作文一：《关于排队接水的数学论文》1200字

关于排队接?水的数学论?文

问题：有５个人拿?着溶量分别?为１０升、２０升、３０升、４０升、５０升的水?桶同时到一

?个公共水龙?头接水。

１、　请给出一个?方案～使得全体人?员的总体时?间最少。

２、　并将问题推?广到一般情?况。

解：

设：这５个人分?别为甲、乙、丙、丁、戊，他们分别拿?着１０升、２０升、３０升、４０升、

５０升的水?桶。假设装满１?０升水要花?费１分钟。

（１）　当只有甲、乙两人排队?接水时：

排队的情况?有２种，即甲乙和乙?甲这２种。则他们花费?的总体时间?分别为

Ｔ＝１×２＋２×１＝４（分钟）　甲乙

Ｔ＝２×２＋１×１＝５（分钟）　乙甲

（２）　当只有甲、乙、丙３人时：

排队的情况?有６种，即甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲这６?种。则他

们花费?的总体时间?分别为

Ｔ＝１×３＋２×２＋３×１＝１０（分钟）　甲乙丙

Ｔ＝１×３＋１×２＋２×１＝１１（分钟）　甲丙乙

Ｔ＝２×３＋１×２＋３×１＝１１（分钟）　乙甲丙

Ｔ＝２×３＋３×２＋１×１＝１３（分钟）　乙丙甲

Ｔ＝３×３＋１×２＋２×１＝１３（分钟）　丙甲乙

Ｔ＝３×３＋１×２＋１×１＝１４（分钟）　丙乙甲

（３）　由（１）和（２）可知当拿最?小水桶的人?排最前面时?，所花的全体?人员的总

体?时间最少。所以这５个?人以甲乙丙?丁戊排队时，所花的全体?人员的总体?时间最少。

Ｔ＝１×５＋２×４＋３×３＋４×２＋５×１＝３５（分钟）　最少

把上面的问?题推广到一?般情况～即有ｎ个人?拿着溶量不?一的水桶同?时到一个?共水龙头接?水～给出个方案?～使得全体人?员的总体时?间最少。　公

解：设这ｎ个人?分别拿着溶?量为、ＶＶ、Ｖ、……Ｖｎ的水桶?。假设装满溶?量为Ｖ升

的?水要花费ｔ?分钟。

则他们花费?的总体时间?为

ＶＶＶＶｎＴ＝　×ｔ×ｎ＋　×ｔ×（ｎ－１）＋　×ｔ×（ｎ－２）＋　×ｔ×１　总ＶＶＶＶ

ｔ＝　×［Ｖ×ｎ＋Ｖ×（ｎ－１）＋×Ｖ×（ｎ－２）＋Ｖ×１］　ｎＶ

由上面的式?子很容易看?出当？ＶＶ？Ｖ？……？Ｖ时，Ｔ最小，即拿最小水?桶的人排总ｎ

最?面时，全体人员花?费的总体时?间最少。

讨论：但是在现在?生活里，我们很难做?到这样的安?排。如：在同时来接?水的人中，有老人、妇女、青年人时，我们会让老?人先接水，再到妇女接?水，而不管他们?拿的水桶是?大桶小桶。又如：在同时来接?水的人中，有的人在接?完水后有急?事要去做，又有的人在?接完水后没?事可做，这时我们会?让有急事要?做的人先接?水，而不管他们?的水桶是大?桶小桶。

学了数学模?型后的感想?

没有学数学?模型之前，我总认为数?学很没用，特别是高等?数学，因为在生活?中，我很少用到?高等数学去?解决问题，也不懂用高?等数学去解?决生活中的?问题。

可是在数了?数学模型这?门课后，我觉得数学?模型这门课?很深奥，因为这门课?常常用到高?等数学，而我高等数?学又学不好?，所以在上课?时我很难听?懂老师的讲?课。但这门课让?我意识到数?学其实在我?们生活中无?处不在，只是我们缺?乏发它们的?探索精神。

作文二：《关于数学论文的写作-2》27200字

关于数学论文的写作

汕头大学数学研究所　麦结华

２０１０．　１１．　０５

说明：近这几年，我检查修改多篇合作的文章　的整理稿的英文译文，每每检查修改一处，便同时　写下一条“修改记事”　，因此积累了许多文字。现　将这些“修改记事”筛选、整理成一篇“关于数学　论文的写作”　，供感兴趣的人参考。　（这些文章都已　投稿国外的　ＳＣＩ　数学刊物，　大多数已经发表或者已　经被接受）　。

★　０１关于标题

标题要能够尽量反映本文所研究和解决的主要　内容　，同时标题　又不能太长　，所以文章写好之后要　认真想一想取什么样的标题。

★　０１（２０１００６１４－０７２３）　关于文章的标题：本　文实际上没有涉及到图映射的非游荡集的拓扑结　构　。只有能够从整体上给出　Ω（　ｆ　）　的结构组成的一　些描述，才算是讨论了非游荡集的拓扑结构。我印　象中　ＸＸＸ　１９８６年数学学报那篇中文论文（即文献　［２０］）好像也没有真正涉及到区间映射的非游荡集　的拓扑结构，虽然它的标题带有“拓扑结构”的字

样。　本文的标题还是“图映射的非游荡点”比较准　确　。

★（２００６１１１０）　关于标题的单　，　复数问题：发来　的附件已经将标题改为

Ｔｈｅ　ｓｐａｃｅ　ｏｆ　ω－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔｓ　ｏｆ　ａ　　ｇｒａｐｈ　ｍａｐ。　我再想了想，　标题是否改为复数更好？即，　改为　Ｓｐａｃｅ　ｓ　　ｏｆ　ω－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔｓ　ｏｆ　ｇｒａｐｈ　ｍａｐｓ　。　关于文章标题的单、　复数，　我以往写文章时

经常遇到这个问题。为此常常注意查看别人的文章　标题是用单数还是复数。结果发现既有人用单数，　也有人用复数。　印象中好像前苏联和东欧的作者偏　向于用单数，其他国家的作者用复数的较多　。我以　往的文章，只要能用复数，便都用复数。例如，我　０３年发表在　《　Ｔｒａｎｓ．　ＡＭＳ》　上的文章　“　Ｔｈｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　Ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｍａｐ　ｓ　”，标题便是用复数，而　不是用单数“　Ｔｈｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｏｆ　ａｎ　Ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　Ｍａｐ　”。　用复数，感觉讨论的面比较广，是某一范　围里面的所有的研究对象。而用单数，粗看起来便　多少有点是不是只讨论某一个特定的对象的感觉。　喜欢用单数的作者，可能是觉得用单数更精确　（这　也是我思考过的问题）。以本文标题为例，如果用

Ｓｐａｃｅｓ　ｏｆ　ω－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔｓ　ｏｆ　ｇｒａｐｈ　ｍａｐｓ　，　那么，会不会使读者误认为所讨论的　Ｓｐａｃｅｓ　中

的某一个　ｓｐａｃｅ　是由多个不同的　ｇｒａｐｈ　ｍａｐｓ　中的　＄＼ｏｍｅｇａ＄－ｌｉｍｉｔ　ｓｅｔｓ　混合组成？不过，我最后还是　觉得不会造成这种误会。用复数，即使存在这样的　不够精确的问题，读者也可以接着在文章的摘要中　弄清楚标题的准确意思。相对来说，我觉得让读者　看了标题之后感到“文章讨论的面比较广”，这点　更重要一些。

★　０２关于摘要

★　２００８０６２４收到的打字稿的摘要，　觉得短了些。　美国《数学评论（Ｍａｔｈ．　Ｒｅｖｉｅｗｓ）》登出已发表文　章　的　介　绍　，　有　时　候　，　Ｒｅｖｉｅｗｅｒ　没　空　写　文　章　的　Ｒｅｖｉｅｗ　，会向编辑部建议用作者写的摘要作为　Ｒｅｖｉｅｗ　。所以，作者写自己文章的的摘要，还是略　为详细一点的好。

★　许多读者在决定是否阅读你的文章之前，　要先　阅读你的文章的摘要，　然后才决定是否阅读文章全　文。从这个角度来说，也要把摘要写好。摘要要尽　量能反映本文的主要内容。摘要要有独立性，要尽　量能使读者不看文章的正文也能理解其意思，　所以　有时摘要中也可含有少许名词或记号的定义的介　绍。

★　（２００８１００３）　文章的摘要太短，　与文章这么长　不相适应。我过一两天再看看能否增加、改写。

★　０３关于关键词和分类号

★　现在的数学文章多半有关键词和　ＭＲ　分类号　这两栏，　那是为了便于读者通过网络检索和便于情　报部门处理。关键词和分类号要挑选得准确。

★　２０００美国数学会的分类号　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ可以从网上下载。

★　（２００８１０２５．０８：３２记）：这次和上一次检查修　改文章，都没有对文章的“　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｓｕｂｊｅｃｔ　Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ．　Ｐｒｉｍａｒｙ　３７Ｅ２５，　３７Ｂ２０；　Ｓｅｃｏｎｄａｒｙ　５４Ｈ２０，　５４Ｅ４０．”进行检查修改。但如果当初这个分　类号就是由我选择确定的，那就没有问题。

★　０４关于文章的第一节“引言”的写作　２００９０１１１．１３：０２：改写了引言。由于文章不长、　英语不够熟练和不是国际学界权威学者等　３个原　因，　文章的引言可以采取

介绍一些本文涉及的主要概念的定义　＋

谈一下已有的涉及到这些概念的工作　＋

本文将要进行的进一步的研究及本文得到的主　要结果

的模式　，　避免出现一些程度较强烈的、看似高谈阔　论的、　有鲜明的个人独立见解和个人评论意见的语　句　（２０１０１１０４补记：除非你已经比较权威，　水平已

经比较高了）　。　在摘引国外文章　（特别是那些物理、　化学等非数学领域的文章和那些母语非英语的作　者的文章）中的一些语句时，避免摘引那些比较别　扭的、难于理解的、从语法上来说难于解释得通的　句子　（２０１０１１０４补记：除非你的英语水平已经很高　了）　。

★　２００９０２０１．０９：０６－２００９０２０５．２０：３７记：在这里　还是简单谈一下各节的修改的大致情况。如前面已　提到，第一节重新写了。考虑的因素还包括：（１）　“敏感性”和“连续统”都是本文的关键词，但相　对来说　“敏感性”　是本文的更基本的关键词，　“连　续统”是次要一些的关键词，同时，“敏感性”是　较新一些的概念，　“连续统”　是较经典一些的概念，　因此，在第一节中要介绍一些概念的定义的话，应　该介绍“敏感性”的定义而不是介绍“连续统”的　定义；　（２）　如果是博士论文或者几十页的长篇文　章，便可以在　第一节的末尾　加一段，说“本文的结　构安排如下：．．．．．．　”，分别简介本文各节的内容。　但不到　１０页或只有　１２－３页的较短的文章，　就　不　必分别简介本文各节的内容，只需平铺直叙，强调　指出本文的主要结果和推广了那些已有的工作即　可　。　（换言之，　准备投稿一个数学刊物的数学论文，　其第一节“引言”不要写得像博士论文和硕士论文　那样详细）。

★　Ｅ　（２００８０６２４）　第一节的最后一段，　“　Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ

ｉｓ　ｏｒｇａｎｉｚｅｄ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ原因是　本　文的篇幅比较短，结构不复杂，只需统观全文，介　绍本文的主要工作，不必分节介绍　。接下去，打印　稿中“　ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｅａｃｈ　Ｐｅａｎｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ　ｈａｖｉｎｇ　ａ　ｆｒｅｅ　ａｒｃ　ａｄｍｉｔｓ　ｎｏ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｍｕｔａｔｉｖｅ　ｇｒｏｕｐ　ａｃｔｉｏｎｓ　”　，原因是英语中完全否　定及部分否定的表述方式与中文不一样。在英语　中，“　Ｎｏｗ　ｅａｃｈ　ｐｕｐｉｌ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｃｌａｓｓ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｒｏｏｍ　”　译成中文是“现在这个班的学生并非　每一个都在教室里”，不能译成“现在这个班的每　一个学生都不在教室里”。英语中，形如“　ａｌｌ　…　ｎｏｔ　…　”　，　“　ｅｖｅｒｙ　…　　ｎｏｔ　…　”　，　“　ａｎｙ　…　　ｎｏｔ　…　”　，　“　ｅａｃｈ　…　ｎｏｔ　…　”的句子都只是部分否定而非全部否定。　★　（２００８０６２４，关于第三节）　我想，第　１节还是　稍为压缩一点篇幅，稍为写短一点为好。第　１节的　重点应该是介绍一下前人的有关周期轨道和极小　集的型，和它们之间的蕴含关系的定义，以及相关　的结果、定理。　介绍前人的这些工作，介绍每一个　比较重要的概念和每一个重要的结果，　都只用一两　句话带过，　甚至几个人的同类型的结果合并成一两　句话带过，　不要为前人的某一个定义或某一个定理　单调写一段，更不要加上黑体字标题编号。介绍前　人的这些工作，　目的还是为了说明本文作了进一步　的推广　。

★　０９　（２００９０９０１－０９０７）　２页　２－３行的

“　Ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅｓ　ｍａｙ　ｂｅ　ｆｏｕｎｄ　ｉｎ　［２，　９］”这一句是否参照了外国作者的文章　中的类似叙述？如果有所依据，　便比较放心。　否则，　这里采取倒叙的方式，按照“　其实，更早前，在　［２，　９］中已经研究过周期点集为有限集或闭集的区间映　射，得到了一些有关的结果　”来翻译，比较具体一　些。

（这一段的意思是说，第一节“引言”中，如果　介绍已有的几篇文章中的同一个类型的结果，　还是　尽量按照文章发表的先后顺序介绍，　一般不要采用　倒叙的方式）。

★　４８（２００９０９０１－０９０７）　本　文　还　是　采　用　“　ＯＲ１．ｐｄｆ　”的方式叙述较好，不要采用“　ＯＲ．ｐｄｆ　”　那种叙述方式。

绝大多数教科书、　论文都是按照逻辑推理的先后　顺序叙述。偶尔有些文章（以及偶尔有些老师讲某　一节课）采用倒叙的方式，先交代主要定理的证明　线索，　然后再补上主要定理的证明中要用到的引理　的证明。采用倒叙的方式的一个缺点是：读者须额　外小心：是否有逻辑循环？后面补上的引理的证　明，有没有无意中用到了前面主要定理的结果？　我觉得，　只有当引理的证明非常艰难，　或者非常　繁琐，非常麻烦时，该引理的证明需要七、八页甚　至十几页篇幅时，或者，主要定理的证明要用到几　个引理，这几个引理的证明，每个都要两三页篇幅

时，这时才考虑是否采用倒叙的方式。

本文只有一个引理的证明长一点，　而且，　也不是　非常长，只是两页半多一点，所以，还是采用　“　ＯＲ１．ｐｄｆ　”的方式叙述较好，不要采用“　ＯＲ．ｐｄｆ　”　那种叙述方式了。

★　０５（２００９０９２３－２００９０９２９）　本文的引言的第　一段已经直接进入到可迁群作用和可迁同胚的概　念的定义，避开了与本文无关的其他动力系统概念　的介绍。但第　２页第二段“　Ｒｅｃｅｎｔｌｙ，　ｔｈｅｒｅ　ｈａｓ　ｂｅｅｎ　??”　又转回到群作用的其他动力系统性质的　已有的一些研究工作的综述。感觉叙述不够紧凑，　不够流畅。而且，这一段不是由远而近，从一般空　间逐渐转入一维空间，而是一下子就转入一维空　间，比较突然。

（这一段的意思是说，在第一节“引言”中，在　介绍以往的文献中的结果或者介绍一些与本文有　关的概念时，应该是由远到近，由一般到特殊，尽　量不要由远到近之后又再说回到远，　由一般到特殊　又再说回到一般）。

研究工作是一个长期的流动的过程，以往得到　的一些结果，只是更多的结果中的一部分。一些问　题得到解决的同时，还会有其他许多同类问题没有　得到解决。　因此，　我觉得，　介绍文献中的已有结果，　用一般过去时即可，　不要用现在完成时　ｈａｓ　ｂｅｅｎ之

类。　只有某一个单独的具体的问题　（如某一个猜想）　被解决了，介绍此问题时才用现在完成时　。

★　（２０１００５０６）　引言　２页　１段的“　Ｃｏｖｅｎ　ａｎｄ　Ｈｅｄｌｕｎｄ　＼ｃｉｔｅ｛ＣＨ｝　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｈｉｓ，　ｏｂｔａｉｎｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ　ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｗｅａｋｅｒ　ｈｙｐｏｔｈｅｓｉｓ　ｔｈａｔ　ｓｏｍｅ　ｐｏｗｅｒ　＄ｇ　＝　ｆ＾ｎ＄　ｏｆ　＄ｆ＄ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ　ｆｉｘｅｓ　ａｌｌ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｐｏｉｎｔｓ”这一句，是否引用自原文或者引自　其他外国人写的文章？　（如果不是引用自原文或者　引自其他外国人写的文章，那么，打算还是采用我　们自己习惯的那种比较平淡但比较精确的叙述方　式　）

★　（２０１００６１４－０７２３）　这一段的第一句提到了那么　多文献，也可以细化一点，多写几句话，　每一句概　述这几篇文献中的一篇的一个具体结果　。

★　Ｂ　（２００８０６２４）　第二节第二段“　Ｆｉｒｓｔ　ｏｆ　ａｌｌ，　ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｓｏｍｅ　ｎｏｔａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝”　也删去。本文没有太多的　ｎｏｔａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，　特别是没有比较艰深、比较难掌握的概念，　流水作　业般叙述即可，　不用特别加上一句话说明作者的意　图　。

★　０５文章叙述的详略的掌握

凡是感觉思考时比较费力的地方便叙述详细一　些，感觉容易明白的地方便叙述简洁一些。有些地　方，　作者已经思考很久了，　便觉得容易明白。　但是，

要站在读者的角度，假定读者初次思考这个问题，　是否也会觉得容易明白？

★　（２０１００５０６）　引理　２．４中补写的　“　Ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ａｎ　ａｒｃ　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔ　Ｇ＄　ｓａｔｉｓｆｙｉｎｇ　ｔｈｅ　ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔ．　”　及　“　Ｂｅｆｏｒｅ　ｔｈａｔ，　ｗｅ　ｎｅｅｄ　ｓｏｍｅ　ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ．　”　等一些句子属于常规之谈，　删去。　“　Ｈｅｒｅ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｉｄｅａ：　ｆｉｒｓｔｌｙ　ｗｅ　ｃｏｌｌｅｃｔ　ｔｈｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　＄＼ｏ（ｆ）－＼ｏｖｅｒｌｉｎｅ｛Ｒ（ｆ）｝＼ｎｅｑ　＼ｅｍｐｔｙｓｅｔ＄　ｔｏ　ｓｏｍｅ　ｅｄｇｅ　＄Ｅ＄；　ｔｈｅｎ　ｗｅ　ｔｒｙ　ｔｏ　ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｑｕｉｒｅｄ　ａｒｃ　＄Ａ＄　ｉｎ　＄Ｅ＄．”一句可简化，改写。重点还是　要在读　者较难明白的地方补说详细一些　。要把引理　２．４的　证明写详细一些，主要是判断原证明中那些地方的　推导过程过于简略，读者思考时会过于费神，然后　把这些地方写详细一些。　而　判断那些地方读者较难　明白，主要是依靠作者自己的感觉　。作者自己重新　阅读、检查原证明时，如果觉得那些地方需比较费　力思考，那么，这些地方应当也是读者较难明白的　地方。

★　２００８１０１９．１８：１７记：（３）　定理　２．３（原来的　定理　２．５）的证明，原来的叙述有点简略，读者阅　读思考时可能要费力一些，　现在　修改得稍为详细一　些，以便读者阅读时不那么费力。但所有改写详细　的地方，都只是增加一句半句话，篇幅增加不多　。

★　２００８１０１９．１８：１７记：第三节也作了大的修

改，包括：（１）　叙述方面的大的调整　；　（２）　增加　了命题　３．１及其简短的证明；　（３）　改进了命题　３．２并简化了它的叙述和证明　；　（４）　类似于定理　２．３，　定理　３．３的证明也详细了一些，以便于读者理解，　但篇幅几乎没有怎样增加；　（５）　增加了　Ｒｅｍａｒｋ　３．４。

★　０３（２０１００６１４－０７２３）　引理　４的证明的第三　段　的　第　一　句　改　为　“　Ｉｆ　＄ｕ＼ｉｎ　（ａ，ｃ）＄，　ｔｈｅｎ　＄ｕ＼ｉｎ　＼ｂｉｇｃｕｐ＿｛ｎ＝１｝＾｛＼ｉｎｆｔｙ｝ｆ＾｛ｋ　ｎ｝（［ｃ，ｂ］）　＼ｓｕｂｓｅｔ　＼ｂｉｇｃｕｐ＿｛ｎ＝１｝＾｛＼ｉｎｆｔｙ｝　ｆ＾ｎ（［ｃ，ｂ］）＄　ｓｉｎｃｅ　＄［ａ　，ｂ］＼ｃａｐ　Ｐ（ｆ）＝＼ｅｍｐｔｙｓｅｔ＄．　”　。　其　中　，　增　加　“　＼ｂｉｇｃｕｐ＿｛ｎ＝１｝　＾｛＼ｉｎｆｔｙ｝ｆ＾｛ｋ　ｎ｝（［ｃ，ｂ］）　＼ｓｕｂｓｅｔ”　这中间的一步是为了　使　读　者　容　易　理　解　一　些　；　而　后　面　的　“　＄［ｃ　，ｂ］＼ｃａｐ　Ｐ（ｆ）＝＼ｅｍｐｔｙｓｅｔ＄”　则　必　须　改　为　“　＄［ａ　，ｂ］＼ｃａｐ　Ｐ（ｆ）＝＼ｅｍｐｔｙｓｅｔ＄”

★　０５（２０１００６１４－０７２３）　原稿的引理　５的证明，　即使是那些没有推论差错的地方，也存在　叙述过于　简略　的问题，　令读者费神　。例如，证明的第　７－８行说　“　Ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　ｍ　＞　ｍａｘ　｛　ｊ，　ｋ　｝　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　”，得到第　９行的式子。抛开前面已经用　ｍ　表示点　ｙ　的周期这个问题不提。　这里应该说一下　ｍ　的选取的依据，不宜用“不妨假定”的方式下结　论　（什么时候可以用“不妨假定”的方式？当两种　或多种情形对称或相似时，我们可以“不妨”只讨　论一种情形；当两种情形之中有一种情形很容易处　理时，我们也可以“不妨”只讨论较难处理的那一

种情形　）。第　９行的式子中，别的部分比较容易解　释，唯有中间的“　ｘ　　＼ｍａｘ＼｛ｊ，ｋ＼｝＄　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　??　”　，　这样不好　。　可能还有一些其他小问题，如证明中最后一个词　“　Ｔｈｅｎ　”和“　Ｔｈｕｓ　”的用法可能不当；“　ｓ　”第一　次出现时应该是“　Ｌｅｔ　ｓ　＝　?”而不是“　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｓ　＝　?”，等等。

★　０７文章的打字

把文章打得整齐、　美观、　清晰一些，　有助于读者　阅读时（包括作者自己检查修改时）更加集中注意　力于文章的内容的思考。

★　（２０１００５０６）　为了版面的美观，为了阅读时　较为舒适，能够集中注意力于数学内容的思考之　中，全文调整了　段与段之间的距离　。有些地方，凡　出现了闭包符号或者　＼ｂｉｇｃｕｐ　之类符号的，也调整　了行距，增加了约　０．５ｍｍ　至　１ｍｍ　的距离。

此外，　ｔｅｘ　软件有些微小的不足：好些数学字母　和字符如　＄Ｗ＄、希腊字母、空集记号等等在编辑　成　ｄｖｉ　和　ｐｄｆ　文件之后左右不对称（以　ｐｄｆ　文件为　准），常常是左边空隙少而右边空隙多（也有左边　空隙多而右边空隙少的，如等号，等等）。因此，　我在全文中通过　“　＼，”　，　“　＼；”　，　“　＼；＼！”　，　“　＼　＼，”　，　“　＼！”　等等记号调整了一些　字与字之间的距离　。　有些地方　还用这些记号增加了同一行中的两个式子或两个　句子之间的距离，以便感觉清晰一些。

每一段的开头，我都加了“　＼　”，以便增加了一　格“　ｉｎｄｅｎｔ　”。

★　１０（２００９？？？？　－？？？？　）　为了文章的版面更清　晰、美观，作了一些排版方面的，行距、字距的调　整，等等。

★　１０（２００８１００３　（４））　第　７页引理　２．２与下面的　图　表　之　间　增　加　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝　甚　至　增　加　＼ｖｓｐａｃｅ｛３ｍｍ｝，　＼ｖｓｐａｃｅ｛４ｍｍ｝，具体增加多少毫米　才合适，须　Ｌａｔｅｘ　编辑之后，　按美观标准确定　。

★　１０（２０１００６１４－０７２３）　这篇文章的　ｔｅｘ　文件和　ｐｄｆ　文件，为了阅读时感觉美观、舒适一些，我在　打字时对文章的排版、行距、字距等等都很注意调　整了。

★　Ｆ　（２００８０６２４）　相应地，打字稿　２页　１、　２行分　别改为：

Ｎａｔｕｒａｌｌｙ，　ｏｎｅ　ｍａｙ　ａｓｋ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍ：　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝

｛＼ｂｆ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ａ．　｝｛＼ｉｔ　Ｇｉｖｅｎ　ａ　ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ　ｓｐａｃｅ　＄Ｘ＄，　ｃａｎ　ｉｔ　ａｄｍｉｔ　ａ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｖｅｒｔｉｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｍ　｝？　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝　（我注意到许多英文数学教科书和　英文论文，特别是比较传统的，印刷版的，数字和　标点符号（括号、感叹号、问号、冒号等）在任何　场合都不用斜体）　。

★　Ｆ　（２００８０６２４，十二）　我注意到国外出版的、　传统的、　纸质印刷的英文数学书籍、　论文，　遇到　大、　中、小括号和阿拉伯数字，在任何场合（至少是绝　大多数场合）都使用正体，即使夹在斜体文字中　（如，出现在定理、引理、命题中），也总是使用　正体。（类似的，还有　ｓｉｎ　、　ｃｏｓ　等函数符号在任何　场合中也总使用正体）　。在现代电子版的数学刊物　中，　许多作者也注意遵循传统的方式，　在任何场合，　大、中、小括号和阿拉伯数字都使用正体。因此，　本文的命题　３．３（原编号）　中的斜体字　（３．１）和　（３．６）　－（３．９）　也是改为正体较好。　方法是，　在　ｔｅｘ　源文件　两边加上　ｄｏｌｌａｒｓ　，　即改为　＄（３．１）＄　和　＄（３．６）　－　（３．９）＄　，编辑出来之后，在　ｄｖｉ　和　ｐｄｆ　文件中便得　到正体　。

★　Ｄ　（２００８０６２４）　第　四　段　“　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝　｛＼ｎｏｉｎｄｅｎｔ＼ｂｆ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２．１．　｝｛＼ｉｔ　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　＄Ｘ＄　ｉｓ　ａ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ　ｗｉｔｈ　ｍｅｔｒｉｃ　＄ｄ＄．　Ａｎ　ａｒｃ　＄Ａ＄　ｉｎ

＄Ｘ＄　ｉｓ　ｓａｉｄ　ｔｏ　ｂｅ　｛＼ｂｆ　ｆｒｅｅ　｝　ｉｆ　＄＼ｓｔａｃｋｒｅｌ｛＼ｃｉｒｃ｝｛Ａ｝＄　ｉｓ　ａｎ　ｏｐｅｎ　ｓｅｔ　ｉｎ　＄Ｘ＄｝．　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝Ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ　ｗｅ　ｈａｖｅ　”

由于　“自由弧”　是前人已经定义的概念，　不是本　文新提出的概念，又是比较简单、容易定义和容易　记忆的概念，不是比较复杂而需要特别引起注意的　概念，因此，不需要特别的定义编号　｛＼ｎｏｉｎｄｅｎｔ＼ｂｆ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２．１．　｝，　因　此　，　删　去　编　号　｛＼ｎｏｉｎｄｅｎｔ＼ｂｆ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２．１．｝。　同时，　定义中的叙述文字不用斜体　（即使不删去编号　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ　２．１．，一般的杂志中，　定义中的叙述文字也不用斜体），因此绿色的　｛＼ｉｔ　及　｝　删去。　仅仅是所定义的那一个术语　ｆｒｅｅ　使用　粗黑体　（用粗黑体　｛＼ｂｆ　｝比较醒目，　比较好，　读者看　到后面，　忘记了　ｆｒｅｅ　ａｒｃ　的定义，　返回前面找，　比　较容易找到。　用斜体　｛＼ｉｔ　｝不那么醒目，　不那么好　）　。　跟着的一句　Ｏｂｖｉｏｕｓｌｙ　ｗｅ　ｈａｖｅ，就没有必要单独占　一段，可接上去，于是，紫色的　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝也删　去。

★　０８英语词汇的使用

★　２００８１０１９．１８：１７记：在　２００８１００３修改稿中，　第二节的开头增加了一句“　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ　ｗｅ　ｓｔｕｄｙ　ｓｏｍｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｃｈａｉｎ　ｒｅａｃｈａｂｌｅ　ｓｅｔｓ　ａｎｄ　ｃｈａｉｎ　ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ　ｓｅｔｓ．　”。现在再将“　ｓｔｕｄｙ　”改为　“　ｄｉｓｃｕｓｓ　”。（由于这些“　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ”都比较

简单，第二节的内容也只是本文的过渡而不是本文　的主要结果，因此觉得，用“　ｓｔｕｄｙ　”一词显得隆重　了一些，改为用“　ｄｉｓｃｕｓｓ　”比较合适）。

★　Ｆ　（２００８０６２４）　引理　２．２中，　“　ｔｈｅ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ　＄Ｘ＄”须改为“　ａ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ　＄Ｘ＄”，原因是这里　的度量空间　＄ｘ＄不是特指，即使前面已经提到过　＄Ｘ＄，这里的　＄Ｘ＄也可以与前面提到过的　＄Ｘ＄不同。　（２０１０１１０４补记：这段涉及到冠词的使用。　要注意　区分什么时候用定冠词“　ｔｈｅ　”，　什么时候用不定　冠词“　ａ　”　）。

★　Ｈ　（２００８０６２４）　引理　２．３中的那个“　ａｌｗａｙｓ　”　删去，　原因是　中英文的差别　。　例如，　中文的句子　“任　何正常的人都有两只手”　，　去掉　“都”　字便不通顺。　但翻译成英文时，　有了　Ａｎｙ　或　Ｅａｃｈ　或　Ｅｖｅｒｙ　或　Ａｌｌ　之后便不必把“都”字翻译出来。

★　Ｅ　（２００８０６２４）　第一节的最后一段，　“　Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｉｓ　ｏｒｇａｎｉｚｅｄ　ａｓ　ｆｏｌｌｏｗｓ原因是本　文的篇幅比较短，结构不复杂，只需统观全文，介　绍本文的主要工作，不必分节介绍。接下去，打印　稿中“　ｗｅ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈａｔ　ｅａｃｈ　Ｐｅａｎｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ　ｈａｖｉｎｇ　ａ　ｆｒｅｅ　ａｒｃ　ａｄｍｉｔｓ　ｎｏ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｍｕｔａｔｉｖｅ　ｇｒｏｕｐ　ａｃｔｉｏｎｓ　”　英语中完全否　定及部分否定的表述方式与中文不一样　。在英语　中，“　Ｎｏｗ　ｅａｃｈ　ｐｕｐｉｌ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｃｌａｓｓ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｌａｓｓｒｏｏｍ　”　译成中文是“现在这个班的学生并非

每一个都在教室里”，不能译成“现在这个班的每　一个学生都不在教室里”。英语中，形如“　ａｌｌ　…　ｎｏｔ　…　”　，　“　ｅｖｅｒｙ　…　　ｎｏｔ　…　”　，　“　ａｎｙ　…　　ｎｏｔ　…　”　，　“　ｅａｃｈ　…　ｎｏｔ　…　”的句子都只是部分否定而非全部否定。

★　０９　（２００９０９０１－０９０７）　２页　２－３行的　“　Ｐｒｅｖｉｏｕｓ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅｓ　ｍａｙ　ｂｅ　ｆｏｕｎｄ　ｉｎ　［２，　９］”这一句是否　????

原句中，因为是肯定性的，用　ｃａｎ　取代　ｍａｙ　可　能比较好一些。其次，从意义的搭配来看，　ｒｅｌａｔｅｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　搭配　ｃａｎ　ｂｅ　ｆｏｕｎｄ是可以的，　但　ｓｐｅｃｉａｌ　ｃａｓｅｓ应该搭配　ｗｅｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ或　ｗｅｒｅ　ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ，　不宜搭　配　ｗｅｒｅ　ｆｏｕｎｄ。

★　４４（２００９０９０１－０９０７）　在　６页　６－７行的那一　段话“　Ｂｙ　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．６　ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．７，　２．８，　ｗｅ　ｈａｖｅ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｒｅａｄｉｌｙ，　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．”，　改为　“　Ｆｒｏｍ　　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．６，　Ｌｅｍｍａ　２．７ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．８　ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｒｅａｄｉｌｙ，　ｗｈｉｃｈ　ｉｓ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．　”。（得到比较重要的结果时，我的感觉是：用“　ｏｂｔａｉｎ　”比用“　ｈａｖｅ　”隆重）。（“　Ｆｒｏｍ　”配　“　ｏｂｔａｉｎ　”，表示来源；“　Ｂｙ　”配“　ｈａｖｅ　”，表示　依据）。　（“　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．６，　　Ｌｅｍｍａ　２．７　ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．８”　可以改为　“　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．６　ａｎｄ　　Ｌｅｍｍａｓ　　２．７　ａｎｄ　２．８”　，　但出现两个　“　ａｎｄ　”　，　不如用　“　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．６，

Ｌｅｍｍａ　２．７　ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．８”好　。如果　引理　２．７和　２．８合在一起称呼，　要用复数　“　Ｌｅｍｍａ　ｓ　”　，　字母　“　Ｌ　”　仍然大写，不能用单数“　Ｌｅｍｍａ　２．７，　２．８”　）。　★　０４（２００９０９２３－２００９０９２９）　４页　４行的　“　ｗｅ　ｍａｙ　ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　”，此类情况下，我习惯用“　ｗｅ　ｍａｙ　ａｓｓｕｍｅ　ｔｈａｔ　”。（说“不妨假定”时，或者在证明　中用反证法要“假定”什么的时候，我都使用　“　ａｓｓｕｍｅ　”；而交代定理、引理、命题的条件时，　或者交代记号的含义时则使用“　ｓｕｐｐｏｓｅ　”。我未　注意是否有外国人的文章在说“不妨假定”时使用　“　ｗｅ　ｍａｙ　ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ”）。

★　０７（２００９０９２３－２００９０９２９）　参考文献　［３］中的　“　Ｌ＇Ｅｎｓｅｉｇｎｅｍｅｎｔ　Ｍａｔｈ．　”　与参考文献　［１０］　中的　“　Ｌ＇Ｅｎｓｅｉｇｎ．　Ｍａｔｈ．”是　同一个刊物，应同时使用全　称或同时使用缩写　。

★　１７（２００９０９２３－２００９１００９）　第四节开头的一句　“　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ，　ｗｅ　ｆｉｒｓｔ　ｐｒｏｖｅ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ”　，　觉得　比较平淡　，　拟改为　“　Ｔｏ　ｐｌｅｔｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，　ｗｅ　ａｌｓｏ　ｎｅｅｄ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ”（已　改），觉得这样　改之后稍为不那么平淡　。

★　１９（２００９０９２３－２００９１００９）　…………　不过，　最后我还是把这一句拆开，增添成几句，　以便读者　容易理解一些　了。

此外，命题　４．１的证明的叙述还有多处改动，　为

的是叙述更紧凑一些　（２０１０１１０１补记：叙述原因的　句子与叙述结果的句子尽量接近，　是叙述紧凑的一　个方面。此外，推理过程尽量少走弯路也是叙述紧　凑的一个方面）。

★　２１（２００９０９２３－２００９１００９）　定理　４．２之前的一　句，从“　Ｎｏｗ　ｗｅｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．”改为“　Ｗｅ　ｎｏｗ　ｐｌｅｔｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｏｆ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｏｆ　　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．”。

用“　Ｎｏｗ　ｗｅ”与用“　Ｗｅ　ｎｏｗ”，应该都可以。　不过，我有一本　１９８８年订阅的《　Ｐｒｏｅ．　ＡＭＳ》，印　象中，　大多数文章都用“　Ｗｅ　ｎｏｗ”，少有用“　Ｎｏｗ　ｗｅ　”　。

用　“　ｉｎ　”　与用　“　ｏｆ　”　，　应该都可以。　不过，　用　“　ｉｎ　”　表达的是地点位置，用“　ｏｆ　”强调的是所有关系。

★　０３（２０１００１３１）　“　Ｎｏｗ，　ｗｅ”　改为　“　Ｗｅ　ｎｏｗ”　（查看我那本　１９８８年的　《　Ｐｒｏｃ．　ＡＭＳ》　，　查了　５处，　有　４处用“　Ｗｅ　ｎｏｗ”，有一处用“　Ｎｏｗ　ｗｅ”，而　此处作者却是西班牙的）。

★　０１（２０１００１３１）　“　Ｄｅｃｅｍｂｅｒ　１０ｔｈ　，　２００９”　改为“　Ｄｅｃｅｍｂｅｒ　１０，　２００９”　（我以前收到的国外刊　物编辑邮寄来的信件，　签署的日期都不区分基数词　和序数词　，例如　Ｊｕｌｙ　２３，　２００３，　等等）。

★　０５（２０１００１３１）　“　ｔｈｅ　　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．４”　改为

“　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．４”　（“　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　３．４”　是　专有名词，　（２０１０１１０１补记）前面不再加冠词　）。

★　０６（２０１００１３１）　“　Ｔｈｅ　Ｃ　ｏｎｄｉｔｉｏｎ　（Ｃ．１）”改　为“　Ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　（Ｃ．１）”（“　Ｔｈｅ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　（Ｃ．１）”　不是专有名词，　Ｃ　不用大写）。　（２０１０１１０１补记：如果　ｃ　改为大写，　Ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　（Ｃ．１）便是专有名词。　按照重要性，如果觉得“条件　（Ｃ．１）”很重要，便把　它作为专有名词处理；如果觉得“条件　（Ｃ．１）”只是　本定理中的一部分，不是独立的，或者只是在本定　理的证明过程中出现，　那就把它作为非专有名词处　理）。

★　１５（２０１００１３１）　“　ｔｈｅ　　Ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　４．２－４．４”　改为“　Ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　４．２－４．４”（Ｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓ　前面不加　定冠词　ｔｈｅ　，原因与★　０５所述相同）。

★　（２０１００５０６）　定理　２．８之前有一句　“　ｗｅ　ｏｂｔａｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｒｅａｄｉｌｙ　”。我查看金山词霸，　“　ｒｅａｄｉｌｙ　”一词的词义有“乐意地　，　欣然地，容易　地，爽快地，不困难地，毫不勉强地，迅速地”，　觉得其中的“乐意地　，　欣然地，爽快地，毫不勉强　地”等词义多少带有一些　人的感情色彩。我觉得　在教科书中有时可使用一些带感情色彩的词以增　加亲切感，　而在原创论文中则是尽量使用中性的不　带感情色彩的词较好　。　因此我将　“　ｒｅａｄｉｌｙ　”　改为　“　ａｔ　ｏｎｃｅ　”。（但我只是通过词典和金山词霸等工具来

思考如何翻译，没有注意记住美英等国的作者在英　文论文中使用的词汇。如果看到有一些美英等国的　作者在英文论文中使用了“　ｒｅａｄｉｌｙ　”这个词，那么　本文也可以仿照使用这个词）。

另外，　我将　“　ｆｒｏｍ　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．５，　Ｌｅｍｍａ　２．６　ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．７”　改为　“　ｆｒｏｍ　Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ　２．５　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ｗｉｔｈ　Ｌｅｍｍａ　２．６　ａｎｄ　Ｌｅｍｍａ　２．７”，　将逗号“　，　”改为　“　ｔｏｇｅｔｈｅｒ　ｗｉｔｈ”是为了语气紧凑一些　。

★　（２０１００５０６）　关于用　“　Ｗｅ　ｎｏｗ”　好还是用　“　Ｎｏｗ　ｗｅ　”　好的问题：我以前曾经用个人经费订购了　１９８８年全年的（印刷版的）《　Ｐｒｏｃ．　Ａｍｅｒ．　Ｍａｔｈ．　Ｓｏｃ．　》　以及其他两三个外国数学期刊。其中，我常常查看　《　Ｐｒｏｃ．　Ａｍｅｒ．　Ｍａｔｈ．　Ｓｏｃ．》　１９８８年五月那一期中的　各篇文章的用词。我注意到这些文章基本上都使用　“　Ｗｅ　ｎｏｗ”，不容易找到一处使用“　Ｎｏｗ　ｗｅ”的。　不过，　既然现在有一个审稿人要求将“　Ｗｅ　ｎｏｗ　”　改为“　Ｎｏｗ　ｗｅ　”，那也不妨按照他的要求去改，　以免费口舌解释　。

★　Ｅ　（２０１００５２０－０６１３）　下面，　引理　２．２，　２．３，　２．４，　定理　２．５（都是指原来的编号，不是应该调整之后　的编号，下面类似）本身，还有证明中的句子，如　遇到“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ｉｓ　”和“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ａｒｅ　”　的，一般情况下都改为“　Ｌｅｔ　···ｂｅ　”，原因是　“　Ｌｅｔ　···ｂｅ　”比较简短，读起来比较爽口　。我看杂

志上的文章，也是　用“　Ｌｅｔ　···ｂｅ　”比较多，用　“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ｉｓ　”或“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ａｒｅ　”　比　较　少　。　只　有　同　一　段　中　连　续　一　两　次　使　用　了　“　Ｌｅｔ　···ｂｅ　”之后，才换一下，使用“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ｉｓ　”或“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ａｒｅ　”。（有时，定　理或命题中的假设条件比较多，此时怎么交替使用　“　Ｌｅｔ　···ｂｅ　”和“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　ｔｈａｔ　···ｉｓ　”，具体情况　再具体讨论）。

★　（２０１００５２０－０６１３）　调整了　ｎ　－ｎｅｔｗｏｒｋｓ　的例子　的次序，　先给出较简单的例子，然后再给出较复杂　较一般的例子　。

★　１４（２０１００５２０－０６１３）　在文章中，　作者可以在　经过考虑之后提出一些比较具体的、估计不是非常　困难也不是很容易的猜想、问题。但如果作者只提　出　“　本文的定理　Ｘ．Ｙ　中的条件是否可以减弱？结论　是否可以加强？　”这样的问题，则觉得比较平淡、　乏味，因为这是常识性的问题，对任何文章中的任　何定理都可以提出这样的问题。（如果是读者自己　提出这样的问题，或者是导师在经过筛选之后有针　对性地让研究生去考虑“　某篇文章中的某个定理的　条件是否可以减弱？结论是否可以加强？　”，则仍　然有意义）。

（２０１０１１０１补记：★　１４（２０１００５２０－０６１３）　这一　段的意思是说，在文章的最后，如果作者想向读者

提一些可研究的问题，那么，可以提一些难度适中　的、　比较具体的问题，　但不要提一些空泛的问题）　。

★　０９关于文章的写作

★　１９（２０１００６１４－０７２３）　关于文章的写作：在　发来的文件中，第三页的引理　４的叙述不够好。在　相应的　ｔｅｘ　文件中，该引理　４全文如下：

｛＼ｂｆＬｅｍｍａ　４｝＼　＼　Ｌｅｔ　＄Ｇ＄　ｂｅ　ａ　ｇｒａｐｈ　ａｎｄ　＄ｆ＼ｉｎ　Ｃ＾０（Ｇ）＄．　Ｉｆ　＄Ｃ＝（ａ，ｂ）＄　ｉｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　＄Ｇ－＼ｏｖｅｒｌｉｎｅ｛Ｒ（ｆ）｝－Ｄ（Ｇ）＄　ａｎｄ　＄ｃ＼ｉｎ　（ａ，ｂ）＄　ｗｉｔｈ　＄ｂ＝ｆ＾ｍ（ａ）＄　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　＄ｍ＼ｉｎ　＼ｍａｔｈｂｂ｛Ｎ｝＄　ａｎｄ　＄ｃ＝ｆ＾ｋ（ｂ）＄　ｆｏｒ　ｓｏｍｅ　＄ｋ＼ｉｎ　＼ｍａｔｈｂｂ｛Ｎ｝＄，　ｔｈｅｎ　ｔｈｅｒｅ　ｅｘｉｓｔｓ　＄ｊ＼ｉｎ　＼ｍａｔｈｂｂ｛Ｎ｝＄　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ　＄ｆ＾｛ｍ＋ｊｋ｝（ｃ）＼ｉｎ　（ｃ，ｂ）＄．　该引理在叙述方面存在的问题是：从“　Ｉｆ　”到　“　ｔｈｅｎ　”相隔太远，　“　Ｉｆ　”这一条件副句太长，实际　上是包含“　ａｎｄ　”　之前和之后的两个条件，这倒没　有什么。　问题是　“　ａｎｄ　”　之后的那个条件　“　＄Ｃ＝（ａ，ｂ）＄”　又带有一个“　ｗｉｔｈ　”引起的起定语作用的短语，该　短语又含有用　“　ａｎｄ　”　连接的两个部分。　因此，　“　Ｉｆ　”　这一条件副句显得结构复杂了些。

此外，原“　Ｉｆ　”这一条件副句中的“　＄Ｃ＝（ａ，ｂ）＄　ｉｓ　ｃｏｎｔａｉｎｅｄ　ｉｎ　ａ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｐｏｎｅｎｔ　ｏｆ　＄Ｇ－＼ｏｖｅｒｌｉｎｅ｛Ｒ（ｆ）｝－Ｄ（Ｇ）＄”　和　“　＄ｃ＼ｉｎ　（ａ，ｂ）＄”　这两部

份只是一般的记号的交代，　不算是什么特别要求或　特别重要的条件，　因此，　这两部份放在条件副句　“　Ｉｆ　”　中也显得语气过于急促，改为放在“　Ｌｅｔ　”部分，　以“　Ｌｅｔ　”的形式交代较好。

★　２０（２０１００６１４－０７２３）　如下引理（或命题，　或证明，和段落）的　叙述方式有微小改动　（思想方　法没有改动）　（所有此类改动都是因为重新阅读检　查时，　觉得可以　（或者需要）　把叙述改得更加流畅，　或者是觉得叙述中有些环节可以简化或取消，　或者　是觉得证明中有些地方叙述过于简略，　读者阅读时　会费力一些，需要叙述得详细一点　）：

引理　２．３（Ｉｆ　改为　Ｌｅｔ　中的　ａｎｄ　）；

命题　２．５（改变　ｏｒ　的叙述方式）；命题　２．５的证　明（个别文字的改动）；

????????

★　Ｆ　（２００８０６２４）　（１）　我的印象中，相对于　ｑｕｅｓｔｉｏｎ　而言，　ｐｒｏｂｌｅｍ　一词　似乎　更宏观一些，　或者　更理论性一些，或者更隆重一些，或者更严肃认真　一些；　（２）即使只有一个问题也加编号　，　变成　｛＼ｂｆ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ａ．｝或　｛＼ｂｆ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　１．｝，即　变成专有名词　。　如果只写　｛＼ｂｆ　Ｐｒｏｂｌｅｍ．　｝，　则到了后面，　隔了几页或　几段　了，　再提　及此　问题　时，　怎么　称呼　？说　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　或　ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ都不够明确所指。

（２０１０１１０４补记：同样地，　即使文章中只有一　个定理，　该定理也加编号，　变成专有名词　，　写成　｛＼ｂｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　３．１．｝之类，不要只称　｛＼ｂｆ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　｝）

★　Ａ　（２００８０６２４）　第二节开头这一段　“　Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ，　ｗｅ　ｗｉｌｌ　ｓｈｏｗ　ｔｈａｔ　ｉｆ　＄Ｘ＄　ｉｓ　ａ　Ｐｅａｎｏ　ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ　ｈａｖｉｎｇ　ａ　ｆｒｅｅ　ａｒｃ　（ｓｅｅ　Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ　２．１），　ｔｈｅｎ　ｉｔ　ａｄｍｉｔｓ　ｎｏ　ｓｅｎｓｉｔｉｖｅ　ｍｕｔａｔｉｖｅ　ｇｒｏｕｐ　ａｃｔｉｏｎｓ．”可　以　删去，　因为第二节的标题已经含有这一段的这一　句话的意思，　而且文章的摘要和第一节的末尾都说　了差不多一样的话　。

★　Ｂ　（２００８０６２４）　第二节第二段　“　Ｆｉｒｓｔ　ｏｆ　ａｌｌ，　ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｓｏｍｅ　ｎｏｔａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ．　＼ｖｓｐａｃｅ｛２ｍｍ｝”　也删去。本文没有太多的　ｎｏｔａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，　特别是没有比较艰深、比较难掌握的概念，　流水作　业般叙述即可，　不用特别加上一句话说明作者的意　图　。

★　（２００８０６２４，八）　接下去，　２００８年　２月稿的　第　６页第　２１行的　引理　３．１改为：

Ｌｅｍｍａ　３．６．Ｔｈｅ　ｍａｐｈ　：　Ｘ　＼ｔｏ　Ｘ　ｄｅｆｉｎｅｄ　ｂｙ　（３．６）　－（３．９）ｉｓ　ａ　ｈｏｍｅｏｍｏｒｐｈｉｓｍ．

（增加　几个字　，　是为了提醒许多只挑看引理和　定理、不细看中间过渡文字说明的读者，让他知道　去那里找　ｈ　的定义　）。

★　２０１０１１０４补记：许多读者（包括审稿人，

审稿人是第一个重要的读者）　在打算阅读你的文章　的全文之前，　往往先看看你的文章的摘要和第一节　“引言”中关于主要结果的介绍，先挑看你的文章　中的定理和一些主要命题、引理的内容。如果觉得　内容好，才决定看你的文章的全文。他先不细看你　的文章的中间过渡的文字说明。所以，　文章的定理　（以及命题和一些重要的引理）要有相对的独立　性，要使读者只看定理本身，不看定理之前的有关　说明文字也能明白你的定理的意思　。　定理中的一些　一般性的条件和一些记号，即使前面已经有了交　代，在叙述这个定理的时候还是要重新提一下　。例　如，假如有一个定理是这样：

Ｔｈｅｏｒｅｍ　３．２．　Ｌｅｔ　Ｘ　ｂｅ　ａ　ｐａｃｔ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ，　ａｎｄ　??　．Ｔｈｅｎ　????　．

并且你的文章中的其他引理定理也考虑非紧的度　量空间，那么，即使第三节的开头已经约定本节中　“　Ｘ　ｉｓ　ａ　ｐａｃｔ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ”，在定理　３．２的叙　述中也还是重提一句“　Ｌｅｔ　Ｘ　ｂｅ　ａ　ｐａｃｔ　ｍｅｔｒｉｃ　ｓｐａｃｅ　”较好，不然的话，读者没有注意或者没有　记住你在第三节的开头的约定，　他就要费力查看前　面的文字，　看看这个　Ｘ　是什么，　怎样定义，　有什么　条件，等等。

★　２０１０１１０５补记：在文章的第一节“引言”　中已经介绍了的定理，到了后面，在给出这个定理

的证明之前，　还是要重新叙述一遍这个定理　。　例如，　假如你的文章的一个主要结果是定理　３．２，并且在　文章的第一节“引言”中你已经介绍了这个主要结　果，在第一节中写出了定理　３．２，那么，在第三节　中你还是要重复叙述一遍定理　３．２的内容，不要只　给出定理　３．２的证明。因为，假如你在第三节中只　给出定理　３．２的证明，不再重复叙述一遍定理　３．２，　那么，读者阅读定理的证明时，看了一下第三节中　定理　３．２的证明，他记不住定理　３．２的条件和结论　是什么，便要翻回第一节中查看定理　３．２的具体内　容，要前后翻页几次，会增加许多麻烦。

★　２０１０１１０５补记：我早年的文章是定义、引　理、命题、定理、推理、例、注记分别分开编号。　后来，　有一篇投稿国外的文章，　审稿人建议将定义、　引理、命题、定理、推理、例、注记合在一起，按　出现的次序混合编号，我觉得有道理，此后都　采用　混合编号　。举例说，如果是分开编号，读者要查看　定理　３．２及其证明，他翻到了某一页，看到了引理　３．３，那么他就不清楚定理　３．２是在引理　３．３的前面　还是后面；　如果是混合编号，　那么他就知道定理　３．２是在引理　３．３的前面。

★　２００８１０１９．１８：１７记：如果　不是自己创新构造　的例子，只是借用已有结果作为例子来说明本文的　某一个定理的某些条件不能去掉，那么，　还是用简　单一些的例子较好　。

★　１０补遗（２０１０１１０６）

★　（２００８０８１１－０９１０，　Ｃ　’　）　引理　２．２之前的一　段，只有一句话，是“　Ｎｏｗ　ｌｅｔ＇ｓ　ｓｅｅ　ｓｏｍｅ　ｂａｓｉｃ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｎ　ａ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｍａｐ．”，其　中“　ｌｅｔ＇ｓ　”是缩写。　在数学论文中，不使用这样的　缩写　：“　ｉｔ　ｉｓ”不缩写为“　ｉｔ＇ｓ　”，“　ｉｓ　ｎｏｔ”不缩写　为　“　ｉｓｎ＇ｔ　”　，　“　ｗｅ　ｗｉｌｌ”　不缩写为　“　ｗｅ＇ｌｌ　”　，　“　ｃａｎｎｏｔ　”　不缩写为“　ｃａｎ＇ｔ　”，“　ｌｅｔ　ｕｓ　”不缩写为“　ｌｅｔ＇ｓ　”，　等等。　数学论文类似于严肃的法律文件和商业合　同，我想，在法律文件和商业合同中应该也不使用　这样的缩写　（虽然我没有阅读过英文的法律文件和　商业合同）　。　另外，　“　ａ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｍａｐ”　应该改为复数，“　ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ　ｍａｐ　”改为“　ｉｎｔｅｒｖａｌ　ｍａｐ　”。

★　（２００８０８１１－０９１０，　（三）　）　定理　５．２中　“　Ｓｕｐｐｏｓｅ　＄Ｘ＼ｓｕｂｓｅｔ　｛＼Ｒ｝＄　ｉｓ　ｐａｃｔ，　＄（Ｘ，　＼ｐｓｉ）　＼ｉｎ＼Ｐｓｉ＄　ａｎｄ　＄＼ｔｈｅｔａ＼ｉｎ｛＼ｂｆ　Ｃ｝＄．”　这一句改为　“　Ｌｅｔ　＄（Ｘ，　＼ｐｓｉ）＄　ｂｅ　ａ　ｃｐｍｐａｃｔ　ｌｉｎｅ　ｓｙｓｔｅｍ，　ａｎｄ　＄＼ｔｈｅｔａ＼ｉｎ｛＼ｂｆ　Ｃ｝＄　ｂｅ　ａ　ｐａｔｔｅｒｎ　ｏｆ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｏｒｂｉｔ．”。

以上几处都是把记号　“　＼ｉｎ　＼Ｐｓｉ＄”　改为术语　“　ｂｅ　ｌｉｎｅ　ｓｙｓｔｅｍ　”。改动的原因是：术语比记号容易记忆。　设想一个读者看了某篇文章的前面部分，中断一些　时间之后才继续往下看，那么，他可能记得住读过　的术语的定义，记不住记号的定义。所以，检查本

文，如果还有别的定理、引理、定义用了记号“　＼ｉｎ　＼Ｐｓｉ＄”的，也都改为术语“　ｂｅ　ｌｉｎｅ　ｓｙｓｔｅｍ”。但定　义　４．８之前（含定义　４．８），由于距离给出“　＼Ｐｓｉ＄”　的定义的　４．１小节的第一段还不远，就不要把“　＼ｉｎ　＼Ｐｓｉ＄”　改为“　ｂｅ　ｌｉｎｅ　ｓｙｓｔｅｍ”了。

★　（２００８０８１１－０９１０，　（五）　）关于数学符号　“　＼ｓｕｂｓｅｔ”与“　＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ”　。

我手中有几本经典的拓扑学的书（至少　４本），　还有集合论、实复分析、泛函分析的书（都限于外　国作者的英文的书），在用数学式子表达“　Ａ　是　Ｂ　的子集”（不限于真子集）这一句话时，都是用　“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔ　Ｂ＄”；但也查到两本拓扑学的书，是　使用“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　　Ｂ＄”　来表达“　Ａ　是　Ｂ　的子集”　的。看来，用“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔ　Ｂ＄”的书（和文章），　比　用　“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　Ｂ＄”　的　多　得　多　。　加　上　符　号　“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”比“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　＄”简单，因此，如果　“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”与“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　＄”二者只选用一个，　应该是选　用“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”较好　。

如果在同一篇文章中同时使用“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”与　“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　＄”这两个符号，则可以区分子集与真　子集，即“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　　Ｂ＄”表示“　Ａ　是　Ｂ　的子集”　（不限于真子集），而“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔ　Ｂ＄”则表示“　Ａ　是　Ｂ　的真子集”。

但是，　需要通过式子区分子集与真子集的情形并

不多。许多对真子集成立的式子，对（非真的）子　集也成立。特别是，　如果在同一篇文章中同时使用　“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”与“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　＄”这两个符号，则使　用“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔ　Ｂ＄”这样的式子时必须非常小心　，　必须事先知道　Ａ　是　Ｂ　的真子集时才能使用。　而当我　们已经知道　Ａ　是　Ｂ　的真子集时，即使只使用式子　“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　　Ｂ＄”　，　也不会造成信息有多大的损失。　因　此　，　很　少　见　到　在　同　一　篇　文　章　中　同　时　使　用　“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”与“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ　＄”这两个符号，一般　来说也没有这个必要。

于是，我们在文章中就　只使用符号“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”　即可，不要使用“　＄＼ｓｕｂｓｅｔｅｑ＄”这个符号了　。如果　我们只使用符号“　＄＼ｓｕｂｓｅｔ＄”，却又需要说明“　Ａ　是　Ｂ　的真子集”　，　则此时可以使用句子　“　Ａ　ｉｓ　ａ　ｐｒｏｐｅｒ　ｓｕｂｓｅｔ　ｏｆ　Ｂ　”，不用式子表示。极个别情形，一定　要用式子表示时，还可以有补救办法：用式子　“　＄Ａ＼ｓｕｂｓｅｔｎｅｑ　　Ｂ＄”来表示。

★　（２００８０８１１－０９１０，　（六）－（３）　）　接下去的　一句　“　Ｔｈｅｏｒｅｍ　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１４｝，　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１７｝　ａｒｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ，　ａｎｄ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１０｝　ｉｓ　ａ　ｕｓｅｆｕｌ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．　”应该改为“　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｓ　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１４｝　ａｎｄ　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１７｝　ａｒｅ　ｍａｉｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ　，　ａｎｄ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　＼ｒｅｆ｛ｔｈｍ５．１０｝　ｉｓ　ａ　ｕｓｅｆｕｌ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ．”（★我　曾经为“定理　Ａ　和定理　Ｂ　”　的英文翻译专门请教过　英语系的老师。改换为日常生活用词，这个问题就

是：“王同志和李同志”如何翻译成英语？用　“　Ｃｏｍｒａｄｅ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｃｏｍｒａｄｅ　Ｌｉ”　，　应该是可以的，　但不如把“同志”合并起来好，特别是有多个“同　志”　而不仅仅是两个　“同志”　的时候。　那么，　把　“同　志”合并起来翻译，是用“　Ｃｏｍｒａｄｅ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｌｉ”　（Ｃｏｍｒａｄｅ单数　）　？还是用“　Ｃｏｍｒａｄｅｓ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｌｉ”　（Ｃｏｍｒａｄｅｓ大写　，　复数　）　？或者是用“　ｒａｄｅ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｌｉ　”　（ｒａｄｅｓ复数　，　小写　）　？遗憾的是，该英　语系的有水平的（能够给来访的外国客人作口语翻　译的）老师竟然解答不了这个看似简单的问题。后　来我在一份国外（是刊物编辑部，或者是会议组织　委员会，记不清了）寄来的正式的印刷品中找到了　答案：用“　Ｃｏｍｒａｄｅｓ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｌｉ”　（Ｃｏｍｒａｄｅｓ大　写　，　复数　）　！　（该印刷品中出现的不是　“　Ｃｏｍｒａｄｅｓ　Ｗａｎｇ　ａｎｄ　Ｌｉ　”，是别的语法结构类似的名词）。★根据　我手中的一本常常翻看的英语语法书，紫色的　ａｎｄ　与绿色的　ａｎｄ　连接的对象不同，紫色的　ａｎｄ　连接两　个名词，绿色的　ａｎｄ　连接两个句子，紫色的　ａｎｄ　不　能省去。★加“　ｏｆ　ｔｈｉｓ　ｓｅｃｔｉｏｎ　”是为了界定一个范　围：是本节还是本文？也有助于从上一句的将来时　“　ｗｉｌｌ　ｇｉｖｅ　”到这一句的现在时“　ａｒｅ　”的转变）。　（２０１０１１０６补记：这一段的意思是说：“　定理　５．１４和定理　５．１７”　译成英文，　可以是　“　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｓ　　５．１４　ａｎｄ　５．１７”　，　但不能是“　Ｔｈｅｏｒｅｍ　５．１４　ａｎｄ　５．１７”，也不　能是　“　Ｔｈｅｏｒｅｍｓ　５．１４，　５．１７”　）　。

★　（２００８０８１１－０９１０，　（六）－（７）－（２）　）　将　Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ　之后的几句的叙述方式改为与　Ｓｉｍｉｌａｒｌｙ　之前的几句的叙述方式一模一样，在语言方面可能　显得不那么活泼生动，但却可以使读者感觉逻辑推　理相同，　感觉思维轻松一些。　我想，　对于读者来说，　阅读一篇新的数学论文总是很费力很费神的，　所以　读者首先需要的是逻辑思维轻松一些而不是语言　生动活泼一些　。

（此“补遗”未写完　——　我以往写的“修改　记事”之中，应该还有一些条款可以选入这篇“关　于数学论文的写作”中，以后有空时再挑选吧）。

作文三：《数学论文,关于“π”》1800字

对“π”的研究　摘要：生活中的数学是美丽而迷人的，它来源于生活，又用于生活。随着时代的进步与发展，π也越来越离不开人们的生活。今天，让我们揭开历史的窗户，一起发现与探索π之中的奥妙

关键词：π与生活

前言：

内容：

一、对π的介绍　圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。　在分析学上，π可以严格地定义为满足ｓｉｎ（ｘ）　＝　０的最小正实数ｘ　。

π是第十六个希腊字母。π这个符号，是希腊语　περιφρεια　（表示周边，地域，圆周等意思）的首字母。　１７０６年英国数学家威廉·琼斯（Ｗｉｌｌｉａｍ　Ｊｏｎｅｓ　，１６７５－１７４９）最先使用“π”来表示圆周率［１］，π在希腊字母中排行第十六，也是希腊语“周长”的第一个字母。１７３７年，瑞士大数学家欧拉也开始用π表示圆周率。从此，π便成了圆周率的代名词。［２］

一块产于公元前１９００年的古巴比伦石匾清楚地记载了圆周率　＝　２５／８　＝　３．１２５。同一时期的文物也表明圆周率等于分数１６／９的平方，约等于３．１６。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。　英国作家　Ｊｏｈｎ　Ｔａｙｌｏｒ　（１７８１–１８６４）　在其名著《金字塔》中指出，造于公元前２５００年左右的金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前８００至６００年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》（Ｓａｔａｐａｔｈａ　Ｂｒａｈｍａｎａ）显示了圆周率等于分数３３９／１０８，　约等于３．１３９。

电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。１９４９年，美国制造的世上首部电脑－ＥＮＩＡＣ　（Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｉｎｔｅｒａｔｏｒａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ）在亚伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出

π的２０３７个小数位。这部电脑只用了７０

小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，ＮＯＲＣ　（海军兵器研究计算机）只用了１３分钟，就算出π

的３０８９个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在６０年代至７０

年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在１９７３年，Ｊｅａｎ　Ｇｕｉｌｌｏｕｄ和Ｍ．　Ｂｏｕｙｅｒ发现了π的第一百万个小数位。

２、π的公式

几何　底面积：

底面周长：

侧面积：

表面积：

体积：

圆锥

底面积：

底面周长：

体积：

扇形

面积公式：　　、　、　　、　、、　　　（底面积×高）

（其中ｎ　表示该扇形对应的角度）

弧长公式：

（其中ｎ　表示该扇形对应的角度）

圆

面积：

周长：

圆环

面积：

周长：

、

代数

π是个无理数，即不可表达成两个整数之比，是由ＪｏｈａｎｎＨｅｉｎｒｉｃｈ　Ｌａｍｂｅｒｔ　于１７６１年证明的。　１８８２年，Ｆｅｒｄｉｎａｎｄ　Ｌｉｎｄｅｍａｎｎ更证明了π是超越数，即不可能是任何有理数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。

数学分析

特斯林近似公式：

欧拉恒等式：

π的连分数表示：

三、π的趣闻

历史上最马拉松式的手工π值计算，其一是德国的ＬｕｄｏｌｐｈＶａｎ　Ｃｅｕｌｅｎ，他几乎耗尽了一生的时间，计算到圆的内接正２６２边形，于１６０９年得到了圆周率的３５位精度值，以至于圆周率在德国被称为Ｌｕｄｏｌｐｈ　数；其二是英国的威廉·山克斯，他耗费了１５年的光阴，在１８７４年算出了圆周率的小数点后７０７位，并将

其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜，后人发现，他从第５２８位开始就算错了。

在Ｇｏｏｇｌｅ　公司２００５年的一次公开募股中，集资额不是通常的整头数，而是＄１４，１５９，２６５，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司２００４年的首次公开募股，集资额为＄２，７１８，２８１，８２８，与数学常数ｅ　有关）

每年３月１４日为圆周率日，“终极圆周率日”则是１５９２年３月１４日６时５４分，（因为其英式记法为“３／１４／１５９２６．５４”，恰好是圆周率的十位近似值。）　和３１４１年５月９日２时６分５秒（从前往后，３．１４１５９２６５）４．

排版软件ＴｅＸ　从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：３．１，３．１４，??当前的最新版本号是３．１４１５９２

分析总结：

π在生活中无处不在，发挥着巨大的作用

作文四：《关于数学论文》17500字

文本预览：

数学毕业论文题目汇总

大学数学专业毕业论文题目汇总　大学数学专业毕业论文题目汇总　毕业论文题目

１、　数学中的研究性学习　２、　数字危机　３、　中学数学中的化归方法　４、　高斯分布的启示　５、　ａ２＋ｂ２≧２ａｂ　的变形推广及应用　６、　网络优化　７、泰勒公式及其应用　８、浅谈中学数学中的反证法　９、数学选择题的利和弊　１０、浅谈计算机辅助数学教学　１１、论研究性学习　１２、浅谈发展数学思维的学习方法　１３、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法　１４、数学教学中课堂提问的误区与对策　１５、中学数学教学中的创造性思维的培养　１６、浅谈数学教学中的“问题情境”　１７、市场经济中的蛛网模型　１８、中学数学教学设计前期分析的研究　１９、数学课堂差异教学　２０、浅谈线性变换的对角化问题　２１、圆锥曲线的性质及推广应用　２２、经济问题中的概率统计模型及应用　２３、通过逻辑趣题学推理　２４、直觉思维的训练和培养　２５、用高等数学知识解初等数学题　２６、浅谈数学中的变形技巧　２７、浅谈平均值不等式的应用　２８、浅谈高中立体几何的入门学习　２９、数形结合思想　３０、关于连通性的两个习题　３１、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学　３２、情感在数学教学中的作用　３３、因材施教　因性施教

３４、关于抽象函数的若干问题

１

数学毕业论文题目汇总

３５、创新教育背景下的数学教学　３６、实数基本理论的一些探讨　３７、论数学教学中的心理环境　３８、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则　３９、不等式证明的若干方法　４０、试论数学中的美　４１、数学教育与美育　４２、数学问题情境的创设　４３、略谈创新思维　４４、随机变量列的收敛性及其相互关系　４５、数字新闻中数学应用　４６、微积分学的发展史　４７、利用几何知识求函数最值　４８、数学评价应用举例　４９、数学思维批判性　５０、让阅读走进数学课堂　５１、开放式数学教学　５２、浅谈中学数列中的探索性问题　５３、论数学史的教育价值　５４、思维与智慧的共享－－从建构主义到讨论法教学　５５、微分方程组中的若干问题　５６、由“唯分是举”浅谈考试改革　５７、随机变量与可测函数　５８、二阶变系数齐次微分方程的求解问题　５９、一种函数方程的解法　６０、积分中值定理的再讨论　对原函数存在条件的试探　分块矩阵的若干初等运算　函数图像中的对称性问题　泰勒公式及其应用　微分中值定理的证明和应用　一元六次方程的矩阵解法　＇数学分析’对中学数学的指导作用　“１”的妙用　“数形结合”在解题中的应用　“数学化”及其在数学教学中的实施　“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用

２

数学毕业论文题目汇总

《几何画板》与数学教学　《几何画板》在圆

锥曲线中的应用举例　Ｃａｕｃｈｙ　中值定理的证明及应用　Ｄｉｊｋｓｔｒａ　最短路径算法的一点优化和改进　Ｈａｍｉｌｔｏｎ　图的一个充分条件　ＨＯＬＤＥＲ　不等式的推广与应用　ｎ　阶矩阵　ｍ　次方幂的计算及其应用　Ｒ　积分和　Ｌ　积分的联系与区别　Ｓｃｈｗａｒｚ　积分不等式的证明与应用　Ｔａｙｌｏｒ　公式的几种证明及若干应用　Ｔａｙｌｏｒ　公式的若干应用　Ｔａｙｌｏｒ　公式的应用　Ｔａｙｌｏｒ　公式的证明及其应用　Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ　行列式的应用及推广　艾滋病传播的微分方程模型　把数学和生活融合起来　伴随矩阵的秩和特殊值　保持函数凸性的几种变换　变量代换在数学中的应用　不变子空间与若当标准型之间的关系　不等式的几种证明方法及简单应用　不等式的证明方法探索　不等式证明的若干方法　不等式证明中导数有关应用　不同型余项泰勒公式的证明与应用　猜想，探求，论证　彩票中的数学　常微分方程的新的可解类型　常微分方程在一类函数项级数求和中的应用　抽奖活动的概率问题　抽屉原理及其应用　抽屉原理及其应用　抽屉原理思维方式的若干应用　初等变换在数论中的应用　初等数学命题推广的几种方式　传染病模型及其应用　从趣味问题剖析概率统计的解题技巧

３

数学毕业论文题目汇总

从双曲线到双曲面的若干性质推广　从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系　存贮模型的若干讨论　带　ｐｅａｎｏ　余项的泰勒公式及其应用　单调有界定理及其应用　导数的另外两个定义及其应用　导数在不等式证明中的应用　导数在不等式证明中的应用　导数在不等式证明中的应用　等价无穷小在求函数极限中的应用及推广　迪克斯特拉（Ｄｉｊｋｓｔｒａ）算法及其改进　第二积分中值定理“中间点”的性态　对均值不等式的探讨　对数学教学中开放题的探讨　对数学教学中开放题使用的几点思考　对现行较普遍的彩票发行方案的讨论　对一定理证明过程的感想　对一类递推数列收敛性的讨论　多扇图和多轮图的生成树计数　多维背包问题的扰动修复　多项式不可约的判别方法及应用　多元函数的极值　多元函数的极值及其应用　多元函数的极值及其应用　多元函数的极值问题　多元函数极值问题　二次曲线方程的化简　二元函数的单调性及其应用　二元函数的极值存在的判别方法　二元函数极限不存在性之研究　反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系　反循环矩阵和分块对称反循环矩阵　范德蒙行列式的一些应用　方差思想在中学数学中的应用及探讨　方阵　Ａ　的伴随矩阵　放缩法及其应用　分块矩阵的应用

４

数学毕业论文题目汇总

分块矩阵行列式计算的若干方法　分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力　分形几何进入高中数学课程的尝试　辅助函数的应用　辅助函数在数学分析中的应用

辅助元法在中学数学中的应用　复合函数的可测性　概率的趣味应用　概率方法在其他数学问题中的应用　概率论的发展简介及其在生活中的若干应用　概率论在彩票中的应用　概率统计在彩票中的应用　概率统计在实际生活中的应用　概率在点名机制中的应用　概率在中学数学中的应用　高等几何知识对初等几何的指导作用　高等数学在不等式证明中的应用　高观点下的中学数学　高阶等差数列的通项，前　ｎ　项和公式的探讨及应用　高中数学教学中的类比推理　高中数学开放题及其编制问题　高中数学实践“问题解决”的几点思考　高中数学研究性学习的课题选择　高中数学研究性学习教学及其设计　给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用　构建数学建模意识培养创新思维　构造的艺术　关联矩阵的一些性质及其应用　关于　２００４　年全国高教杯大学生数学建模竞赛题的探究与拓展　关于　２　循环矩阵的特征值　关于　Ｇａｕｓｓ　整数环及其推广　关于　ｇ－循环矩阵的逆矩阵　关于不等式在中学的选修的处理　关于不等式证明的高等数学方法　关于传染病模型的建立与分析　关于二重极限的若干计算方法　关于反函数问题的讨论

５

数学毕业论文题目汇总

关于非线性方程问题的求解　关于函数一致连续性的几点注记　关于矩阵的秩的讨论　＿　关于两个特殊不等式的推广及应用　关于幂指函数的极限求法　关于扫雪问题的数学模型　关于实数完备性及其应用　关于数列通项公式问题探讨　关于椭圆性质及其应用地探究、推广　关于线性方程组的迭代法求解　关于一类非开非闭的商映射的构造　关于一类生态数学模型的几点思考　关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探　关于置信区间与假设检验的研究　关于中学数学中的图解方法　关于周期函数的探讨　哈密尔顿图初探　函数的一致连续性及其应用　函数定义的发展　函数级数在复分析中与在实分析中的关系　函数极值的求法　函数幂级数的展开和应用　函数项级数的收敛判别法的推广和应用　函数项级数一致收敛的判别　函数最值问题解法的探讨　蝴蝶定理的推广及应用　化归中的矛盾分析法研究　环上矩阵广义逆的若干性质　积分中值定理的再讨论　积分中值定理正反问题＇中间点’的渐近性　基于高中新教材的概率学习　基于集合论的中学数学　基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析　级数求和的常用方法与几个特殊级数和　级数求和问题的几个转化　级数在求极限中的应用　极限的求法与技巧

６

数学毕业论文题目汇总

极值的分析和运用　极值思想在图论中的应用　集合论悖论　几个广义正定矩阵的内在联系及其区别　几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用　几个学科

的孙子定理　几个重要不等式的证明及应用　几个重要不等式在数学竞赛中的应用　几何　ＣＡＩ　课堂教学软件的设计　几何画板与圆锥曲线　几何画板在高中数学教学中的应用　几类数学期望的求法　几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法　几种特殊矩阵的逆矩阵求法　假设检验与统计推断　简单平面三角剖分图　交错级数收敛性判别法及应用　交通问题中的数学模型　解题教学换元思想能力的培养　解析几何中的参数观点　经济学中蛛网模型的数学分析　居民抵押贷款购房决策模型　矩阵变换在求多项式最大公因式中的应用　矩阵的单侧逆　矩阵方幂的正反问题及其应用　矩阵分解　矩阵可交换成立的条件与性质　矩阵秩的一些性质与某些数学分支的联系　矩阵中特征值、特征向量的几个问题的思考　具有不同传染率的　ＳＩ　流行病模型的研究　均值不等式在初高等数学中的应用　均值极限及　ｓｔｏｌｚ　定理　开放性问题编制的原则　柯西不等式的推广及其应用　柯西不等式的应用与推广　柯西不等式的证明及妙用　柯西不等式的证明及应用

７

数学毕业论文题目汇总

空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法　空间旋转曲面面积的计算　拉格朗日中值定理　ｎ　元上推广　立体几何的平面化思考　利用导数解题的综合分析与探讨　利用级数求极限　连锁经营企业效益模型　邻接矩阵在判断　Ｈａｍｉｌｔｏｎ　性质中的一些应用　留数定理及应用　论辅助函数的运用　论概率论的产生及概率对实际问题解释和应用　论数学分析课程对中学数学的功能及应用　论数学史及其应用　罗尔定理的几种类型及其应用　幂级数与欧拉公式　幂零矩阵的性质和应用　幂零矩阵的性质及其应用　幂零矩阵的性质及其应用　模糊集合与经典集合的简单比较　模糊数学在学校教学评估中应用　平面和空间中的　Ｐｉｃｋ　定理　齐次马尔柯夫链在教学评估中的应用　浅谈导数在中学数学教学中的应用　浅谈分类讲座及其解题应用　浅谈极值问题及其解法　浅谈在解题中构造“抽屉　浅谈中学生数学解题能力的培养　求极限的若干方法　求极值的若干方法　全概率公式的推广与应用　全概率公式的优化及应用　人口性别比例的统计和概率分析　若干问题的概率解法　若干问题的概率论解法的探索　三对角行列式及其应用　三角函数的解题应用　三角函数最值问题的研究

８

数学毕业论文题目汇总

三种积分概念的极限式定义和确界式定义的比较　山核桃造林及管理的数学模型　上、下极限的定义、性质及其应用　实变方法在经典微积分中的应用　实分析计算中的几种方法　实际问题解决中数学语言能力的培养　实数完备性定理的等价性证明及其应用　试论四分块矩阵　试以斐波那契数列为例谈谈中学

生数学兴趣的培养　输电阻塞模型的灵敏度分析及算法的改进　树在数据结构中的简单应用　数理统计在教育管理中的应用　数理统计在生产质量管理中的两个应用　数列求和问题的探讨　数学变式教学的认识和实践　数学猜想及其培养途径　数学的对称美及其在中学数学解题中的应用　数学分析　中的化归思想　数学分析思想在中学数学解题中的应用　数学分析在初等数学中的应用　数学分析中求极限的方法　数学高考内容分布及命题趋向　数学归纳法的初探　数学归纳法的七种变式及其应用　数学归纳法的原理推广及应用　数学归纳法及其一些　非常见形式和归纳途径　数学建模在生物领域的应用（没做）　数学建模中的排队论模型　数学竞赛的解题策略　数学竞赛中的抽屉原理　数学竞赛中的图论问题　数学开放题的设计与教学建议　数学开放性问题的编拟与解决　数学课程改革和教师观念的转变　数学模型方法在教学中的应用及其价值　数学模型在人口问题中的应用　数学认知结构与数学教学

９

数学毕业论文题目汇总

数学史对数学教育的启示　数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义　数学史在中学数学教学中的运用　数学文化在中学数学教学中的渗透　数学问题提出与　ＣＰＦＳ　结构关系的研究　数学游戏及其价值　数学中的游戏因素及其对于数学的影响　四面体中不等式

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的探究　泰勒公式的应用　泰勒公式及其应用　泰勒公式及其应用　泰勒公式在若干数学分支中的应用　泰勒展开的应用　探讨导数在函数单调性中的应用　探讨平面三角的实际应用　探讨线性规划最优整数解的解法　特殊欧拉图的判定　同余理论在数学竞赛中的应用　头脑风暴法及其在数学课堂教学的运用　凸函数的若干性质　凸函数的拓展　凸函数的性质及其应用　凸函数的性质与应用　凸函数及其在不等式证明中的应用　凸函数以及一类内积表达的函数的凸性　凸函数在不等式中的一个特殊应用　图的余树是树的条件研究　图和矩阵的运算　图解法在资源分配中的应用浅析　图论在高中数学中的若干应用　图论在数学模型中的应用　图论在中学数学竞赛中的应用　椭圆的几个特征及其在天体、物理中的应用　网络可靠度计算新法　微分方程平衡点的稳定性及在力学中的应用　微分中值定理的背景及证明　微分中值定理的逆问题及其渐近性

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数学毕业论文题目汇总

微分中值定理的探讨及应用　微分中值定理的推广及其应用　微分中值定理的证明及其应用　微积分的某些实际应用　微积分理论在中等数学中的影响及其应用　微积分在行列式计算中的应用

、数学中的研究性学习　２、数字危机　３、中学数学中的化归方法　４、高斯分布的启示

５、ａ２＋ｂ２≧２ａｂ　的变形推广及应用　６、网络优化　７、泰勒公式及其应用　８、浅谈中学数学中的反证法　９、数学选择题的利和弊　１０、浅谈计算机辅助数学教学　１１、论研究性学习　１２、浅谈发展数学思维的学习方法　１３、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法　１４、数学教学中课堂提问的误区与对策　１５、中学数学教学中的创造性思维的培养　１６、浅谈数学教学中的“问题情境”　１７、市场经济中的蛛网模型　１８、中学数学教学设计前期分析的研究　１９、数学课堂差异教学　２０、浅谈线性变换的对角化问题　２１、圆锥曲线的性质及推广应用　２２、经济问题中的概率统计模型及应用　２３、通过逻辑趣题学推理　２４、直觉思维的训练和培养　２５、用高等数学知识解初等数学题　２６、浅谈数学中的变形技巧　２７、浅谈平均值不等式的应用　２８、浅谈高中立体几何的入门学习　２９、数形结合思想　３０、关于连通性的两个习题

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数学毕业论文题目汇总

３１、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学　３２、情感在数学教学中的作用　３３、因材施教　因性施教

３４、关于抽象函数的若干问题　３５、创新教育背景下的数学教学　３６、实数基本理论的一些探讨　３７、论数学教学中的心理环境　３８、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则　３９、不等式证明的若干方法　４０、试论数学中的美　４１、数学教育与美育　４２、数学问题情境的创设　４３、略谈创新思维　４４、随机变量列的收敛性及其相互关系　４５、数字新闻中数学应用　４６、微积分学的发展史　４７、利用几何知识求函数最值　４８、数学评价应用举例　４９、数学思维批判性　５０、让阅读走进数学课堂　５１、开放式数学教学　５２、浅谈中学数列中的探索性问题　５３、论数学史的教育价值　５４、思维与智慧的共享－－从建构主义到讨论法教学　５５、微分方程组中的若干问题　５６、由“唯分是举”浅谈考试改革　５７、随机变量与可测函数　５８、二阶变系数齐次微分方程的求解问题　５９、一种函数方程的解法　６０、积分中值定理的再讨论

１、浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值　２、一道排列组合题的解法探讨及延伸　３、整除与竞赛

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数学毕业论文题目汇总　４、足彩优化　５、向量的几件法宝在几何中的应用　６、递推关系的应用　７、坐标方法在中学数学中的应用　８、小议问题情境的创设　９、数学概念探索启发式教学　１０、柯西不等式的推广与应用　１１、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用　１２、一道高考题的反思　１３、数学中的研究性学习　１５、数字危机　１６、数学中的化归方法　１７、高斯分布的启示　１８、　的变形推广及应用　１９、网络优化　２０、泰勒公式及其应用　２１、浅谈中学数学中的反证法　２２、数学选择题的利和弊　２３、浅谈计算机辅

助数学教学　２４、数学研究性学习　２５、谈发展数学思维的学习方法

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数学毕业论文题目汇总　２６、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法　２７、数学教学中课堂提问的误区与对策　２８、中学数学教学中的创造性思维的培养　２９、浅谈数学教学中的“问题情境”　３０、市场经济中的蛛网模型　３１、中学数学教学设计前期分析的研究　３２、数学课堂差异教学　３３、浅谈线性变换的对角化问题　３４、圆锥曲线的性质及推广应用　３５、经济问题中的概率统计模型及应用　３６、通过逻辑趣题学推理　３７、直觉思维的训练和培养　３８、用高等数学知识解初等数学题　３９、浅谈数学中的变形技巧　４０、浅谈平均值不等式的应用　４１、浅谈高中立体几何的入门学习　４２、数形结合思想　４３、关于连通性的两个习题　４４、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学　４５、情感在数学教学中的作用　４６、因材施教与因性施教

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数学毕业论文题目汇总　４７、关于抽象函数的若干问题　４８、创新教育背景下的数学教学　４９、实数基本理论的一些探讨　５０、论数学教学中的心理环境　５１、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则　５２、不等式证明的若干方法　５３、试论数学中的美　５４、数学教育与美育　５５、数学问题情境的创设　５６、略谈创新思维　５７、随机变量列的收敛性及其相互关系　５８、数字新闻中的数学应用　５９、微积分学的发展史　６０、利用几何知识求函数最值　６１、数学评价应用举例　６２、数学思维批判性　６３、让阅读走进数学课堂　６４、开放式数学教学　６５、浅谈中学数列中的探索性问题　６６、论数学史的教育价值　６７、思维与智慧的共享－－从建构主义到讨论法教学

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数学毕业论文题目汇总　６８、

方程组中的若干问题

６９、由“唯分是举”浅谈考试改革　７０、随机变量与可测函数　７１、二阶变系数齐次微分方程的求解问题　７２、一种函数方程的解法　７３、微分中值定理的再讨论　７４、学生数学学习的障碍研究；　７５、中学数学教育中的素质教育的内涵；　７６、数学中的美；　７７、数学的和谐和统一－－－－谈论数学中的美；　７８、推测和猜想在数学中的应用；　７９、款买房问题的决策；　８０、线性回归在经济中的应用；　８１、数学规划在管理中的应用；　８２、初等数学解题策略；　８３、浅谈数学　ＣＡＩ　中的不足与对策；　８４、数学创新教育的课堂设计；　８５、中学数学教学与学生应用意识培养；　８６、关于培养和提高中学生数学学习能力的探究；　８７、运用多媒体培养学生　８８、高等数学课件的开发

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数学毕业论文题目汇总　８９、　广告效益预测模型；　９０、最短路网络；　９１、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；　９２、在中学数学教学中的应用　９３、最优增长模型　９４、学生数学素养

的培养初探　９５、浅析先行中学数学教育的弊端　９６、　城市道路交通发展规划数学模型；　９７、函数逼近　９８、数的进制问题　９９、无穷维矩阵与序列　Ｂａｎｎｃｈ　空间的关系　１００、　多媒体课件教学设计－－－－若干中小学数学教学案例　１０１、一维，二维空间到欧氏空间　１０２、初中数学新课程数与代数学习策略研究　１０３、初中数学新课程统计与概率学习策略研　１０４、对中学数学研究性学习开展过程及其途径的思考　１０５、数列运算的顺序交换及条件　１０６、歇定理的推广和应用　１０７、解析函数的各种等价条件及其应用　１０８、特征函数在概率论中的应用　１０９、数学史与中学教育

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数学毕业论文题目汇总　１１０、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活－－谈　ｘｘ　１１１、数学竟赛中的数论问题　１１２、新旧教材的对比与研究　１１３、近世代数在中学数学中的应用　１１４、随机变量分布规律的求法　１１５、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用　１１６、无穷大量存在的意义　１１７、中学数学竞赛中参数问题　１１８、例谈培养数学思维的深刻性　１１９、圆周率与中学数学史　１２０、从坐标系到向量空间的基　１２１　谈谈反证法　１２２、一致连续性的判断定理及性质　、课堂提问和思维能力的培养　１２４、数学高考试题的演变看中学数学教育改革　１２５、函数及其在证明不等式中的应用　１２６、极值的讨论及其应用　１２７、正难则反，从反面来考虑问题　１２８、实数的构造，完备性及它们的应用　１２９、数学创新思维的训练　１３０、简述期望的性质及其作用

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数学毕业论文题目汇总　１３１、简述概率论与数理统计的思想和方法　１３２、穷乘积　１３３、递推式求数列的通项及和　１３４、划归思想在数学中的应用　１３５、凸函数的定义性质及应用　１３６、行列式的计算方法　１３７、可行解的表式定理的证明　１３８、直觉思维在中学数学中的应用　１３９、高等数学在中学数学中的应用　１４０、充分挖掘例题的数学价值和智力开发功能　１４１、数学思想方法的一支奇葩－－－－－数学猜想初探　１４２、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明　１４３、于黎曼积分的定义　１４４、微分方程的历史发展　１４５、概率论发展史及其简单应用　１４６、中学数学教学中创新思维的培养策略　１４７、数学教学中使用多媒体的几点思考　１４８、矩阵特征值的计算方法初探　１４９、数形结合思想及其应用　１５０、关于上、下确界，上、下极限的定义，性质及应用　１５１、复均方可积随机变量空间的讨论

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数学毕业论文题目汇总　１５２、浅谈中学数学的等价转换　１５３、车灯线光源的优化设计模型　１５４、中学数学中的变式教学设计　１５５、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响　１５６、中学数学问题解决的学习策略研究分法　１５７、抽屉原理的应用及推广　１５８、浅

议函数迭代及其表达式　１５９、加强数形结合，提高解题能力　１６０、函数性质的应用　１６１、初等函数的值域　１６２、中学数学应用意识的研究　１６３、中数学新课程空间与图形学习策略与研究　１６４、谈分类讨论及解题应用　１６５、排序方法及其应用　１６６、数学应用意识的培养看数学基础教育改革　１６７、函数的凸性及其在不等式中的应用　１６８、建构主义理论指导下的数学教学案例　１６９、中学课程数学教学思想方法教学初探　１７０、大学生数学素质教育思考　１７１、数学归纳法教学探究　１７２、师范学生高等数学课程内容设置的探讨

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数学毕业论文题目汇总　１７３、统计学在证券市场中的应用　１７４、关于全概率公式及其应用的研究　１７５、数学开放式教学的基本理念与策略　１７６、变量代换法与常微分方程的求解　１７７、奥赛中组合计算方法及应用　１７８、代数结构中同态及同构的性质　１７９、综述十八世纪著名数学家及其工作　１８０、谈谈不定方程　１８１、从不定方程到孙子兵法　１８２、略谈我国古代的数学成就　１８３、分类思想在中学数学中的应用　１８４、从笛卡尔的“万能代数模型”谈函数与方程的思想　１８５、数学美在中学数学教学中的育人功能初探　１８６、课程理念下中学教师行为的改变　１８７、对各种导数的研究　１８８、不等式解法大观　１８９、谈谈“　隐函数　”　１９０、有限维矩阵的范数计算与估计　１９１、数学奥赛中数论问题的解题方法研究　１９２、猜想和联想　１９３、微分方程积分因子的研究

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数学毕业论文题目汇总　１９４、数的趣谈　１９５、关于泰勒公式　１９６、解析函数的孤立奇点的分类及其判断方法　１９７、最大模原理的推广及其应用　１９８、π　的奥秘－－从圆周率到统计　１９９、对现代信息技术辅助数学及其发展的几点思考　２００、无理数　ｅ　的发现及其应用　２０１、初中数学新课程综合实践活动策略研究　２０２、闭区间套定理的推广和应用　２０３、函数的上下极限及其应用　２０４、关于度量空间　２０５、关于多值函数的解析理论探讨　２０６、数论中一两个问题　２０７、正多边形的对角线与边长的公度问题　２０８、比较函数法在常微分方程中的应用　２０９、数学分析的直观与严密　３００、浅谈中学数学中的构造法　３０１、谈待定系数法在中学解题中的应用　３０２、常微分方程与初等数学　３０３、求随机函数的分布函数和分布密度的方法　３０４、条件期望的性质及其应用

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数学毕业论文题目汇总　３０５、从高中数学课程改革看未来的高师数学系的本科教学　３０６、课程改革中未来高中数学教师角色的扮演　３０７、向量代数在中学中的应用　３０８、凸函数的等价命题及其应用　３０９、带权图的若干应用　３１０、有界变差函数的定义及其性质　３１１、初等函数的极值　３１２、数学竟赛中的不等式问题　３１３、常微分方程各种解的定义

，关系及判定方法　３１４

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、三阶变系数线性常微分方程　３１５、常微分方程的发展及应用　３１６、常微分方程的初等解法求解技巧　３１７、常系数线性方程组基解矩阵的计算　３１８、高阶方程的降阶技巧　３１９、常微分方程解的存在性，唯一性研究　１８７、对提高大学生数学素养的几点思考　１８８、关于高等数学中学习方法的几个问题　１８９、数学教学中的德育渗透艺术　１９０、汉字文化与数学　１９１、数学习题的德育功能　１９２、代数曲线的对称性研究

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数学毕业论文题目汇总　１９３、积分不等式的证明　１９４、体态语言在数学教学中的作用　１９５、数学教学中应注重对学生心理健康教育　１９６、中学教育与语言艺术　１９７、数学中的数学美　１９８、议数学课堂教学中心提问艺术　１９９、学会解探索性问题　２００、心理健康教育在数学教育中的应用　２０１、浅谈发展数学思维的学习方法　２０２、谈中学数学的“说课”　２０３、论数学学习的心理因素　２０４、中学生学习数学过程中常见错误的心理分析　２０５、圆周率与中学数学史　２０６、计算正规矩阵的快速算法　２０７、组合优化问题的解法研究　２０８、回溯法的应用　２０９、一个递归函数的解析　２１０、Ｆｌｏｙｄ　算法的实质研究　２１１、三角矩阵的存储映射　２１２、哈夫曼树及其应用　２１３、多媒体压缩算法研

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数学毕业论文题目汇总　２１４、数学教学中的语言艺术　２１５、运用极限思想，优化解题方法　２１６、开放型数学题的教学功能初探　２１７、浅谈数学讨论的教学价值　２１８、不等式证明中的构造法　２１９、数学习题课教法探讨　２２０、探讨函数与其反函数相同的条件　２２１、选择题解法探讨　２２２、构造法在解题中的应用　２２３、数学教师能力结构初探　２２４、解题反思的教学功能　２２５、培养学生的数学兴趣　２２６、如何培养学生的数学自觉思维　２２７、数学选择题的利和弊　２２８、圆锥曲线的性质及推广应用　２２９、浅谈高中立体几何的入门学习　２３０、求极限的方法探讨　２３１、关于连续与一致连续　２３２、不等式的证明　２３３、最值问题　２３４、函数的单调性讨论

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数学毕业论文题目汇总　２３５、中值定理的应用　２３６、函数作图问题　２３７、等价无穷小量的应用　２３８、关于无理数　２３９、数学中的语言艺术　２４０、函数思想在数学中的应用　２４１、中学函数性质的应用　２４２、浅谈微分学在中学数学教学中的应用　２４３、判别式在解题中的应用　２４４、从现代数学看中学数学　２４５、高等数学在中学数学中的应用　２４６、浅谈数学与数学思维　２４７、《微分方程》在数学建模中的应用　２４８、试论高师数学教育中的分层次教学　２４９、试论数学思想与方法　２５０、试论数学中的美学　２５１、凸函数在中学数学中的应用　２５２、浅谈柯西不等式在中学数学中的应用　２５３、试析高等数学与初等数学的关系　２５４、浅

谈数学思想与物理问题的内在联系　２５５、函数连续与一致连续的研究

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数学毕业论文题目汇总　２５６、中学数学解题中的思维障碍　２５７、浅谈逆向思维在解题中的培养　２５８、中学数学中的最值求解　２５９、初等代数解题中的数学思想与方法　２６０、解析几何常规解题方法研究　２６１、元认知理论与中学数学课堂教学案例设计　２６２、运用认知规律提高学生的数学思维能力　２６３、微积分基本定理在中学数学教学中的作用　２６４、积分学基本理论在初等数学解题中的指导作用　２６５、不等式证明的若干方法　２６６、利用几何知识求函数最值　２６７、数学教学中课堂提问的误区与对策　２６８、数学中的研究性学习（小学、中学）　２６９、中学数学教学中的创造性思维的培养　２７０、直觉思维的训练和培养　２７１、浅谈数学教学中的“问题情境”　２７２、数学问题情境的创设　２７３、中学数学教学设计前期分析的研究　２７４、导数的一些应用　２７５、微分中值定理的一些应用　２７６、一些不等式的证明

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数学毕业论文题目汇总　２７７、关于行列式的计算　２７８、定积分的某些应用　２７９、运筹学在实际生活中的应用　２８０、数学分析中三个重要的积分公式及其关系　２８１、一些数列极限的证明　２８２、一些函数极限的证明　２８３、浅谈反证法的原理及其应用　２８４、微积分学的发展史　２８５、浅谈中学数学中的反证法　２８６、微积分在证明和式不等式中的应用　２８７、分段函数的对称性　２８８、条件极值的初等解法　２８９、解析几何与高等代数综合性问题的解法探讨　２９０、转化思想在解析几何解题中的应用　２９１、现代教学手段在解析几何教学中的应用　２９２、解析几何学中的美学思想　２９３、解题后的反思　２９４、数学在经济管理中的应用　２９５、巧用向量求最值　２９６、平面向量与解析几何交汇综合题分类导析　２９７、三角恒等变换的策略

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数学毕业论文题目汇总　２９８、用面积思想方法解题　２９９、中学数学教学与女中学生发展　３００、论数学教师的语言修养　３０１、代数中同构思想在解题中的应用　３０２、向量空间与矩阵　３０３、向量空间与等价关系　３０４、代数中美学思想新探　３０５、论教师的人格魅力　３０６、论农村中小学数学教育　３０７、论师范院校数学教育　３０８、数学在母校的发展　３０９、数学学习兴趣的激发和培养　３１０、谈在数学中数学情景的创设　３１１、谈新课程理念下的数学教师角色的转变　３１２、数学新课程教材教学探索　３１３、数学创新思维及其培养　３１４、利用函数单调性解题　３１５、用函数奇偶性解题　３１６、用方程思想方法解题　３１７、用数形结合思想方法解题　３１８、浅谈数学教学中的幽默风趣

２９

数学毕业论文题目汇总　３１９、浅谈中学数学的教学模式　３２０、浅谈中学数学教学中学生能力的培养　３２１、变异思维与学生的

创新精神　３２２、试论数学中的美学　３２３、数学课堂中的提问艺术　３２４、不等式的证明方法　３２５、数列问题研究　３２６、复数方程的解法　３２７、函数最值方法研究　３２８、图象法在中学数学中的应用　３２９、近年来高考命题研究　３３０、边数最少的自然图的构造　３３１、向量线性相关性讨论　３３２、组合数学在中学数学中的应用　３３３、函数最值研究　３３４、中学数学符号浅谈　３３５、论数学交流能力培养（数学语言、图形、

符号等）　３３６、探影响解决数学问题的心理因素　３３７、数学后进学生的心理分析　３３８、生活中处处有数学

３０

数学毕业论文题目汇总　３３９、生活中的数学　３４０、欧几里得第五公设产生背景及对数学发展影响　３４１、略谈我国古代的数学成就　３４２、论数学史的教育价值　３４３、课程改革与数学教师　３４４、数学差生非智力因素的分析及对策　３４５、高考应用问题研究　３４６、“数形结合”思想在竞赛中的应用　３４７、浅谈数学的文化价值　３４８、浅谈数学中的对称美　３４９、趣谈幻方　３５０、三阶幻方性质的探究　３５２、试谈数学竞赛中的对称性　３５３、学竞赛中的信息型问题探究　３５４、蝴蝶定理”－棵常青的生命之树　３５５、柯西不等式　３５６、中国剩余定理应用　３５７、不定方程　的研究　３５８、一些数学思维方法的证明　３５９、分类讨论思想在中学数学中的应用　３６０、生活数学文化

３１

数学毕业论文题目汇总　３６１、高等数学在中学的应用　３６２、不等式的证明　３６３、如何突破数学常规思维　３６４、数学中的美　３６５、数学与诗　３６６、数学的趣味性　３６７、浅谈构造法在中学数学中的应用　３６８、个人电脑如何增强运行稳定性分析　３６９、个人电脑的　ＸＸＸ　方面（可由学生自定）技术应用分析　３７０、网络视频或语音技术在个人电脑上的综合运用分析　３７１、ＸＸＸ　课程（可由学生根据兴趣自定）的　ＣＡＩ　课程特点分析与制作　３７２、儿童智力开发／测试的知识小软件／小动画／小游戏／小课件的设计与实现　３７３、多媒体毕业电子纪念册及播放器的设计与实　３７４、浅谈中学信息技术课程　３７５、计算机教育改革与对策　３７６、计算机课程的教学与实践　３７７、计算机等级考试中的系统观点教学法　３７８、ＶＦ　的快速组合查询　３７９、全屏幕菜单设计　３８０、减少使用内存变量的方法与技巧（ＶＦ）　３８１、课件制作：　ｆｏｒ　型循环语句的应用

３２

数学毕业论文题目汇总　３８２、课件制作：　ｗｈｉｌｅ　型循环语句的应用　３８３、课件制作：　分支语句的应用　３８４、课件制作：　数组的定义　３８５、课件制作：　数组的应用　３８６、课件制作：　尝试法及其应用　３８７、课件制作：　递推算法及其应用　３８８、课件制作：　函数的定义及其调用　３８９、课件制作：递归函数的定义及应用　３９０、课件制作：指针与数组之间的关系　３９１、课件制作：函数的参数　３９２、模糊综

合评价模型的应用　３９３、产品周期模型的应用　３９４、信息论在中学数学中的应用　３９５、灰色预测模型的应用　３９６、层次分析法的应用　３９７、一阶常微分方程的计算机辅助教学　３９８、高校科研、教学评估模型建立　３９９、中学数学方法和解题研究　４００、条件改变下抽球结果的不变性问题及其应用　４０１、关于古典概率计算中的常用方法　４０２、古典概率计算中常见错误及其检验

３３

数学毕业论文题目汇总　４０３、哲学视觉下概率统计中的辨证思想　４０４、论概率论思维及其特征　４０５、概率论思维的智力品质及其培养　４０６、浅析概率解题中的思维策略　４０７、一个重要的摸球问题及其应用　４０８、常见初等数学题的概率解法　４０９、关于两个连续型随机变量独立性的判断　４１０、中学概率统计教学中关于随机性数学思维的　４１１、统计数据中异常值的检验　４１２、数理统计方法在　ＸＸＸ　中的应用　４１３、　数学期望的计算及其应用　４１４、汽车牌照定位方法　４１５、带表达式分析的计算器设计　独立设计　４１６、因编译器总是而导致程序出错的几种情况（Ｃ　和　Ｃ＋＋）　４１７、如何营造良好的计算机语言课堂的教学氛　４１８、中学计算机教学中教学模式的探索　４１９、多媒体技术在数学教学中的作用　４２０、有关计算机辅助教学的几点看法　４２１、教学软件设计（课程待定）　４２２、网络版小游戏：五子棋（共双人联机对战　４２３、单机版小游戏：俄罗斯方块（游戏速度和起始方块层数可调整）

培养

３４

数学毕业论文题目汇总　４２４、一个会员制的虚拟网上书店，提供书籍分类浏览和查询功能　４２５、网络防火墙的简易实现　４２６、ＯＳ　中进程饿死现象分析及解决　４２７、排队论在处理机调度中的应用　４２８、资料室图书管理系统　４２９、进程调度性能分析及评价　４３０、磁盘等待队列调度过程模拟　４３１、搜索策略在中学信息学竞赛中的应用　４３２、应对计算机等级考试的策略研究　４３３、Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ　在中学素质教育中的应用　４３４、关于初等函数图像的研究　４３５、数据库技术的应用　４３６、Ａｕｔｈｏｒｗａｒｅ　数学课件制作平台　４３７、新课程标准下的多媒体中学数学教学　４３８、多媒体教学对中学数学创造性思维的培养　４３９、从统计学的发展趋势谈统计学课程教学改革　４４０、高等数学教学改革与研究　４４１、数学逆向逻辑思维剖析　４４２、极限概念的数学哲学思维剖析　４４３、代数变形常用技巧及其应用　４４４、数学习题结构与学生负担的相关性问题

３５

数学毕业论文题目汇总　４４５、数学无处不在　４４６、学生数学思维的常见障碍　４４７、饮酒驾车问题　４４８、电话系统的评价　４４９、高等数学在初等数学中的应用　４５０、公务员招聘问题　４５１、中学数学应用题模型　４５２、数学教学应重视培养学生数学建模的能力　４５３、数形结合思想在中学数学中

的应用　４５４、校园网技术中的若干问题研究　４５５、高等学校校园网设计方案　４５６、交互式教学网站的设计与实现　４５７、中小学计算机辅助教学初探　４５８、用计算机技术培养数学创造性思维　４５９、创造性思维在数学问题解决中的作用　４６０、论数学思想方法在中学数学教学中的渗透　４６１、中学数学建模活动的实践与认识　４６２、数学软件在问题解决中的作用与影响　４６３、计算机辅助中学数学实验教学的研究　４６４、浅谈高校如何加快教育信息化建设　４６５、浅析均衡分析法在经济学中的作用

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数学毕业论文题目汇总　４６６、试论需求供给与市场价格的关系　４６７、边际效用递减原理在市场经济中的应用　４６８、经济学中的最优化问题　４６９、浅谈中国职工消费需求的影响因素　４７０、对当前部分大学生失业原因的分析与对策　４７１、浅谈技术进步对经济增长的作用　４７２、无穷小量的应用　４７３、微积分发展史　４７４、数形结合思想教学探讨　４７５、用高等数学知识解初等数学题　４７６、学生学习成绩评估及现行考试办法的利弊　４７７、从数学应用意识的培养看数学基础教育改革　４７８、微分方程解法探讨　４７９、不定积分的积分方法探讨　４８０、经济学中的数学问题　４８１、多项式整除性的讨论　４８２、关于不定方程的求解方法探讨　４８３、极限问题的实际运用　４８４、不等式的证明方法研究　４８５、用数形结合方法解题　４８６、中学数学在其

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他学科中的运用

３７

数学毕业论文题目汇总　４８７、反证法在解题中的巧用　４８８、构造法在竞赛中的应用　４８９、函数解析式的定义域求法　４９０、函数性质的应用　４９１、函数值域求法探索　４９２、利用方程思维解题　４９３、讨论一元函数连续与可导、可导与可微的关系　４９４、讨论多元函数连续、偏导数存在、可微之间的关系　４９５、谈谈拉格朗日中值定理在证明不等式的应用　４９６、谈谈第一换元法求解定积分的一些技巧　４９７、关于万能代焕法在求解三角函数有理式的积分中的作用　４９８、谈谈元素法　４９９、如何巧设辅助函数证明数学题　５００、谈谈格林公式及其应用　５０１、浅谈数学教学中如何培养学生的逻辑思维能力　５０２、初中数学新课程数与代数学习策略研究　５０３、ａ＾２＋ｂ＾２≧２ａｂ　的变形推广及应用　５０４、浅谈平均值不等式的应用　５０５、经济数学中的弹性应用　５０６、高等数学在证明不等式中的应用　５０７、数学中的美学

３８

数学毕业论文题目汇总　５０８、经济数学中的边际分析　５０９、高等数学在证明等式中的应用　５１０、浅议数学的趣味性　５１１、如何提高学生对数学的兴趣　５１２、爱国主义与数学的有机结合　５１３、对少学时数学的教学建议　５１４、教学媒体在数学中的应用　５１５、谈城市中小学的数学教育　５１６、浅谈数学差生的转化工作　５１７、中学数学构

造的思想方法　５１８、中学数学归纳探索的思想方法　５１９、中学数学转化的思想方法　５２０、数学课堂个别化教学　５２１、在数学教学中如何培养学生的观察能力　５２２、开放式数学教学　５２３、谈数学竞赛活动对数学教学的促进　５２４、中学数学竞赛中参数问题　５２５、数学竟赛中的不等式问题　５２６、求极限的方法探讨　５２７、谈激发学生考研热情，提高数学考研成绩的方法探索　５２８、考研数学的复习策略

３９

数学毕业论文题目汇总　５２９、高等数学的教与学　５３０、构造法在解题中的应用　５３１、构造法在高等数学中的应用　５３２、数学概念探索与启发式教学　５３３、实施数学素质教育探析　５３４、浅谈数学教学中培养学生探究性学习策略　５３５、数学美与解题　５３６、论数学开放题教学　５３７、谈数学学习兴趣的培养　５３８、情感在数学教学中的作用　５３９、试论数学中的美　５４０、数学教育与美育　５４１、行列式的若干应用　５４２、导数在初等数学中的某些应用　５４３、对称在解题中的应用　５４４、数形结合思想在解题中的应用　５４５、方程思想在解题中的应用　５４６、函数单调性的某些应用　５４７、数学教学中逆向思维的培养　５４８、数学教学中的素质教育　５４９、数学教学中的德育渗透

４０

数学毕业论文题目汇总　５５０、在数学课中培养学生的学习兴趣　５５１、利用对称性解题　５５２、浅谈求无理函数的最值　５５３、微积分在初等数学中的应用例说　５５４、谈谈解题能力的培养与提高　５５５、微积分中的化归方法　５５６、浅谈二项式定理　５５７、浅谈值域的求法　５５８、谈重要不等式及其应用　５５９、三角函数在解题中的应用　５６０、浅谈函数解析式的求法　５６１、让每一个学生都喜欢数学　５６２、数学创造性思维的培养　５６３、浅谈数列中的探索性问题　５６４、浅谈数学中的变形技巧　５６５、浅谈复变函数在中学数学教育中的应用　５６６、单位圆在三角函数的应用　５６７、面积法在中学数学解题中的巧用　５６８、数学美在数学教学中的表现形式　５６９、数学教学中加强审美教育的现实意义　５７０、数学教学中开展审美教育的途径及方法探讨

４１

数学毕业论文题目汇总　５７１、用数学美的观点引导数学解题　５７２、数学教学中的数学审美教育　５７３、发挥辩证思维在数学解题中的导向作用　５７４、数学教学中辩证思维的表现形式　５７５、数学教学中加强思维教育的意义　５７６、数学教学的科学与人文价值探讨　５７７、数学史在数学教学中的地位与作用　５７８、ｃｕｌｌｕｎ　数中的完全方幂　５７９、高中数学新教材的改进　５８０、发散思维在数学中的应用　５８１、浅谈转化思想在解题中的应用　５８２、生活与数学的密切关系　５８３、数学学习中的非智力因素　５８４、数理统计在中学教育中的应用　５８５、数学在经济中的应用　５８６、从赌博和概率到抽奖陷阱中的数学　５８７、概率

论发展史及其简单应用　５８８、初中数学新课程统计与概率学习策略研究　５８９、浅谈中学数学的等价代换（转换）　５９０、数学思维的批判性　５９１、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则

４２

数学毕业论文题目汇总　５９２、数学优秀生学习方法调查研究　５９３、趣味引课例说　５９４、浅谈计算机辅助数学教学　５９５、教学媒体在数学教学中的作用　５９６、让阅读走进数学课堂　５９７、阅读材料在数学教学中的作用　５９８、数学游戏与再创造　５９９、创新教育背景下的数学教学　６００、对高中数学新教材的研究　６０１、新课程理念下的数学课堂教学　６０２、略论师范专业数学系学生的数学素养　６０３、论数学教师自身素养的提高

４３

作文五：《[数学论文]关于估算教学的几点看法》1100字

关于估算教学的几点看法

在《数学课程标准》中明确指出要“重视口算，加强估算，提倡算法多样化”。各套实验教材在计算教学的内容编排上有了很大的变化，在众多变化的内容中，估算的变化相对更大。估算教学在内容安排、教学目标和教学策略都得到了前所未有的强化，这对教师的数学教学观念和课堂教学实践产生了很大的冲击，在教学中产生了很多疑惑的问题，这些问题有待于我们进一步的研究，我是一名一线的小学数学教师，结合我的学习与教学实践，我想就估算和老师们共同探讨几个问题，不当之处，请各位同仁批评指教。

一、估算的意义

估算是在需要近似答案的情况下所采用的一种计算方法，与精确计算直接对立，是对运算结果的大致范围进行推断的过程。估算不仅应用于某些数字的运算、长度的测量，还是应用于物品的重量体积，机器折旧，市场预测等方面。

估算在日常生活与数学学习中有着十分广泛的应用。学生估算意识和估算能力的养成，对于提高他们观察、处理、解决实际问题的能力具有十分重要的价值。具体而言，估算的功效在发下几个方面表现的尤为突出。

一、有助于培养学生认识事物的整体感

强化学生的估算能力，有助于提高他们对运算和测量结果有概括的认识，如估计物体的大小（如树的高度）、事物的属性（如洗澡水的温度）、事物的变化（如学生不断变化的身高）等。只有这样，学生在

直面纷繁复杂的社会现象时，能有所取舍，抓住事物的主要方面，做到“心中有数”，从而增强他们认识事物的整体感。

二、有助于增强学生行为的计划性

学生在从事某种行为时，可以先对有关问题过程与结果做出粗略的初步估计，以确定此事可不可行，或者做此事有无必要，然后根据实际情况最后确定。如点菜时事先估算餐费、外出浏览时估算花费、估计完成一件工作所需要的时间、装修预算、铺地面需要多少块地砖等。

三、有助于强化学生的数感

数学课程标准指出，数感主要表现在以下几个方面：现解数的意义；能用多种来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；则为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。而学生形成良好的估算习惯，有助于他们形成对数、问题及结果的直觉素质，让他们学着用定量的方法来帮助解决问题，从而使事物的面貌更加明晰，准确及严密，进而增进他们的数感。

四、有助于培养学生的观察力

估算习惯的养成是一个长期积累的过程，需要学生时时处处注意观察生泩中的许多常量，并积淀成生活的常识，长此以往，有利于增强学生对周围事物的敏感性和主动捕捉信息的能力，从而促进他们的观察力。

五、有助于学生养成对计算结果的检验意识

学生在计算之后，可利用估算方法来判断计算结果的合理性。如计算的结果是否符合实际等，以检验等笔算结果的正确性。养成估算习惯，将有助于增强学生对计算结果的检验意识，找出问题所在，减少不必要的失误。

作文六：《关于合理够纸的数学论文》3100字

关于合理购纸的

调查报告

本人郑重声明：所呈交的数学应用论文是本人在指导教师的指　导下独立进行研究的成果，　除文中已经注明引用的内容外，　本文不含　其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。　对本文的研究做出重　要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

论文作者签名：

２０１２年　３月　１１日

一、问题的提出

在如今社会，纸已经成为人们生活和学习中必不可少的必需　品，　各行各业需要使用大量的纸，　然而当今社会正面临资源愈加　匮乏的境地，但是，我们暂时也无法离开纸的使用，那么我们在　这样的情况下，如何合理的使用纸张，将其利用价值最大化，就　成为人们值得思考的一个问题。

我们学校在实行着自主研究型学习的模式，每天各个年级各　个班级都会印发大量的导学案，　供学生们学习，　因此需要使用大　量的纸张，　纸的购进与管理都由学生会负责，　随着植树节的到来，　学生会们正在思考如何减少纸张的使用量，从而间接的保护植　被，保护环境，因此，如何合理使用纸张，就成为我们正在研究　与讨论的问题。

在此之前，本年级一直购买的是一种质量一般，厚度较薄的　打印用纸，　这种纸是本学校复印机可使用的最便宜的纸，　然而这　种纸只能单面使用，这种纸的价格为　２２０元一令（一令为　２０００张）　，在某次学生会会议中，某同学提出，是否可以购进质量较　好的纸张，从而可以打印双面，使纸双面使用，那么，不就很大　程度上节约用纸了吗？然而，质量较好的纸张价钱也相对较高，　我们无法判断出那种方式更为经济与划算，　因此，　我们决定使用　数学统计与分析的知识，来调查与研究，于是，收集资料统计分　析与计算，得出合理使用纸的方案的重任，就落到了我们肩上。

二、数据搜集与统计

由于我校复印机的型号问题，部分质量较好的纸张，在复印　的过程中，　也会出现只能印出一面或损坏的情况，　所以我们在和　纸商联系后首先选出三种类型的纸，　并各拿　１００张到文印室做实　验，随后我们做出数据统计并得到如下数据。　（表格中“印成一　面”　是指在复印过程中我们在纸张两面都进行复印，　但因为机器　吃纸的原因，部分纸张在复印第二面时没有成功；而表格中“损　坏”是指因为打印机型号问题，纸张出现了破裂，从而不能分发　给同学正常使用。　）

但是因为各科的需求不同，有时有的学科只需使用纸的一　面，　在这种情况下就不得不使用单面纸来代替双面纸。　所以我们　在购进部分双面纸的同时也要购进一部分单面纸，　对此我们统计　了各学科在一周内使用纸的情况，并将其进行分类，　（比如说语　文学科的默写、　化学学科的小测验这类只使用单面纸就足矣的用　纸类型划为今后的单面用纸）　，而其他的作业划为今后的双面用　纸，　并运用数学的思想，　将其进行等价转换，　得到如下表中数据。　注：（科目情况：理科班学习：语文。数学。英语。物理。化学。　生物。政治。

文科班学习　：语文。　数学。　英语。　政治。　历史。　地理。生物。　）

（“其他”是指印发通知等年级组用纸。　）

另外由于学校每月月测一次，　各科任需大量试卷用纸，　需纸　情况如下：（部分学科需发单面的答题纸，以及背面为空白来充　当验算纸）

三、数据的整理与计算

注：（全年级人数：本年级共　１０个班，其中理科班　６个班，共

２８３人；文科班　４个班，共　１８２人。　）

１、三种双面纸的使用率：

纸　Ｂ　的利用率　＝成功印发张数　／印发的总张数　＝　８２／１００＝８２％

纸　Ｃ　的利用率　＝成功印发张数　／印发的总张数　＝８９／１００＝８９％

纸　Ｄ　的利用率　＝成功印发张数　／印发的总张数　　＝９３　／１００＝９３％

２、　（１）全年级一个月（按四周计算）单面纸使用总量：

使用总量　＝理科学生一周使用单面纸张数　＊时间四周　＊理科生

总数　＋文科学生一周使用单面纸张数　＊时间四周　＊文科生总数　＝

＝２６＊４＊２８３＋２３＊４＊１８２＋１３＊２８３＋１５＊１８２＝５２５８５元

（２）全年级一个月（按四周计算）双面纸使用总量：

使用总量　＝理科学生一周使用双面纸张数　＊时间四周　＊理科生

总数　＋文科学生一周使用双面纸张数　＊时间四周　＊文科生总数　＝

＝２８＊４＊２８３＋２９＊４＊１８２＋９＊２８３＋９＊１８２＝５６９９３元

（３）购纸总金额计算

其中：

计划购进用纸　＝实际需求用纸总张数　／纸的使用率

购进纸张令数　＝计划购进纸张张数　／２０００

（１）若使用纸　Ａ＋纸　Ｂ　，则一个月需要的总金额为：

总金额　＝单面纸　Ａ　总令数　＊单价　＋双面纸　Ｂ　总令数　＊单价　即：总金额　＝（计划购进单面纸总量　／２０００）　＊一令纸　Ａ　的单　价　＋（（计划购进纸　Ｂ　用纸的总张数　／８２％）　／２０００＊一令纸　Ｂ　的单价　：　＝（５２５８５／２０００）　＊２２０＋（（５６９９３／８２％）　／２０００）＊２７０＝１５１６７．３元

（２）若使用纸　Ａ＋纸　Ｃ　则一个月需要的金额为：

总金额　＝单面纸　Ａ　总令数　＊单价　＋双面纸　Ｃ　总令数　＊单价　总金额　＝（计划购进单面纸总量　／２０００）　＊一令纸　Ａ　的单价　＋　（（计划购进纸　ｃ　用纸的总张数　／８２％）　／２０００＊一令纸　ｃ　的单价　＝　（５２５８５／２０００）　＊２２０＋（（５６９９３／９１％）　／２０００）＊２９０＝１４８６５．７元

（３）若使用纸　Ａ＋纸　Ｄ　则一个月需要的金额为：

总金额　＝单面纸　Ａ　总令数　＊单价　＋双面纸　Ｄ　总令数　＊单价　总金额　＝（计划购进单面纸总量　／２０００）　＊一令纸　Ａ　的单价　＋　（（计划购进纸　Ｄ　用纸的总张数　／８２％）　／２０００＊一令纸　Ｄ　的单价　＝　＝（５２５８５／２０００）　＊２２０＋（（５６９９３／９３％）　／２０００）＊３２０＝１５５８９．７元

３、数据比较

四、分析与结论

由上表分析可得，当按照单面纸　Ａ＋双面纸　Ｃ　的类型购进用　纸时，　那么相较于纸　Ａ＋纸　Ｂ　以及纸　Ａ　＋纸　Ｄ　的购纸类型，　在一个　月内，所需求的总金额最少，同时，也能较提高纸的使用率，在　节约纸张，节约资源的同时，也能节省大量的资金。所以，单面　纸　Ａ　＋双面纸　Ｃ　的购纸方式应当是最科学，最经济，最划算，同　时，　也是较为环保的购纸方式，　因此，　我们在经过数据的分析与　讨论后，得出结论，我们应在购纸时，按照单面纸　Ａ＋双面纸　Ｃ　的购纸类型购纸。　最后，　我们将数据的调查与分析情况反应给学　生会，并建议如此购纸。

五、反思与收获

在这次数据的调查与研究的过程中，　我们遇到了许多问题，　（比　如，　在数据收集的过程中，　我们有时无法判断数据是否完整，　正　确与合理，有时，数据计算也会出现很大的问题）　，这些问题都　是我们在书面学习数学时无法遇到的，　这使我们自身的数学知识　得到很大的完善与补充，能够使我们在运用数学知识时更为灵

活，更为方便，让我们不是为了单纯的学习而学习，同时，也能　将数学知识运用到我们的生活当中去，　解决我们生活中的实际问　题。

总而言之，　这次的调查历程，　使我们获益匪浅，　让我们更为贴　近了数学，　更为了解了数学，　让我们在数学的天空中，　展翅高飞，　去磨练我们的数学逻辑性，　去放飞我们的数学理想，　去追逐我们　的数学梦。

六、合作经历

在这次撰写研究调查报告中，　我们两个人分功明确，　利用了较　短的时间完成了较大的工作量，　工作效率较高，　这让我们不禁的　感受到了合作带来的巨大效益。　我们两个人，　一个人主要负责纸　张的联系以及纸张损坏情况的调查统计，　一个人负责在年级组估　算一个月全年级的用纸量，最后两个人一起完成最终的计算过　程。　本来工作量非常大的任务，　这样一来就变得微不足道，　所以　在今后，我们会在生活中更多的合作，因为合作获得双赢。

作文七：《“钱生钱”关于理财的数学论文 唐畅》700字

“钱生钱”

“钱生钱”　，这是不可能的。钱，既不是生物，又不会繁殖，怎么能“生钱”　呢？不过，用理财投资的方式使钱升值，还是可行的。这就是“钱生钱”了。　今年春节，我收到了一笔压岁钱。可是，压岁钱总归是会用完的，于是，我　向妈妈提议，也让我的压岁钱来“生钱”　。妈妈说，很多地方都有增值服务，如　“余额宝”　、　“唐小僧”　、银行理财等。项目不同，定期不同，利率也不同。当然，　不止有定期存款，　还有活期。　为了使收益率达到最高，　我上网查了各种理财项目

利率为　２．３５％的两年定期，可收益：

１００００×２．３５％×２

＝１００００×０．０２３５×２

＝２３５×２

＝５７０（元）

由此计算，　银行存款存两年的收益有　５７０元，　加上本钱一万，　共取出　１０５７０元。　不过，　活期也有其好处，　多存几十年应该也会赶上定期存款的吧。　可是，　０．３５％的利率实在是太少了，所以，还是定期存款能满足多数顾客的需求。

“余额宝”年化收益为　２．９７％，如果像银行存款一样存两年的话，　２．９７％＞　２．３５％，所以“余额宝”更胜一筹。那么，能拿多少钱呢？

１００００×２．９７％×２

＝１００００×０．０２９７×２

＝２９７×２

＝５９４（元）

加上本金一万，大约共能取出　１０５９４元。　（没有利率的前三天忽略不计）　那么，　“唐小僧”理财呢？对比一下，　“唐小僧”似乎是最好的：起点资金　只要　１００元而已，最少收益都是　８％，而且当天存当天收益。我们来算一下，存　两年收益最少的情况：

１００００×８％×２

＝１００００×０．０８×２

＝８００×２

＝１６００（元）

哇，最终连本带息能取　１１６００元呢！虽然有一定的风险性，但使用方便，　回报丰厚，是最佳的投资项目。

作文八：《数学论文 关于数的发展历史》13200字

目　录

１　引言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　３　２　计数法和自然数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　３

２．１　记数制度　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　３

２．２　自然数　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　４　３　有理数系．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　８

３．１有理数的引入．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　８

３．２分数和负数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　８

４　实数理论的完善．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　９

４．１无理数的由来．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　９

４．２　实数的发展　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１０　５　复数的扩张．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１１

５．１　复数的产生　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１１

５．２　复数的历史意义　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１１　６　结论．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１２　参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１３

致　谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　１４

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关于数的发展历史

摘要：数系理论的历史发展表明，数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。希腊人关于无理数的发现暴露出有理数系的缺陷，而实数系的完备性一直要到１９世纪才得以完成。负数早在《九章算术》中就已被中国数学家所认识，然而，１５世纪的欧洲人仍然不愿意承认负数的意义。“四元数”的发明，打开了通向抽象代数的大门，同时也宣告在保持传统运算定律的意义下，复数是数系扩张的终点。

关键词：记数法；素数；有理数；实数理论；复数扩张

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１　引言

数是数学中的基本概念，也是人类文明的重要部分。数的概念的每一次扩展都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善程度，反映了当时数学发展的水平。现在，我们所应用的数，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数的形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢，

２　记数法和自然数

２．１　记数制度

记数制度或计数法就是记录或表示数目的方法，主要指数字符号的表现形式以及技术工具的使用。

在文字生产之前，人类就已形成数的概念。那时数目是用事物来记录的，如小石子，竹片，树枝，贝壳之类。这些东西容易散乱，自然会想到用结绳的办法来记录。我国《周易．系辞下》有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”的说法。东汉郑玄称：“事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡”。以结绳和书契记数的方法实际上遍及世界各地，如希腊、波斯、罗马、巴勒斯坦、伊斯兰和中美洲国家都有文献记载和实物标本。结绳毕竟不甚方便，以后再实物（石，木，骨等）上刻痕以代替结绳，再进一步发展成为文字。

位于西安东郊的半坡村文化遗址（属新石器时代的仰韶文化），距今５，６千年前，人们就发现陶器和陶片上刻着许多标志符号，横，竖，斜，叉河现代汉字想象，有２０多种不同的形状；埃及前国王时期（约从５千年前开始）的墓葬和石碑等出项象形文字；两河流域的苏美人创造的楔形文字，也开始于５，６千年前。

现代则用国际通用的印度－阿拉伯数码。但古代有些地区数字和数码是一致的。有了数字和数码，就有一套记数方法，刻痕记数，有多少数刻多少道痕，这是最原始的办法，但数目很大就有困难，自然就想到进位，以ｐ个新单位有组成一个更高的单位，这叫做ｐ进位的基数。现在同行的印度－阿拉伯数码的基数是１０，即“逢１０　进１，退１当１０”，人们已经习以为常，但在历史上曾使用过许多非１０的基数，如２，５，６，１２，１６，２０，６０等，量角的６０进制，至今还在使用。

为什么选择这些数作基数，这是很有趣的问题。５进和１０进显然和人类有１０个指头有关，这一点亚里士多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－前３２２）早就注意论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

到。他在《问题集》ＸＶ卷中指出各种可能的解释，都和毕达哥拉斯学派有关这个学派认为１０是一个完美的数，并给它披上神秘的外衣。首先，１０是最小的４种类型的数之和：１＋２＋３＋４＝１０，１既非素数既非合数，２是偶素数，３是奇素数，４是合数，２代表线（两点确定一直线），３代表面，４代表立体。１０又是不同天体类型的数目：地球，反地球，日，月，五大行星以及恒星。还可以做其他的解释。亚里士多德最后指出：是否因为每个人都有１０个手指，事实上，前集中推测都是不可信的，因为进位的基数不是某些学者的发明或规定，而是人们在长期实践中形成的，而且在毕达哥拉斯以前，早已有１０进制，如埃及，中国等。法国著名数学家拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｅ，１７４９　–　１８２７）曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，１０进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，１０进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，１０进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。

２．２　自然数

自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，１９世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。

自然数集Ｎ是指满足以下条件的集合：？Ｎ中有一个元素，记作０。？Ｎ中每一个元素都能在　Ｎ　中找到一个元素作为它的后继者。？　０不是任何元素的后继者。？　不同元素有不同的后继者。？（归纳公理）Ｎ的任一子集Ｍ，如果０？Ｍ，并且只要ｘ在Ｍ中就能推出ｘ的后继者也在Ｍ中，那么Ｍ＝Ｎ。

基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特征叫做基数　。这样　，所有单元素集｛ｘ｝，｛ｙ｝，｛ａ｝，｛ｂ｝等具有同一基数　，　记作１　。类似，凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

记作２，等等　。自然数的加法　、乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。下面我们主要讨论自然数内的零和素数．

２．２．１　零的历史

２．２．１．１　哥伦布鸡蛋

数学史家把０比作“哥伦布鸡蛋”　（Ｃｏｌｕｍｂｕｓ－ｅｇｇ），这不仅仅是因为０的形状像鸡蛋，其中还含有深刻的哲理。１４９２年，哥伦布（Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈｅｒ　Ｃｏｌｕｍｂｕｓ，

１４５１－１５０６）从西班牙出发，历尽千辛万苦，终于发现了美洲新大陆。他于１４９３年返回西班牙后，受到群众的欢迎和王室的优待，也招致一些贵族，大巨的妒忌。在一次宴会上，有人大声宣称：“到那个地方没有什么了不起，只要有船，谁都能去。”哥伦布没有正面回答，他手拿一个熟鸡蛋说：“谁能把鸡蛋用小的那一头竖起来，”许多人试了又试，都说不可能。哥伦布将鸡蛋在桌上轻轻敲破了一点壳，就竖了起来，于是又有人说：“这谁不会，”哥伦布说：“在别人没有做之前，谁都不知怎么做，一旦别人做了之后，却又认为谁都可以做。”这就是流传了四百多年的哥伦布鸡蛋故事。凡事都是开创时困难，有人开了端，仿效是很容易的。０的出现一个典型的例子，在发明之前，谁都想不到，一旦有了它，人人都会用简单的方法来记数。因此哥伦布鸡蛋的比喻是很巧妙的。

“零是谁发明的，”答案可能不止一种，这是因为对“零”可以有不同的解释：（１）零是一个概念，它表示“一无所有”。如５减５等于零；（２）在位值制记数法中，零表示“空位”，同时起到指示数码所在位置的作用。如阿拉伯数码中零记作０，在３０４中的０表示十位上没有数，而３是在百位上，表示三百；（３）零本身是一个数，可以同其他的数一起参与运算；（４）零是标度的起点或分界，如每天的时间从０时开始，数轴上０是正负数的分界，温度计以０o为零上零下的分界等等。可见至少有上述的四种功能。下面讨论零在位值制中的功能。

２．２．１．２　楔形文字的零号

所谓位值制，就是一个数码表示什么数，要看它所在的位置而定。完整的位值制，必须有零号，否则便无法表示４０５，４５００这样的致。零可以说是位值制的必然产物，但在历史上，它的出现往往比位值制思想晚得多。原因值得探讨，至少可以说明即使是一项简单的发明，也不是一蹴而就的。

世界上较早懂得位值制原理的地区有巴比伦、玛雅、印度、中国。

巴比伦计数法迟迟不创造零号，原因可能有三个：一是零出现的频率较小，１０进位值记数法在１—１００之中有１０个数要用０来表示：１０，２０，?，１００；而论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

６０进制只有６０这个数必须用到０；二是６０进制差一位就差６０倍，较易从上下文来确定究竟表示什么；三是必要时用留出空挡来表示空位。

总的来说，在巴比伦王国时期没有发明零号，顶多是留出空白，而在塞琉西时期确实出现了零号，中间相隔一千多年。一般说，事物的发明总比它被普遍使用早得多，但究竟早多少，现在还没有足够的证据来加以确定。

２．２．１．３　亚里士多德的见解

最早认真考虑以零作除数的是亚里士多德，他在《物理学》一书４章８节中指出：物理在一定的力作用下，运动速度与介质的密度成反比，即ｖ＝ｋ／ｄ，其中ｖ是速度，ｄ是介质密度，ｋ是比例常数。这法则是错误的，暂且不去管它，我们要讨论的下面的推理。

亚里士多德提出这样的问题：假如ｄ＝０，也就是在真空中，物体将有怎样的速度呢，他回答说：“一个数与零是没有比值的，??如果把一个量ｃ分为ａ与ｂ两部分，当ｂ减少时，比值就增大，但当ｂ变成零的时候，便不再存ａ：ｂａ：ｂ在，因为不能说ｂ是ｃ的一部分。??同样，直线与点也是没有比值的。”接着又说：“物体在正空中的运动速度超过任何的比值。”亚里士多德的论述非常接近

ａ现代的思想，它可以归结为两点：（１）ａ／０是不存在的；（２）。　　ｌｉｍ，，ｘ，０ｘ

在这里亚里士多德似乎已经意识到零（空虚）可以看作一个数来参与运算，但没有更多的证据来肯定这一点。在以后的希腊著作中，包括亚里士多德的在内，很少把零看作一个数来加以运算。即使在古希腊最重要的算术著作尼科马霍斯　《算术入门》里也没有将零纳入数的系数之中，只是在一处偶然提到“一无所有加上一无所有还是一无所有。”

２．２．２　素数

２．２．２．１　素数有多少，

我们在《初等数论》课中学习了素数，素数是整个数论的灵魂，因此我以素数为主要内容来介绍。

一个素数是指这样一种正整数：除了１和它本身之外，其它任何正整数都不可能整除它。我们也可以这样定义素数：它不能写成两个大于１的正整数的乘积。有时我们也将素数称作质数。通常我们不承认１是素数。下面来介绍这样做的好处。

最初的几个素数是２，３，５，７，１１，?。显然６不是素数，因为，６，２，３所有的素数中只有２是偶数～这件事看似平凡的事，其实很重要。在许多数学研究中，２和其他素数会对我们所考虑的问题产生不同的影响。很多人会问：为什论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

么我们把这样的数名为“素数”呢，这来自于素数最基本的结论—算术基本定理：任何大于１的正整数都可以唯一地分解成一些素数和乘积?，这ｎｎ，ｐｐ１ｓ里?都是素数（允许相同）。　，，，ｐｐｐ１２ｓ

究竟有多少个素数，无限多个还是仅有有限个，这个问题的答案早由欧几里得在两千多年前解决了。他用初等方法技巧地证明：存在无限多个素数～具体言之，我们假设所有正整数中只有有限个素数?，那么可以构造，ｐｐ１ｎ

一个正整数　　?　　很容易发现，左边的分解成素数的乘积的ＮＮ，，１．ｐｐｐ１２ｎ

话，不可能包含任何素数，因此它的分解式中必定含有这些之外的新的ｐｐｉｉ

素数，这就和我们的假设矛盾。

根据欧几里得的证明，我们可以轻松断言：所有被４除余数为３的素数有无限个～换言之，等差数列３，７，１１，１５，１９，?中包含无穷多个素数这就产生

ａ，ａ，ｂ，ａ，２ｂ，ａ，ｎｂ，了有趣的问题：一个等差数列?，?中是否包含无限多个素数，数学家狄利克雷回答了这个问题：假如和是互素的（就是说它们不ａｂ

能同时被一个大于１的正整数整除），那么答案是肯定的～

不要以为欧几里得的方法来轻松的解决这一问题。事实上，除了少数情形之外，这个问题不可能由它来简单的解决。如果我们把等差数列换成其他数列，结

２果会怎样呢，比如考虑数列：２，５，１０，１７，２６，?，，?　其中是否有，１ｎ

无限多个素数呢，让人失望的是，这到至今仍是一个未解决的难题。

２．２．２．２　素数的分布

我们知道了“素数有无限多个”后还想知道更多～比如，素数在所有自然数中所占的比率多大，我们首先要说明“比率”在这里意味着什么。对任何正实数，我们用（）表示不超过的素数的个数。比如ｘ，ｘｘ，（１），０，，（４），２，，（２．５），１

（ｘ），等等。我们用来反映所有不超过的正整数中，素数所占的比率—也称作ｘｘ

平均分布密度。

（ｘ），一个简单的结论告诉我们：当非常非常大时，几乎就等于０．换句话ｘｘ说，素数在所有正整数中极为罕见，可以说少得几乎没有—尽管我们知道它们有无穷多个～对一般人来说，这个结论似乎已经让我们走到了问题的尽头。但是天才数学家高斯却不这么认为。在那个没有计算机的年代（１７９２－１７９３年间），他通过大量的手工计算，单凭超人的直觉，竟然得到了一个让人吃惊的猜测：当ｘ（ｘ），（ｘ）１，非常时，素数出现的比率约等于。换言之约等于１，这里ｘ／ｌｏｇｘｌｏｇｘｘ

ｌｏｇｘ是ｘ的对数函数。

高斯的原始猜测要比上面的表述式更为精确。在高斯之后，数学家勒让德也通过数值计算得到过类似的猜测公式（１８００年左右），但没有高斯的精确。证明这一结论是极其困难的工作。到１９　世纪中叶，俄国数学家切比雪夫才有了突破论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

（ｘ），，，性进展，他证明了：　　　　　　　　ｃｃ１２ｘ／ｌｏｇｘ

这里和是确定的常数。这个猜想大约到１９世纪末，才由法国学家阿达玛和ｃｃ１２

Ｐａｕｓｓｉｎ几乎同时独立证明。人们将它称作素数定理。这个定理只是在大样本范围内描述了一种统计规律。素数本身的分布位置极不规则。当我们确定一个素数之后，很难预测在它之后的下一个素数是多少。尽管如此，我们仍有一些猜测和结论来描绘素数在整数集中分布形态。有趣的是，猜测要比结论多得多。虽然我们无法彻底证实那些猜想，但是却可以推导出，用所谓的密率方法得到的有趣结论：任何大于１的整数必可以写成不超过２６个素数之和。

３　有理数

３．１　有理数的引入

位置制记数法的出现，标志着人们掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数的缺陷也就逐渐显露出来。

自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，１９世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论：自然数的序数理论和基数理论，使自然数的概念、运算和有关性质得到严格的论述。自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。但相减和相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。可知，自然数是一个离散的、而不是稠密的数　，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。

３．２　分数和负数

有趣的是分数来领也都有强烈的地域特征。如，巴比伦的分数是６０进位的，埃及采用的是单分数（ｕｎｉｔ　ｆｒａｃｔｉｏｎ），阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到１５世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。

原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文？八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。

可以证明，分数是一个稠密的数，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也同行无阻，负数的出现就是必然的了。收入与支出、盈余与不足、增加与减少是负数概念在生活中的实例，教科书在向学生讲授负数是也多循此途。这就是一种误解：似乎人类正是从这种具有相反意义的量的认识而引进了负数的。历史表明：负数最早为中算家所引进，这是由中国古代传统数学中，筹算机械化和算法高度发达的特点所决定的。负数的概念和算法首先出现在《九章算术》“方程”章，因为对“方程”进行两行之间的加减消元时，就必须引入负数和建立正负数的运算法则。

负数虽然从阿拉伯人的著作传到了欧洲，但１６世纪和１７世纪的大多数数学家并不承认色一点，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯（Ｎｉｃｏｌａｓ　Ｃｈｕｑｕｅｔ　，１４４５－１５００）和斯蒂费尔（Ｓｔｉｆｅｌ　，１４８６－１５６７）把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”；卡丹（Ｃａｒｄａｎ，１５０１－　１５７６）　把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号，他把负根称作是虚有的；韦达（Ｖｉｅｔａ，　１５４０－　１６３０）　完全不要负数；巴斯卡（Ｐａｓｃａｌ，１６２３－　１６６２）　则认为从０减去４纯粹是胡说。

负数是人类第一次越过正数域的范围，前此种种的经验，在负数面前全然无用。在数的发展历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。

４　实数理论的完善

４．１　无理数的由来

公元前５００年，古希腊毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ）学派的弟（Ｈｉｐｐａｓｕｓ）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可子希勃索斯公度的（若正方形边长是１，则对角线的长不是一个有理数）这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”（指有理数）的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒，认为这将动摇他们在学术界的统治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的惩处。

毕氏弟子的发现，第一次向人们揭示了有理数系的缺陷，证明它不能同连续的无限直线同等看待，有理数并没有布满数轴上的点，在数轴上存在着不能用有理数表示的“孔隙”。而这种“孔隙”经后人证明简直多得“不可胜数”。于是，古希腊人把有理数视为连续衔接的那种算术连续统的设想彻底地破灭了。不可公度量的发现连同著名的芝诺悖论一同被称为数学史上的第一次危机，对以后２０００多年论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，推动了公理几何学与逻辑学的发展，并且孕育了微积分的思想萌芽。

不可通约的本质是什么，长期以来众说纷坛，得不到正确的解释，两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。１５世纪意大利著名画家达．芬奇称之为“无理的数”，１７世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。　然而，真理毕竟是淹没不了的，毕氏学派抹杀真理才是“无理”。人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者，就把不可通约的量取名为“无理数”。

无理数的发现，击碎了Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ学派“万物皆数”的美梦。同时暴露出有理数系的缺陷：一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却漏出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多的“不可胜数”。这样，古希腊人把有理数视为是连续衔接的那种算术连续统的设想，就彻底的破灭了。它的破灭，在以后两千多年时间内，对数学的发展，起到了深远的影响。不可通约的本质是什么，长期以来众说纷纭。两个不可通约量的比值也因其得不到正确的解释，而被认为是不可理喻的数。１５世纪达芬奇（Ｌｅｏｎａｒｄｏ　ｄａ　Ｖｉｎｃｉ，　１４５２－　１５１９）　把它们称为是“无理的数”（ｉｒｒａｔｉｏｎａｌ　ｎｕｍｂｅｒ），开普勒（Ｊ．　Ｋｅｐｌｅｒ，　１５７１－　１６３０）称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，找到虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。

４．２　实数的发展

１８７２年，是近代数学史上最值得纪念的一年。这一年，克莱（Ｆ．Ｋｌｉｎｅ，１８４９－

１９２５）提出了著名的“埃尔朗根纲领”（Ｅｒｌａｎｇｅｒ　Ｐｒｏｇｒａｍｍ），维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。也正是在这一年，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论；康托的“基本序列”理论，以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论，同时在德国出现了。

努力建立实数的目的，是为了给出一个形式化的逻辑定义，它既不依赖几何的含义，又避免用极限来定义无理数的逻辑错误。有了这些定义做基础，微积分中关于极限的基本定理的推导，才不会有理论上的循环。导数和积分从而可以直接在这些定义上建立起来，免去任何与感性认识联系的性质。几何概念是不能给出充分明白和精确的，这在微积分发展的漫长岁月的过程中已经被证明。因此，必要的严格性只有通过数的概念，并且在割断数的概念与几何量观念的联系之后才能完全达到。这里，戴德金的工作受到了崇高的评价，这是因为，由“戴德金分割”定义的实数，是完全不依赖于空间与时间直观的人类智慧的创造物。

实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了，古希腊人的算术连续统的设想，也终于在论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

严格的科学意义下得以实现。

５　复数的扩张

５．１　复数的产生

复数（虚数）的产生在数学发展历史是一个重大的事件，由于它诞生于“荒谬的矛盾”中，因此复数一开始就给自己披上了一层“虚无缥缈”而有神秘的外衣。经过许多年的艰苦探索，走了近三百年的漫长历史时期，最后才逐渐被人们承认和接受。今天复数已经在数学的许多分支及其他学科中得到广泛的应用。

复数是怎样产生的，它是不是象有些书上所叙述的那样：在求一元二次方程２　的过程中，实数集不够用了需要进行扩张，扩张后的数集，使得一元ｘ，１，０

２二次方程　　有解，从而得到复数，可是在历史上复数却不是这样产生的，ｘ，１，０

它不是生产与一元二次方程的求解过程中，这就更增加了复数神秘而虚无的色彩。因此恩格斯说：“复数就其本身来说，它们纯粹是虚构的”。

２　本来，由于一元二次方程　　在实数范围内没有解，为了使这个方ｘ，１，０

２程求得解，自然会想到将实数进行扩张，而引入　　　　，从而得到方程的根　ｉ，，１

，复数就是自然而然地产生，这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，ｘ，，ｉ

也能为人们，特别是中学生所接受。如果复数真是这样产生，那它不就成了纯粹的自由创造物和相像物了，

５．２　复数的历史意义和发展

历史并非如此，我们不妨来看看历史吧～

最近在考古中发现，公元前两千多年前的古代巴比伦时代，就已经出现了二次，三次方程的例子，当时的古代巴比伦人已经具有处理一元二次方程的技巧。公元三年纪希腊数学家丢番图能熟练的解一元二次方程，但他还没有得到一元二次方程的求解公式。直到公元七世纪，印度数学家巴拉玛古他才较明确地得到求解一元二次方程的公式，虽然复数在阿拉伯人就已经知道，但在欧洲不承认复数是数，１７世纪有名的数学家巴斯葛认为：“０减４纯粹是胡说”。很多著名数学家都不承认方程有负数根，例如１７世纪法国著名的数学家伟达只承认方程有正跟，而拒绝承认一元二次方程有负数根，更谈不上承认一元二次方程有虚根了。

３９２时，就得到过　　１５００年法国人舒开在接一元二次方程４，ｘ，３ｘｘ，，，４２４这样一个具有负数开平方的事实，但他认为这是不可能的。他之所以得出这样的结论，是因为不承认负数是开放数这个事实，不论在理论上还是逻辑上不会出现什么困难和矛盾，在当时无论在理论上，还是实际需要都没有什么动力促使人们论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

在一元二次方程求解中去探求这类问题，因此复数在历史上产生于一元二次方程的求解过程中也就没有什么奇怪了。

复数还是太“虚无缥缈”了，不容易为大家所接受，人你们努力去寻找求它的应用。令人奇怪的是复数的几何表示并不是出自数学家单位著作。１７９９年丹麦的测量员维塞尔在他的“方向的解析表示”的著作中，第一次给出了复数的几何解释，这也许是他从测量的实践中想到用平面上的点来表示复数，不久，日内瓦的会计师阿尔冈在１８０６年出版的“一种表示虚量和几何作图”的著作中，第一次给出了复数模的概念，他也用平面上的点来表示复数，但由于他俩都不是正统的数学家，又没有系统地上升到理论高度，因此他们的成果没有引起人们的凝视。

从上可以看出复数的产生对于数学的发展产生了巨大的影响，由它出发不仅创立了有重大突破的四元数理轮，后来还出现了超复数的概念，甚至到了１９７２年苏联一位学者还是提出了双复数的概念，它们在物理学中都找到应用。即使是复数本身，在爱因斯坦的相对论中也用ｉ代替闵可夫斯思维空间的时间ｔ，最近还有人将复数应用于系统论的控制论。

复数理论的创立，在数学本身已经得到广泛的担任应用，而受复数启示而诞生的四元数理论不仅给数学带来观念的更新，而且导致了许多的数学理论的建立。直到最近还有人在复数概念的启示下去创立新的数学概念和理论。

更重要的是复数理论在实践上有着广泛的应用，它不仅应用于力学，电工学，相对论，而且还用于系统论和控制论，甚至还有可能应用于理论物理。而由复数理论启发所创立的四元数，超复数和双复数理论也广泛应用于向量场，空间静力学，力学，磁学，晶体学和电磁场等多种学科中。

正是由于复数概念在理论上，实践上有着广泛的应用，因此它具有很强的生命力，对复数理论的研究可以讲是长期不衰，四百多年过去了，今天复数理论还吸引着许多人去研究。

６　　结束语

数的概念的每一次扩张都标志着数学的进步，但是这种进步并不是按照数学教科书的逻辑步骤展开的。因此本篇论文主要讨论了数学中的数的历史过程和发展．讨论了从最早的记数法到自然数、有理数、实数和复数的一系列历史发展过程和扩展，数的每一次扩展标志着巨大色飞跃，一时代对于数的认识和应用，以及数系理论的完善，反映了当时数学的水平。

现在，我们所用的数走过了以上所提的历史后，已经够早的如此完备和缜密，在生活和科学技术的领域中，它都成为基本的语言和不可缺少的工具。　论文写作指导：ＱＱ６２５８８０５２６　　论文资源网：．ｌｚｙ．　最专业的论文、设计资源学习分享平台

参考文献：

［１］　李文林主编．数学珍宝，北京：科学出版社，１９９８年出版

［２］　李文林．数学史概论教程，北京：高等教育出版社，２０１１年２月第３版　［３］　梁宗巨．数学历史典故，辽宁：教育出版社，２０００年１０月第二版　［４］　王建午，曹之江，刘景麟．实数的构造理论．北京：人民教育出版社．１９８１年出版　［５］　数学文化，２０１２年／第三卷第１期

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致　谢

此论文完成之际，我首先要衷心感谢我的导师艾合买提江老师在此论文的完

本论文是在艾合买提成过程中给我的大力帮助，使我能够顺利的完成毕业论文．

江老师的悉心指导下完成的，论文的选题、技术路线的构思以及论文的写作都凝聚着指导老师的辛苦与教导！　夏普开提．热合木吐拉老师丰富的实践经验，诲人不倦的师风和宽广的胸怀给我留下了深刻的印象，不仅使我奋斗进取，而且使我懂得了为人处事的道路，受益终生。导师严谨的治学态度一丝不苟、忘我的工作作风，平易近人，随和善良的为人准则，良好的个人道德修养，堪为学人的典范，让我受益终生．三月来，无论在工作还是生活中，导师都给予我极大的关心照顾和充分的理解．这三月，我学到的不仅仅是专业知识，还有想问题及处理问题的方法．除此之外还有先进的思想、方法和严谨的治学态度，使我受益匪浅，对我今后学习、生活都将大有稗益．在此，谨向我的导师致以崇高的敬意与衷心的感谢！

学校领导，学院领导，系领导，以及各位老师们在我毕业论文研究中提供的各方面的支持和宝贵意见，此论文中包含着你们的汗水、支持、关怀和心血。

再次感谢所有关心我的老师、亲人、同学和朋友～感谢你们对我付出的一切～

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作文九：《数学论文-关于线性空间定义的一点注记》800字

数学论文－关于线性空间定义的一点注记

为了在使用上方便，对某些概念进行定义时，总会给上更多的限制条件。这样一来，在验证某些概念时就需要验证更多条件，这显然不是我们想要的。但通过下文的证明，这多余的条件其实更加方便使用。本文讨论的是，线性空间八大公理与七大公理等价的问题。目的就是为了说明上面的事实，引导学生学会读书。

在郭聿琦等主编的《线性代数带引》，或者说任何一本代数学教材，在定义线性空间时均采用了如下的八大公理：

但是笔者在学习过程中发现，从本质上讲，八大公理只需七大公理即可，第一公理可由后七公理导出。本文正是为证明此命题的。

首先证明两个事实：

事实一、

事实二、

说明：为了避免在命题证明过程中出现循环引用的情况，下面的推导过程前后步骤间均给出直接引用的事实，用记号表示这一原则，其中的表示利用公理：２：可由得到。

证明：

：事实一：

综上事实一即得证．

：事实二：

基于上面两个事实，下面证明下面的命题：

命题：线性空间中八大公理：１：：２：：３：：４：：５：：６：：７：：８：与七大公理：２：：３：：４：：５：：６：：７：：８：等价。

可以看出，两大公理体系仅有一个公理的差别，因此为证明此命题只需要公理：１：可以由其余七大公理导出即可。

证明：必要性是显然成立的；

充分性

只需证明：１：可由：２：：３：：４：：５：：６：：７：：８：推出即可。

综上全部，命题即得以证明。

可以看出，上面两个定义的等价性是毋庸质疑的；并且可以看出，在证明的过程中只是反复的引用公理事实。这就启示我们在定义概念时，多加条件其实没有影响，相反还会简化我们验证的过程，否则每次都要重复上面的过程去验证交换律，这就是公理化体系的优点。

这个命题是由我的恩师王正攀转述给我们的，他得之于郭聿琦教授。　参考文献

［１］郭聿琦．岑嘉评．徐贵桐．线性代数导引［Ｍ］．北京：科学出版社，２００１．

作文十：《关于数学文化价值的浅议-数学论文》2000字

精品资源～临风文档。

：／／．ｄｏｃｉｎ．／ａｆｅｉｚ

关于数学文化价值的浅议－数学论文

关键字：

一、数学：打开科学大门的钥匙

科学史表明，一些划时代的科学理论成就的出现，无一不借助于数学的力量。早在古代，希腊的毕达哥拉斯（Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ）学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略（Ｇ．　Ｇａｌｉｌｅｏ）认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。物理学家伦琴（Ｒ　＠？ｎｔｇｅｎ）因发现了Ｘ射线而成为１９１０　年开始的诺贝尔物理奖的第一位获得者。当有人问这位卓越的实验物理学家科学家需要什么样的修养时，他的回答是：第一是数学，第二是数学，第三还是数学。对计算机的发展做出过重大贡献的冯〃诺依曼（Ｊ．Ｖｍｍａｎ　）认为“数学处于人类智能的中心领域”。他还指出：“数学方法渗透进支配着一切自然科学的理论分支，……它已愈来愈成为衡量成就的主要标志。”　　　　科学家们如此重视教学，他们述说的这些切身经验和坚定的信念，如果从哲学的层次来理解，其实就是说，任何事物都是量和质的

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统一体，都有自身的量的方面的规律，不掌握量的规律，就不可能对各种事物的质获得明确清晰的认识。而数学正是一门研究“量”的科学，它不断地在总结和积累各种量的规律性，因而必然会成为人们认识世界的有力工具。

马克思曾明确指出：“一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”这是对数学作用的深刻理解，也是对科学化趋势的深刻预见。事实上，数学的应用越来越广泛，连一些过去认为与数学无缘的学科，如考古学、语言学、心理学等现在也都成为数学能够大显身手的领域。数学方法也在深刻地影响着历史学研究，能帮助历史学家做出更可靠、更令人信服的结论。这些情况使人们认为，人类智力活动中未受到数学的影响而大为改观的领域已寥寥无几了。

二、数学：科学的语言

有不少自然科学家、特别是理论物理学家都曾明确地强调了数学的语言功能。例如，着名物理学家玻尔（Ｎ．Ｈ．Ｄ．Ｂｏｈｒ）

就曾指出：“数学不应该被看成是以经验的积累为基础的一种特殊的知识分支，而应该被看成是普通语言的一种精确化，这种精确化给普通语言补充了适当的工具来表示一些关系，对这些关系来说普通字句是不精确的或过于纠缠的。严格说来，量子力学和量子电动力学的数学形式系统，只不过给推导关于观测的预期结果提供了计算法则。”（注：《原子物理学和人

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类知识论文续编》，商务印书馆Ｘ年版。）狄拉克（Ｐ．Ａ．Ｍ．Ｄｉｒａｃ　）

也曾写道：“数学是特别适合于处理任何种类的抽象概念的工具，在这个领域内，它的力量是没有限制的。正因为这个缘故，关于新物理学的书如果不是纯粹描述实验工作的，就必须基本上是数学性的。”（注：狄拉克《量子力学原理》，科学出版社Ｘ年版。）另外，爱因斯坦（Ａ．Ｅｉｎｓｔｅｉｎ）则更通过与艺术语言的比较专门论述了数学的语言性质，他写道：“人们总想以最适当的方式来画出一幅简化的和易领悟的世界图像；于是他就试图用他的这种世界体系来代替经验的世界，并来征服它。这就是画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，他们都按照自己的方式去做。……理论物理学家的世界图象在所有这些可能的图象中占有什么地位呢？它在描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到。”（注：《爱因斯坦文集》第１卷，商务印书馆Ｘ年版。）

一般地说，就像对客观世界量的规律性的认识一样，人们对于其他各种自然规律的认识也并非是一种直接的、简单的反映，而是包括了一个在思想中“重新构造”相应研究对象的过程，以及由内在的思维构造向外部的“独立存在”的转化（在爱因斯坦看来，“构造性”和“思辨性”正是科学思想的本质的思想）；就现代的理论研究而言，这种相对独立的“研究对

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象”的构造则又往往是借助于数学语言得以完成的（数学与一般自然科学的认识活动的区别之一就在于：数学对象是一种“逻辑结构”，一般的“科学对象”则可以说是一种“数学建构”），显然，这也就更为清楚地表明了数学的语言性质。

数学作为一种科学语言，还表现在它能以其特有的语言（概念、公式、法则、定理、方程、模型、理论等）对科学真理进行精确和简洁的表述。如着名物理学家、数学家麦克斯韦（Ｊ．　Ｃ．　Ｍａｘ　）的麦克斯韦方程组，预见了电磁波的存在，推断出电磁波速度等于光速，并断言光就是一种电磁波。这样，麦克斯韦创立了系统的电磁理论，把光、电、磁统一起来，实现了物理学上重大的理论结合和飞跃。还有黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ　）几何和不变量理论为爱因斯坦发现相对论提供了绝妙的描述工具。而边界值数学理论使本世纪二三十年代的远距离原子示波器的制成变为现实。矩阵理论为本世纪Ｘ年代海森堡（Ｗ．　Ｋ．　Ｈｅｉｓｅｎｂｅｒｇ）和狄拉克引起的物理学革命奠定了基础。

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