资料等); 2.3选修课的选题与申报;
2.4根据烟台南山学院的培养目标,对同一课程、不同教材版本的分析对比研究; 2.5“数学建模”的开课、组队、辅导与参赛; 2.6课程网络媒体资源建设; 2.7精品课程建设; 3、师资队伍建设方面
3.1师资队伍结构梯队建设(职称结构、年龄结构、知识结构); 3.2传帮带的经验总结和创新实践; 3.3教育、教学研究团队建设; 3.4科学研究团队建设; 3.5学术报告; 3.6专题讲座;
3.7学校、理学院两级优秀教师的评选条件及评选结果的利用; 4、教学研究与教学改革方面
4.1职业教育研究动态的跟踪、整理、报道(理学院网站等); 4.2第三届民办教育南山论坛“论文写作”; 4.3创新教育理念和教学模式研究; 4.4教学内容的改革与实践; 4.5教学手段改革初探; 4.6教学方法改革研究; 5、科学研究方面
5.1基础研究:指以认识自然现象、探索自然规律为目的,不直接考虑应用目标的研究活动。
5.2应用基础研究:指有广泛应用前景,但以获取新知识、新原理、新方法为主要目的的研究。
5.3应用研究:为了确定基础性研究成果或知识的可能的用途,或是为达到某一具体目的、预定的实际目的确定新的方法(原理性)或途径的研究。
5.4试验发展:指利用从科学研究和实际经验中所获得的现有知识、生产新材料、新产品、新装置、新流程和新方法,或对现有的材料、产品、装置、流程、方法进行本质性的改进而进行的系统性工作。
5.5“实用技术”的推广、开发: 6、理学院的管理改革与创新方面
6.1课堂教学质量的监控、考核与评价及考核结果的利用; 6.2年终考核的改革与创新以及考核结果的使用; 6.3优秀教师的评选程序研究;
6.4教研室工作的考核与评价及其考核结果的使用; 6.5理学院工会的职责及其考核; 6.6大学物理实验室规范管理初步设想;
6.7面向双证理工专科物理实验项目的开发及大学物理实验室仪器的充分利用; 6.7理学院报刊、杂志、文档及固定资产规范管理; 6.8理学院网站的维护与管理; 6.9理学院创新管理理念研究;
6.10教学、科研立项项目的评审、鉴定与评价及鉴定结果的使用;
范文二:不动点定理
不动点定理
(Fixed-point theorem)
举例:头皮的旋儿,指纹,地球表面无风处等,搅动杯中咖啡,两张报纸
三维空间中的情况:如果我们用一个密封的锅子煮水,那么总有一个水分子在煮开前的某一刻和煮开后的某一刻处于同样的位置。
地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中的不变的,也就是自转运动的不动点。 布劳威尔不动点定理
1. 区间[0,1]到[0,1]的连续映射f. 存在x0?[0,1],使得f(x0)?x0.
2. 矩形[0,1]?[0,1]到自身的连续映射F. 存在(x0,y0)?[0,1]?[0,1],使得F(x0,y0)?(x0,y0)。
3. 推广到多维情况: Brouwer不动点定理断言:从有限维欧氏空间中的紧凸集到自身的任意连续映射具有不动点。据调查统计90%以上的数学家都能叙述这个定理,但只有不到10%的数学家能够给出证明.
由于价格均衡原理Deberu获得诺贝尔经济学奖(1983)
Nash在普林斯顿的博士论文中,证明多人博弈平衡点的存在性时用的正是他重新发现的―Brouwer 不动点原理
巴拿赫压缩映像原理
先介绍压缩的含义
一维情况举例
二维情况举例,地图与真实地域关系。
三位情况举例,占满容器的海绵再压缩。
描述高维情况
庞卡莱-伯克豪夫扭转定理
(Poincare-Birkhoff Twist Theorem)
莫泽扭转定理
(Moser Twist Theorem)
范文三:不动点定理
不明之处和不同意见的已用红色字标明,麻烦你看看,谢谢~~~
【内容摘要】 本文从定义和定理具体介绍了不动点定理,并具体介绍了其在求数列极限,微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题及隐函数存在性问题上的具体应用。
【关键字】 不动点定理 压缩映射 极限 隐函数(把“隐函数”改为“应用”吧)
在生活中,或在自然界中,不动点现象不难发现。荷兰数学家是第一个提出不动点定理的,但其只阐明了不动点的存在性,却未说明不动点在何处。之后,美国的斯卡弗教授提出了一种用限点列逼近不动点的算法,不动点由未知转向已知,才使不动点定理应用取得了一系列重要成果。在数学分析中,不动点理论广泛用于求数列极限,微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题及隐函数存在性等。如若我们在数学分析中有意识的将不动点理论渗透并应用,必然会对数学分析做出巨大的贡献。
一、定义
定义1 给定(X,n),如果映射,存在常数M,,使得Y:X,X0,M,1,,,,,,nY,Y,Mnx,y,,x,y,X,则称Y是一个压缩映射。(是不是有必要说明一xy
下是(X,n)什么?并说明X,n各自指代什么,n(x,y)是什么,首个定义应该严谨一些,定义2中才说(X,n)是度量空间太迟了,这里也应该说明一下。在同一门学科里是默认的,但这里涉及了分析、方程,代数各门知识的综合,有些符号还是应该注明的具体的)
,,,x,XYx,xX,X定义2 给定度量空间(X,n)及的映射Y,如果存在使,
,x就可以称为映射的不动点。
}x{,X,,0,m,p,P定义3 给定(X,n),,如果对任取的,有自然数P,使对,,
,,nx,x,,都成立,则称序列{x}是Cauchy列。 pmp
定义4 给定(X,n),如果X中任一Cauchy列都收敛,则称其是完备的。 二、定理
Y:X,X定理1 设X是完备的度量空间,映射,则Y有且只有一个不动点。
此定理即为压缩映射原理,也称为不动点定理。此定理在不同的推论下有几种变
形形式。
p:0,p,1定理2 对数列{x},若存在常数,使得一切有n,Nn
x,x,px,x,则{x}收敛。 nn,1nnn,1
,定理3 对一元函数,是f(x)的导数,若存在常数p,使得,,,,,fxx,fxnn-1
',,0,fx,p,1,则{x}收敛。 n
三、应用
1、不动点定理在求数列极限上的应用
数列极限的求法有很多种,如迫敛法,单调有界原理等。本文将具体介绍用
不动点定理求极限的一种方法。
,,,,fx,fy,x,y设 f(x)映射[a,b] 为自己,且 (1)
1任取令 (2) ,,,,x,x,fxx,,,a,bn,1nn12
。。..求证数列有极限x,x满足方程 ,,fx,x
注 由(1),(2)式可得
x,x,x,x (3) nn,1nn,1
x,x,rx,x此式很像压缩映射的条件,但实际不是,因为(3)式相当nn,1nn,1
r,1于,不是0,r,1。
证
(1) 式表明f(x)连续。
只要证明了{x}单调,,既然,自然{x}有极限,,,,,,,x,a,bn,1,2,3,?x,a,bnnn1
..在(2)式中取极限,便知{x}的极限x满足(可以写明是根据单调有,,fx,xn
界点定理,只要证明{xn}是单调,其就有极限) 因为f(x)映[a,b]为自身,所以当x,,,a,b时,由式(2)知x,,,a,b亦然。故nn,1一切n,恒有x,,,a,b,剩下只需证明单调性。 n
1事实上,若则,而任一n, 若时(X,,,,x,xx,x,fx,xx,f(x)2111n.1n112
的下标n.1不太符合我的习惯,应该是n-1吧,),便有,,,,,,,,fx-fx,fx-fx,x-x,x-x (本行第一个小于等于号后的n.1nn.1n.1n.1nnn-1
式子写错了吧,X的下标有些混乱一会n.1一会n-1)将带符号的项移到不等式
11的另一端,然后同除以2,即得 故x上,,,,,,,,x,x,fx,x-fx,xn nn.1n.1nnn,122
升。同理,若时,可得x下降。(我觉得最好写明使用数学归纳法证明) ,,x,fxn11
上述实例介绍了用不动点定理求极限的一种方法,作为压缩映射在完备空间中表现的基本特征性质,它在微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题上也有重要应用。
2、不动点定理在微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题上的重要应用
设f(x)为上的连续函数,W(m,n)为正方形a,x,ba,m,b,a,n,b
b1上的连续函数,且有函数Z使得,所以,当,,,,,Wm,ndt,Z,,a,m,b,,aZ
b时,必有唯一的适合方程。(是否应该注,,,,,,,,,s,fs,,Wm,n,tdt,,C,,a,b,a
b明C[a,b]是连续函数空间,中,W为m和n的函,,,,Wm,ndt,Z,,a,m,b,a
数,关于t 积分不就等于W乘b-a的差,应该是关于m或n积分吧,) 证明
在连续函数空间C[a,b]上定义映射Y
ba,Z,,记,所以,当a<>
有 ,,,,C,,a,b12
bb,,,,,Y,Y,,Wm,nndn,Wm,nndn,,,,,,,,1212,,aa
b,,,,,,,,,,maxWm.nn,ndn(第一个max后的W(m.n)中12,a
,,,,,,Zmax,n,,n,a,,,1212
的“. ”应改为“,”)
所以 Y为C[a,b]上的压缩映射,运用不动点可知此积分方程有唯一连续解。 ,,,n3、不动点定理在隐函数存在性定理上的应用
设 满足: ,,W,,,a,b,,,,,,,f:W,M
(1) f在W上连续;
1,,x,y(2) 在W上存在,且,,,,那么存在唯一0,n,fx,y,P,,,x,y,Wy,y
的为方程的解。(是否应该注明M为上述2中的,,,,,,y,,x,a,bfx,y,0
长方形区域,)
证明
在C[a,b]中讨论,C[a,b]是完整的度量空间。
,,,,,,定义 ,dx,y,maxxn-yn,可证 N不是压缩映射。,,,,N:Ca,b,Ca,b
所以对P加以调节。(“所以”用的有些牵强吧,是不是因该改为“可证 N不是压
1缩映射。只要对下式中P加以调节”),,,,,,,,,,,N,x,,x,fx,,xP
,,。 ,,,,,Ca,b1,2
由条件(2)结合中值定理可以获得(条件2是什么,是不是应该把“可,,0,,,1
以获得”改为“可得P使下式成立”)
11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Yx,Yx,x,fx,x,x,fx,x,121122,,,,PP,,,,
1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,x,fx,x,fx,x,1212P
1p,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x,x,fx,x,x,x,x,x,x,x1,,1y21x12122,,PP,,
p,,,,,,,,,,max,x,,x1,,,d,x,,x1212,,P,,
(上式中第四个恒等号后第五个Φ的下标x应改为2,且第四个恒等号后最后两个下标为1和2的Φ相减因该用括号括起来。第二个小于等于号前的[1-P/P]是什么,最后一个恒等号后的两个Φ相减因也该用括号括起来。)所以,Y是压缩映射。根据上述定理(1),存在唯一,使,也就是说,,,,,,,,,x,Ca,bY,x,,x
,,,,fx,,x,0
四、结论
不难看出,利用压缩映射原理来解决一些数学分析问题,确实非常简单实用。
【参考文献】
加上我们使用的教材吧,华东师大数学系所编《数学分析》上下册两本,高教出版社,2001(2009重印)
刘仲奎,杨永保等所编《高等代数》,高教出版社,2003.6(2004重印) 东北师范大学微分方程教研室所编《常微分方程》第二版,高教出版社2005.4(2007年重印)
[1]Suzuki T. Characterizations of Fixed points of nonexpansivem appings[ J]. Int JM
athSci 2005 , ( 2005): 1723~ 1735 . [2]谭长明, 龙丽.不动点定理在方程解方面的应用[J].吉林师范大学学报, 2007,( 1) : 84- 86
[3]李大华.应用泛函教程[M].武汉: 华中理工大学出版社, 1999
范文四:Brouwer不动点定理
Brouwer不动点定理,动史以及其它
Brouwer不动点定理是代拓中最早的一批成果之一~自数扑学1910年被提出以至今已有百年动史~其各动等价形式~在偏微分方程、微分拓、博动来扑弈
等理动动用性科中都有泛动用。和其多著名的定理一动~其所与学广它很数学与众
周知的动动动动相比~动明方法却是令人吃的动动。惊
Brouwer不动点定理言,有限动氏空动中的动凸集到自身的任意动动映断从欧
射具有不动点。在n=3动动定理的一动有趣的等价描述方式动,动想一杯动~看个咖啡
似平的液面下~其中以万动动的液分子在动行着动烈的无动动动动;静数体运Brown运动,然而任一动刻~动有一分子的位置之前一固定动刻所在的位置重合;管个与尽
在中动动刻可能偏动原位,它离.和述方式的动动明了相动立的是~叙Brouwer不动点定理的动明却令人的动动使在惊异——即n=2的二动动动动情形也是如此。据动动动动90%以上的家都能述动定理~但只有不到数学叙个10%的家能动动出动明数学,动[9]。
动得一提的是~《美动心》的主人翁灵John.Nash本科的动候曾在不知前人任何动动的基动上~重新动动动明了动定理的等价形式,;具可动并个体Nash的那本动动~抱我动不动名了~有动趣新浪可下动歉清吧..,。以至于他的老动动他的究生推写研荐信里就一句动,“动是一天才。”后个来Nash在普林斯动的博士动文中~动明多人博平衡点的存在性动用的正是他重新动动的“弈Brouwer不动点原理”。一点动史注动
动格的动~Brouwer本人不是第一动明并个Brouwer不动点定理的人。动今数学史家的主流看法是~Brouwer本人于1909年动明了动定理在个n=3动的情形~之后家数学Hadamard于1910年动明了动定理动任意个n动动球成立~动接着体
Brouwer于1912年又立用完全不同的方法动明了动定理~动独个[2][9]。据信~Hadamard动明动定理年是个当从Brouwer寄动他的一封信中得知动动动的~但使即如此~Brouwer也不是最早动动动动动的人~在他之前个Poincare和Bohl都曾立动独动动明了动定理的等价形式~动并个[9]。
动得一提的是~至今动定理已有多动或初等或基于动代工具的动法~但个数学
所有动明方法都是基于反动法的动接方法。动动于排斥反动法的Brouwer;年的直动当主动派的代表,动具“反动”意趣。学
一百年前;1910年,Brouwer基于;动动动于萌芽动期的,映射度理动动当尚
明上述定理以至今~人动已动得了动定理的多动动明方案~多是基于动合分析、来数
同动动、映射度或微分拓中的动代工具扑数学,动[1][9][10][14]。
第一初等分析动明个
1978年J.Milnor(在普林斯动和John.Nash做动舍友)用初等的分析方法动明了毛动球定理;Hairy Ball Theorem~偶动球面上不存在任何动动动位切向量动~即数
一形象的动法是刺的刺动也不能完全整平,由此动出个猬并Brouwer动点定理(动[7])~受此动~一批借助初等分析方法动明动定理的文章;效动制作启个~呵呵,动动出动~动[5][6][11]。
Brouwer不动点定理描述有限动式空动中动凸集的拓性动~是整性动。欧扑个体
而本科动段所的分析基本不涉及整分析~其方法多适用于究函在一学数学体研数
点附近域的局部行动。区J.Milnor动出的一动在整上求动分的思想~提供了各体将
个来径数学教小动域动系起的有效途。本科生高等材中~动分通常动动被看作是一动动算无限和的动便方法~而忽略了的重要理动意动。米动动的例子充分地动了多重动它体
分理动作动抽象推动工具的重要价动。动有点像初等何里的面动方法~有动像动量守几
恒定律一动好用~却被大多中老动动动动作求面动的工具。数学
几个数学定理
定理一;Brouwer不动点定理,有限动式空动中动动位球同胚的集欧与体
合有不动点性动。
事动上~在无动动空动的情形~我动有如下动动
定理二;Schauder不动点定理,Banach空动中的动凸集具有不动点性动。
外~我动动有如下的等价性定理,另
定理三;Brouwer不动点定理的等价表述,动于有限动式空动~如下欧三命动等价,个
1,动动位球有不动点性动体~
2,动位球不是任何动位球的体收动核~
3,动位球空动
可动~
在无动动Banach空动上~以上三动法动是等价的~但都不一定正~动于个确
无动动情形我动有如下动动,
定理四 动于任意无动动Banach空动~以下三命动是正的而个确且相互等价,
1,存在一动动映射不具有不动点个~
2,动位球S是球体B的收动核~
3,动位球S空动可动~
动充分地反映出有限动和无动动空动的性动具有本动差动。动方面的一文可个献动[8]。
[1] Armstrong, M.A. Basic Topology.Springer-Verlag,New York, 1983.
[2]L.Brouwer,Uber Abbildungen von Mannigfaltigkeiten,Math.Ann.71,97–
115(1912).
[3]L.Brouwer, On continuous vector distributions on surfaces, Nederl.Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 11, 850–858(1909)
[5]Y. Kannai, An elementary proof of no retraction theorem, Amer. Math. Monthly 88(1981), 264-268.
[6]Qichao.Li,Wenrui.Ye,Xiang.Liu,Chao.Lu, A Summary of Mathematical Seminar
for Undergraduate,2009(收入北京动范大学教学王昆动授主动“北京动范大分析动动
程家动动动国教学学——建动动动文集第一卷(2010年动文)”)
[7]J. Milnor, Analytic proofs of the hairy ball theorem and the Brouwer fixed point theorem, Amer. Math. Monthly 85,521–524 (1978).
[8]S. Park, Ninety years of the Brouwer fixed point theorem, Vietnam J. Math. 27, 187–222 (1999).
[11]Rogers.C.A~A Less Strange Version of Milnor’s Proof of Brouwer’s Fixed Point Theorem.Amer. Math. Monthly. 87 (1980), 525–527.
[12]唐梓洲~黎曼几学何基动~北京动范大出版社~2010.
[13]动筑生~分析新动~数学学北京大出版社~2005.
[14]尤承动~基动拓~扑学学北京大出版社~2008.
范文五:不动点定理
不动点定理
不动点定理fixed-point theorem
如果f 是n+1维实心球Bn+1={x?R n+1|x|?1}到自身的连续映射(n=1,2,3…),则f 存在一个不动点x?Bn+1(即满足f(x0)=x0)。此定理是L.E.J.布劳威尔在1911年证明的。不动点问题实际上就是各种各样的方程(如代数方程、微分方程、积分方程等 )的求解问题 ,在数学上非常重要,也有很多的实际应用。
建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献.这个定理表明:在二维球面上,任意映到自
身的一一连续映射,必定至少有一个点是不变的.他把这一定理推广到高维球面.尤其是,
在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点.在定理证明的过程中,他引进了从
一个复形到另一个复形的映射类,以及一个映射的映射度等概念.有了这些概念,他就能第
一次处理一个流形上的向量场的奇点.
康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系.G.皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形.这两个发现启示了,在拓扑映射中,维数可能是不变的.1910年,布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性.在证明过程中,布劳威尔创造了
连续拓扑映射的单纯逼近的概念,也就是一系列线性映射的逼近.他还创造了映射的拓扑度
的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数.实践证明,这些概念在解决重要的
不变性问题时非常有用.例如,布劳威尔就借助它界定了n维区域;J.W.亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性.
这些都是不动点定理的一种延伸。