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作文一：《三角形的性质 三角形的定义》1400字
三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？（一定是１８０？，这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。 三角形的内角和 在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角…
学 生 成 绩 单 亲爱的贵家长； 你好～ 感谢您对我校的信任、理解和支持，本学期已经结束，孩子们迎来了暑假。回顾这一学期，孩子们付出了许多， 获得了他们自己辛勤的果实。孩子们的勤奋学习离不开家长们孜孜不倦的教导，对你们的教导学校表示万分感谢～孩 子…
致学生家长的一封信（供各校参考） 尊敬的各位家长： 你们好～衷心感谢你们对教育工作的理解与支持。２０１２年暑假即将到来，为了让孩子过一个平安、快乐、充实而又有意义的暑假，特提以下几点建议： １、把握与孩子亲情接触、充分沟通的难得机会。父母双方应帮助孩…
１
三角形的定义
在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？（一定是１８０？，这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。
三角形的内角和
在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为１８０度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。（注：在非欧几何中，三角形的内角和有可能大于１８０度也有可能小于１８０，此时的三角形也从平面也变为了球面或者伪球面）
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》
如何证明三角形的内角和等于１８０？
方法１：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为１８０？屁法师打发士大夫撒算法单发发射
方法２：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为１８０？ 例题：已知有一？ＡＢＣ，求证？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？
证明：做ＢＣ的延长线至点Ｄ，过点Ｃ作ＡＢ的平行线至点Ｅ
２
？ＡＢ？ＣＥ（已知）
？？ＡＢＣ＝？ＥＣＤ（两直线平行，同位角相等），？ＢＡＣ＝？ＡＣＥ（两直线平行，内错角相等）
？？ＢＣＤ＝１８０？
？？ＡＣＢ＋？ＡＣＥ＋？ＥＣＤ＝？ＢＣＤ＝１８０？（等式的性质）
？？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？（等量代换）
三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？（一定是１８０？，这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。 三角形的内角和 在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角…
三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？（一定是１８０？，这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。 三角形的内角和 在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角…
三角形的定义 在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？（一定是１８０？，这是个准确的数）的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。 三角形的内角和 在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角…
３
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４
作文二：《三角形的四心和特殊三角形》3500字
三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题．
如图１ ，在三角形ＶＡＢＣ中，有三条边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ，三个
图２ １
角行Ａ，Ｂ，？Ｃ，三个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，在三角形中，角平分线、中
线、高（如图 ２）是三角形中的三种重要线段．
三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心．三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点．
例１ 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为
２：１． 已知 Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为ＶＡＢＣ三边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ的中点， 求证 ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于一点，且都被该点分成２：１． 证明 连结ＤＥ，设ＡＤ、ＢＥ交于点Ｇ，
ＱＤ、Ｅ分别为ＢＣ、ＡＥ的中点，则ＤＥ／／ＡＢ，且
ＤＥ＝
１ＡＢ， ２
＼ＶＧＤＥ∽ＶＧＡＢ，且相似比为１：２， ＼ＡＧ＝２ＧＤ，ＢＧ＝２ＧＥ．
设ＡＤ、ＣＦ交于点Ｇ＇，同理可得，ＡＧ＇＝２Ｇ＇Ｄ，ＣＧ＇＝２Ｇ＇Ｆ． 则Ｇ与Ｇ＇重合，
＼ ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ交于一点，且都被该点分成２：１．
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心． 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等． 例２ 已知ＶＡＢＣ的三边长分别为ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，Ｉ为ＶＡＢＣ的内心，且Ｉ在ＶＡＢＣ的边ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ上的射影分别
ｂ＋ｃ－ａ
． ２
证明 作ＶＡＢＣ的内切圆，则Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为内切圆在
为Ｄ、Ｅ、Ｆ，求证：ＡＥ＝ＡＦ＝
三边上的切点，
ＱＡＥ，ＡＦ为圆的从同一点作的两条切线，＼ＡＥ＝ＡＦ， 同理，ＢＤ＝ＢＦ，ＣＤ＝ＣＥ．
＼ｂ＋ｃ－ａ＝ＡＦ＋ＢＦ＋ＡＥ＋ＣＥ－ＢＤ－ＣＤ＝ＡＦ＋ＡＥ＝２ＡＦ＝２ＡＥ
ｂ＋ｃ－ａ
即ＡＥ＝ＡＦ＝．
２
例３ 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形． 已知 Ｏ为三角形ＡＢＣ的重心和内心
．
求证 三角形ＡＢＣ为等边三角形．
证明 如图，连ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ．
ＱＯ为三角形的内心，故ＡＤ平分DＢＡＣ，
＼
ＡＢＢＤ
＝（角平分线性质定理） ＡＣＤＣ
同理可得，ＡＢ＝ＢＣ．
＼ＶＡＢＣ为等边三角形．
三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心．锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部．（如图）
Ｄ为ＢＣ的中点，即ＢＤ＝ＤＣ． ＱＯ为三角形的重心，
ＡＢ＼＝１，即ＡＢ＝ＡＣ． ＡＣ
例４ 求证：三角形的三条高交于一点．
已知 ＶＡＢＣ中，ＡＤ＾ＢＣ于Ｄ，ＢＥ＾ＡＣ于ＥＡＤ与，ＢＥ交于Ｈ点． 求证 ＣＨ＾ＡＢ．
证明 以ＣＨ为直径作圆，
ＱＡＤ＾ＢＣ，ＢＥ＾ＡＣ，＼？ＨＤＣ＼Ｄ、Ｅ在以ＣＨ为直径的圆上， ＼？ＦＣＢ？ＤＥＨ．
？ＨＥＣ
９０ｏ，
同理，Ｅ、Ｄ在以ＡＢ为直径的圆上，可得？ＢＥＤ＼？ＢＣＨ？ＢＡＤ，
？ＢＡＤ．
ｏ
又ＶＡＢＤ与ＶＣＢＦ有公共角DＢ，＼？ＣＦＢ？ＡＤＢ９０，即ＣＨ＾ＡＢ．
过不共线的三点Ａ、Ｂ、Ｃ有且只有一个圆，该圆是三角形ＡＢＣ的外接圆，圆心Ｏ为三角形的外心．三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点． 练习
１．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形．
２． （１） 若三角形ＡＢＣ的面积为Ｓ，且三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，则三角形的内切圆的半径是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；
（２）若直角三角形的三边长分别为ａ、ｂ、ｃ（其中ｃ为斜边长），则三角形的内切圆的半径是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 并请说明理由．
（二十四）几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一．因而在等腰三角形ＡＢＣ中，三角形的内心Ｉ、重心Ｇ、垂心Ｈ必然在一条直线上． 例５ 在ＡＢＣ中，ＡＢ?ＡＣ?３，ＢＣ?２．求 （１）ＡＢＣ的面积Ｓ
ＡＢＣ
及ＡＣ边上的高ＢＥ；
（２）ＡＢＣ的内切圆的半径ｒ； （３）ＡＢＣ的外接圆的半径Ｒ． 解 （１）如图，作ＡＤ?ＢＣ于Ｄ． ＡＢ?ＡＣ，?Ｄ为ＢＣ的中点，
?ＡＤ? １
?ＳＡＢＣ??２??２１又ＳＡＢＣ?ＡＣ?
ＢＥ，解得ＢＥ?．
２（２）如图，Ｉ为内心，则Ｉ到三边的距离均为ｒ， 连ＩＡ，ＩＢ，ＩＣ，
ＳＡＢＣ?ＳＩＡＢ?ＳＩＢＣ?ＳＩＡＣ，
１１１
即?ＡＢ?ｒ?ＢＣ?ｒ?ＣＡ?ｒ，
２２２解得ｒ?２
ＡＢＣ是等腰三角形， （３）
?外心Ｏ在ＡＤ上，连ＢＯ，
则ＲｔＯＢＤ中，ＯＤ?ＡＤ?Ｒ，ＯＢ２?ＢＤ２?
ＯＤ２，
?Ｒ２?Ｒ）２?
１２，解得Ｒ?
８
ｂ＋ｃ－ａ
２
在直角三角形ＡＢＣ中，DＡ为直角，垂心为直角顶点Ａ， 外心Ｏ为斜边ＢＣ的中点，内心Ｉ在三角形的内部，且内切圆的半径为
（其中ａ，ｂ，ｃ分别为三角形的三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
ＡＣ２＋ＡＢ２＝ＢＣ２．
例６ 如图，在ＶＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｐ为ＢＣ上任意一点．求证：ＡＰ＝ＡＢ－ＰＢ？ＰＣ． 证明：过Ａ作ＡＤ＾ＢＣ于Ｄ． 在ＲｔＶＡＢＤ中，ＡＤ＝ＡＢ－ＢＤ． 在ＲｔＶＡＰＤ中，ＡＰ＝ＡＤ－ＤＰ．
２
２
２
２
２
２
２２
＼ＡＰ２＝ＡＢ２－ＢＤ２＋ＤＰ２＝ＡＢ２－（ＢＤ＋ＤＰ）（ＢＤ－ＤＰ）．
ＱＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＾ＢＣ，＼ＢＤ＝ＤＣ． ＼ＢＤ－ＤＰ＝ＣＤ－ＤＰ＝ＰＣ．
＼ＡＰ２＝ＡＢ２－ＰＢ？ＰＣ．
正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心．
例７ 已知等边三角形ＡＢＣ和点Ｐ，设点Ｐ到三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的距离分别为 ｈ１，ｈ２，ｈ３，三角形ＡＢＣ的高为ｈ，“若点Ｐ在一边ＢＣ上，此时ｈ３＝０，可得结论：
图３．２－１５
ｈ１＋ｈ２＋ｈ３＝ｈ．”
请直接应用以上信息解决下列问题： 当（１）点Ｐ在ＶＡＢＣ内（如图ｂ），（２）点在ＶＡＢＣ外（如图ｃ），这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，ｈ１，ｈ２，ｈ３与ｈ之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）． 解 （１）当点Ｐ在ＶＡＢＣ内时，
法一 如图，过Ｐ作Ｂ＇Ｃ＇分别交ＡＢ，ＡＭ，ＡＣ于
Ｂ＇，Ｍ＇，Ｃ＇，
由题设知ＡＭ＇＝ＰＤ＋ＰＥ， 而ＡＭ＇＝ＡＭ－ＰＦ，
故ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦ＝ＡＭ，即ｈ１＋ｈ２＋ｈ３＝ｈ． 法二 如图，连结，
ＱＳＶＡＢＣ＝ＳＶＰＡＢ＋ＳＶＰＡＣ＋ＳＶＰＢＣ， １１１＼ＢＣ？ＡＭＡＢ？ＰＤＡＣ？ＰＥ２２２又ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，
１
ＢＣ？ＰＦ， ２
＼ＡＭ＝ＰＤ＋ＰＥ＋ＰＦ，即ｈ１＋ｈ２＋ｈ３＝ｈ．
（２）当点Ｐ在ＶＡＢＣ外如图位置时，ｈ１＋ｈ２＋ｈ３＝ｈ不成立，猜想：ｈ１＋ｈ２－ｈ３＝ｈ．
注意：当点Ｐ在ＶＡＢＣ外的其它位置时，还有可能得到其它的结论，ｈ１－ｈ２＋ｈ３＝ｈ，ｈ１－ｈ２－ｈ３＝ｈ（如
图３．２－１８，想一想为什么？）等．
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思想方法，“法二”中灵活地运用了面积的方法． 练习：
１． 直角三角形的三边长为３，４，ｘ，则ｘ＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
２． 等腰三角形有两个内角的和是１００°，则它的顶角的大小是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
３．
已知直角三角形的周长为３１，求这个三角形的面积．
４． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量．
习题
Ａ组
１． 三角形三边长分别是６、８、１０，那么它最短边上的高为
２． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于
＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
３． 已知：ａ，ｂ，ｃ是ＡＢＣ的三条边，ａ?７，ｂ?１０，那么ｃ的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
８，且ａ是整数，则ａ４． 若三角形的三边长分别为１、ａ、
的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 ５．如图，等边ＡＢＣ的周长为１２，ＣＤ是边ＡＢ上的中线，Ｅ是ＣＢ延长线上一点，且ＢＤ＝ＢＥ，则ＣＤＥ的周长为（）
Ａ
．６? Ｂ
．１８?
Ｃ
．６? Ｄ
．１８?６．如图，在ＡＢＣ中，?Ｃ??ＡＢＣ?２?Ａ，ＢＤ是边ＡＣ上的高，求?ＤＢＣ的度数。
７．如图，ＲｔＡＢＣ，?Ｃ?９０ｏ，Ｍ是ＡＢ的中点，ＡＭ＝ＡＮ，ＭＮ／／ＡＣ，求证：ＭＮ＝ＡＣ。
Ｂ组
１． 如图，在ＡＢＣ中，ＡＤ平分?ＢＡＣ，ＡＢ＋ＢＤ＝ＡＣ．求?Ｂ：?Ｃ的
值。
２． 如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｆ为ＤＣ的中点，Ｅ为ＢＣ上一点，且
ＥＣ＝
１
ＢＣ，求证：？ＥＦＡ４
９０ｏ．
３．如图，把ＡＢＣ纸片沿ＤＥ折叠，当点Ａ落在四边形ＢＣＤＥ内部时，则?Ａ与?１??２之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
Ａ．?Ａ??１??２ Ｂ．２?Ａ??１??２ Ｃ．３?Ａ??１??２ Ｄ．３?Ａ?２（?１??２） ４．如图，在等腰ＲｔＡＢＣ中?Ｃ?９０，Ｄ是斜边ＡＢ上任一点，ＡＥ?ＣＤ于Ｅ，ＢＦ?ＣＤ交ＣＤ的延长线于Ｆ，ＣＨ?ＡＢ于Ｈ，交ＡＥ于Ｇ．求证：ＢＤ＝ＣＧ．
ｏ
作文三：《三角形的最大外接正三角形》4100字
三角形的最大外接正三角形
（ ）安徽师范大学数学系 ２４１０００ 郭要红
本文的起源是《数学通报》每期问题系列的注意到 ？Ａ ＋ ？Ｂ ＝ ９０？ 问题 １２８８． ？ＦＡＢ ＋ ？Ａ ＋ ？ＥＡ Ｃ ＝ １８０？， ［１ ］ 问题 １２８８在一个正三角形中内接一个边 所以 ， Ｆ 、Ａ 、Ｅ 共线 ， 又 ？Ｄ ＝ ？Ｅ ＝ ？Ｆ ＝
长分别为 １ 、２ 、５ 的直角三角形 ， 求该正三角形面 Δ６０？， 即 Ｄ ＥＦ 为正三角形 ． 积的最大值 ． 直角三角形的外接正三角形的最大值２
《数学通报》２００１ 年第 １ 期上刊登了问题设计 为叙述方便 ， 我们把求解过程中用到的几个
者提供的解答 ， 方法是在直角坐标系下 ， 建立参数 常见的几何结论写成引理 ． 方程 ， 利用向量 、复数的旋转寻求正三角形的高的 引理 １Δ 若 ＡＢ Ｃ 的顶点 Ａ 、Ｂ 、Ｃ 分别落在 表达式 ， 求出最大值 ， 方法综合性强 ， 技巧性高 ． 但 ΔΔＤ ＥＦ 的边 ＥＦ 、ＦＤ 、Ｄ Ｅ 上 ， 则三个三角形 ＤＢ Ｃ 、 解答未给出面积最大时外接正三角形的位置 ． ΔΔＥＣＡ 、ＦＡＢ 的外接圆有一个公共点 ． 本文给出直角三角形的外接正三角形的一个 引理 ２正三角形内任一点到三边的距离和 纯几何作图方法 ， 外接正三角形面积最大时的位 等于正三角形的高． 置及最大值 ， 进一步拓展到求任意三角形的外接 引理 ３ 正三角形外接圆上任一点至三顶点 正三角形的最大值问题 ． 的连结线 ， 其长者必等于其余二者的和． ［ ２ ］ １ 直角三角形的外接正三角形的一个作法（ ） 引理 ３ 的证明参见文第 １３０ 页例题 １６．
现在我们求直角三角形的外接正三角形的面 我们首先采用“执果
积的最大值 ． 索因”的分析法来进行分
Δ设 Ｄ ＥＦ 是 直 角 ΔΔ析． 设 Ｄ ＥＦ 是 ＡＢ Ｃ 的
ΔＡＢ Ｃ 的 外 接 正 三 角 形 ， （） 外接正三角形 如图 １，
Δ由 引 理 １ 知 ，ＤＢ Ｃ 、 则 Ｄ 、Ｅ 、Ｆ 分别在以
ΔΔＥＣＡ 、ＦＡＢ 的外接圆交 Ｂ Ｃ 、ＣＡ 、ＡＢ 为弦 ， 在直角
于一个公共点 Ｐ ， 如图 ２ ， ΔＡＢ Ｃ 的外侧 ， 张角为 ６０？
图 １ 连结 ＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ ， 则 的圆弧 Ｂ Ｃ 、圆 弧 ＣＡ 、圆
？Ａ ＰＢ ＝ ？Ｂ ＰＣ ＝ 弧 ＡＢ 上 ， 延长 Ｂ Ｃ 交圆弧 ＣＡ 交于点 Ｍ ， 则 Ｅ 必在 ２ 图 ？Ｃ ＰＡ ＝ １２０，？ 圆弧 ＣＡ 上的 Ｍ 与 Ａ 之间． ［３ ］ 点 Ｐ 被称为费尔马点． 按上述分析 ， 我们得到直角三角形的外接正
过点 Ｐ 分 别 作 ＰＡ、ＰＢ 、ＰＣ分 别 垂 直 于 １ １ １ 三角形的作法 ：
ＥＦ 、ＦＤ 、Ｄ Ｅ ， Ａ、Ｂ 、Ｃ为 垂 足 ， 由 引 理 ２ 知 ， 若 １ １ １ （） １分别以 Ｂ Ｃ 、ＣＡ 、ＡＢ 为弦 ，向直角三角形 ＡＢ Ｃ
ΔＤ ＥＦ 的高为 ｈ ， 则 的外侧 ，作张角为６ ０的圆？弧 Ｂ Ｃ 、圆弧 ＣＡ 、圆弧 ＡＢ ；
（） ｈ ＝ ＰＡ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ ２延长 Ｂ Ｃ 交圆弧 ＣＡ 交于点 Ｍ ， 在圆弧 ＣＡ １ １ １
且ＰＡ ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ？ ＰＡ ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ上 ， Ｍ 与 Ａ 之间任取一点 Ｅ ， 连结 ＥＣ 延长交圆弧 １ １ １ ＣＢ 于 Ｄ ， 连结 ＤＢ 延长交圆弧 ＡＢ 于 Ｆ ； 等号当且仅当 ＰＡ ？
（） ＥＦ 、ＰＢ ？ ＦＤ 、ＰＣ ？ Ｄ Ｅ ３连结 Ａ Ｅ 、Ａ Ｆ ， 则 Ｆ 、Ａ 、Ｅ 共线．
ΔＤ ＥＦ 为直角三角形 ＡＢ Ｃ 的外接正三角形． 时成立．
α证明Δ 设 ？ＥＣＡ ＝ ， 由作法知 ， Ｄ ＥＦ 的 面 积 越 大 ，
ααＥＡ Ｃ ＝ １２０？－ ， ？Ｂ ＣＤ ＝ ９０？－ ， ？当且 仅 当 其 高 越 长 ， 于
α？ＣＢ Ｄ ＝ ３０？＋ ， 是 ， 当 ＰＡ ？ ＥＦ 、ＰＢ ？
α （） ？ＦＢＡ ＝ １５０？－ ＋ ？Ｂ ， ΔＦＤ 、ＰＣ ？ Ｄ Ｅ 时 ，Ｄ ＥＦ
图 ３ α ？ＦＡＢ ＝ ＋ ？Ｂ － ３０，？ 的面积取得最大值 ， 此
２００４ 年 第 ２ 期 数学通报 ２５
Δ（ 时 ，Ｄ ＥＦ 的高为 ＰＡ ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ 如 ３ ２ ３ ２ ２ ２ ２ ） （ ） ΔＢ Ｋ＝ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＋ ２，（ ） 图 ３． ４ ６３ 延 长 Ｂ Ｐ 交 Ａ Ｃ Ｅ 的 外 接 圆 于 （） ２若 ？Ｃ ＞ １２０，？ 等角 ［３ ］ ）（Ｋ如图 ４ ）（ 中心 Ｐ 参见文第 １９２ 页 则 ？ＫＣＡ＝ ？ＫＰＡ ＝ ６０，？（ ）Δ 在 ＡＢ Ｃ 的外部． 如图 ６ ？ＫＡ Ｃ ＝ ？Ａ ＰＣ ＝ ６０，？ 连 结 ＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ ， 设
ΔΔΔＤ ＥＦ 是 ＡＢ Ｃ 的 外 接 正 三 所 以 ，ＫＡ Ｃ 为 正 三 角 形 ， 由 引 图 ４ ΔΔΔ角形 ， 即 ＤＢ Ｃ 、ＥＣＡ 、ＦＡＢ 理 ３ 知 ， Ｂ Ｋ ＝ ＰＡ ＋ ＰＢ ＋ ＰＣ
的外接圆相交于 Ｐ ， 此时 ， 在 ？Ｂ Ｃ Ｋ 中应用余弦定理得
图 ６ ２ ２ ？Ｂ ＰＣ ＝ ？Ａ ＰＣ ＝ ６０？， （ ）ａ＋ ｂ－ ２ ａｂｃｏ ｓ ６０？＋ ９０？ Ｂ Ｋ ＝ ？Ａ ＰＢ ＝ １２０．？ ２ ２ ａ＋ ｂ＋ ３ ａｂ ＝ 过点 Ｐ 分 别 作 ＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ 分 别 垂 直 于 １ １ １ Δ，Ｄ ＥＦ 的面积最大值是 所以 ＥＦ 、ＦＤ 、Ｄ Ｅ ， Ａ、Ｂ 、Ｃ为垂足 ， 则 １ １ １
Δ） （ ３ ２ ３ Ｄ ＥＦ 的面积 ＝ ＥＦ ＰＡ＋ ＰＢ － ＰＣ， ２ ２ ２１ １ １（ ） （ ） ａ＋ ｂＢ Ｋ＝．ａｂ ＋ ４ ３ Δ于是 ＰＡ ＋ ＰＢ －ＰＣ是 Ｄ ＥＦ 的高． ３ １ １ １ 于是 ， 我们有 ββ设 ？ＰＢ Ｄ ＝ ， 则 ？ＰＣＤ ＝ ？ＰＡ Ｆ ＝ ，
定理 １直角边长分别为 ａ ， ｂ 的直角三角形 （ ） β ＰＡ＋ ＰＢ － ＰＣ＝ ＰＡ ＋ ＰＢ － ＰＣｓｉｎ， １ １ １
Δ要 Ｄ ＥＦ 的面积大 ，只要 ＰＡ＋ ＰＢ－ ＰＣ大 ， Δ１ １ １ ΔＡＢ Ｃ 的外接正三角形Ｄ ＥＦ 的面积最大值是 ａｂ 而 ＰＡ＋ ＰＢ－ ＰＣ最大值的是 ＰＡ ＋ ＰＢ － ＰＣ ，此 １ １ １ ３ ２ ２β （ ） 时 ，＝ ９０？，即 ＰＡ？ ＥＦ 、ＰＢ？ ＦＤ 、ＰＣ？ＤＡ 时． Δ ＋ ａ＋ ｂ， 当 Ｄ ＥＦ 的三边分别与 ＰＡ 、ＰＢ 、１ １ １ ３ Δ延长 ＰＣ 交ＦＡＢ 的外接圆于 Ｋ ， （ ） ΔＰＣ 垂直时取到 Ｐ 是ＡＢ Ｃ 的费尔马点． 因为 ３ 进一步拓展
ＫＡＢ＝ ？ＫＰＢ ＝ ６０，？？ 我们将问题拓展到求任意给定 ΔＡＢ Ｃ 的外接
？ＫＢＡ ＝ ？ＫＰＡ ＝ ６０，？ Δ正三角形 Ｄ ＥＦ 的面积最大值 ． 得到 ： Δ，ＡＢ Ｋ 是正三角形 ， 所以 ΔΔ定理 ２ 设 ａ ， ｂ ， ｃ ，分别为ＡＢ Ｃ 的三边长与
由引理 ３ 知 ， ＰＫ ＝ ＰＡ ＋ ＰＢ ΔΔ面积 ，则ＡＢ Ｃ 的外接正三角形Ｄ ＥＦ 的面积最大值 所以 ， Ｃ Ｋ ＝ ＰＫ － ＰＣ ＝ ＰＡ ＋ ＰＢ － ＰＣ ３ ２ ２ ２ΔΔ（ ） ａ＋ ｂ＋ ｃ是 ＋ ２， 当 Ｄ ＥＦ 的三边分别与 Δ在 ＣＡ Ｋ 中应用余弦定理 ６ ２ ２ ２ （ ）２ ｂｃｃｏ ｓ Ａ ＋ ６０？ ＝ ｂ ＋ ｃ － ＫＣ （ ）ΔＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ 垂直时取到 Ｐ 是 ＡＢ Ｃ 的等角中心 １ ２ ２ ２Ｃ ？ ？Ａ证明 设 ？？ ？Ｂ ， （ ） Δ ＝ ａ＋ ｂ＋ ｃ＋ ２ ３２ （） １若 ？Ｃ ？ １２０？， Δ所以 ，Ｄ ＥＦ 的面积最大值是 Δ则 ＡＢ Ｃ 的费尔马点 Ｐ 在 ３ ３ ２２ ２ ２ ２ ） （ ） Δ （ ＫＣ＝ ａ＋ ｂ＋ ｃ＋ ２．Δ（ ＡＢ Ｃ 内或边界上 如 图 ４ ６ ３ ） ５， 与定理 １ 的证明过程 （） （ ） 综合 １、２知 ， 定理 ２ 成立． Δ一样 ，Ｄ ＥＦ 的 面 积 最 大 我们求出了任一三角形的外接正三角形的面 Δ值在Ｄ ＥＦ 的三边分别与 积最大值及最大面积的外接正三角形的位置 ． 下 ＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ 垂 直 时 取 到 一步要解决的问题自然是 ： 对直角三角形存在最 （若 ？Ｃ ＝ １２０？， 点 Ｐ 与 小面积的外接正三角形吗 ？若存在 ， 位置何在 ． 对 Δ点 Ｃ 重合 ， 只要 Ｄ ＥＦ 的 图 ５ 一般三角形 ， 存在最小面积的外接正三角形吗 ？ 三 边 分 别 与 ＰＡ 、ＰＢ 、ＰＣ
２ ２ 参考文献 ） ａ＋ ｂ－ （）垂直， 此时 Ｂ Ｋ ＝２ ａｂｃｏ ｓ ６０？＋ Ｃ １ 黄元兵． 问题 １２８８ ． 数学通报 ， ２０００ ， １２ １ ２ ２ ２（ ） ２ 梁绍鸿． 初等数学复习及研究 平面几何． 北京 ： 人民教育出 （ ） Δ ＝ ａ＋ ｂ＋ ｃ＋ ２ ３．２ 版社． １９５８ 年 １１ 月版 Δ３ Ｒ． Ａ． 约翰逊著． 单 译． 近代欧氏几何学． 上海 ： 上海教育出 Ｄ ＥＦ 的面积最大值是
版社． １９９９ 年 ８ 月版
作文四：《三角形内接正三角形的个数》2500字
三角形内接正三角形的个数
？
２６？中学数学月刊２００５年第５期 三角形内接正三角形的个数
蒋荣清（浙江省黄岩中学３１８０２０） 定义设Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是？ＡＢＣ三边 ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ上的内点（不与顶点重合），称 ？ＥＦＧ为？ＡＢＣ的内接三角形．（如图１） 文［１］指出任意
一
个三角形至少存在
一
个内接正三角形，但
究竟有几个？文［１］未
加解决．本文对这个问
题作出解答．
定理任意一个图１
三角形都存在无穷多个内接正三角形． 引理１任意一个三角形都至少存在一 个内接正三角形．
在文［１］中用构
造法已指出引理１成
立．具体作法：假设
？Ｂ？Ｃ，以
ＢＣ为边向外作一正三
角形ＢＣＧ，连ＡＧ交
ＢＣ于Ｈ，过Ｈ分别作
ＨＫ｝ＧＣ，ＳＨ／／ＧＢ，
连ＳＫ，则？ＳＫＨ为 正三角形．（如图２） Ｇ
图２
Ｃ
引理２若？或０＆ｌｔ；＆ｌｔ；，
？一１，则～／，一＋＋～／，ｚ？０． 证明（１）当？时，一
＋＋～／，了２一（～／，了一）＋＋ ３＆ｇｔ；０．
ｒ＿＝Ｉ
（２）当０＆ｌｔ；＆ｌｔ；时，假设一 ＋＋～／，了一０，则一
（１一～／，了）
＋～，，
＋～／，
０＆ｌｔ；ｂ＆ｌｔ； ～／广）
２ｍ
—
ｍ
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＋—
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－５－
２
ｃ＿１，
孚＆ｌｔ；＆ｌｔ；，
ｍ
，则＆ｌｔ；一１，一１＆ｌｔ；ａ＆ｌｔ； ０，０＆ｌｔ；ｂ＆ｌｔ；１，＆ｌｔ；ｃ＆ｌｔ；０．
证明（１）－－５－＆ｌｔ；＆ｌｔ；＝＆ｇｔ；（
一
１）（＋～／，了）＆ｇｔ；Ｏｌ＝～ｍ＋～／，＆ｇｔ；～／，
一
甘—ｍ—
＋——
，／
＿＿＝
－ｇ
＝
－
ｍ
－
２
＆ｌｔ；一１，即＆ｌｔ；一１．
一
～／３
（２）—，／－５－＆ｌｔ；＆ｌｔ； ，故ｎ—
Ｊ
巫＆ｌｔ；０．
＋～／广．．
又～／，ｚ一２ｍ一～／，了＝（～／，了＋ １）（一，／，了）＆ｌｔ；Ｏｌ＝～ｍ（１一～／，）＆ｇｔ；一 一
？—ｍ（—
１—
－
—
，
＿＝
／－ｇ
＝
－
ｍ
一
）＆ｇｔ；一
１甘ｎ＆ｇｔ；一１， ＋～／３
．
＇
．一
１＆ｌｔ；ａ＆ｌｔ；０．
（３），，／－５－＆ｌｔ；＆ｌｔ；～／广— ｃ＿＆ｌｔ；１， ０＋～／３
又０＆ｌｔ；ｂ＆ｌｔ；—．０＆ｌｔ；６＆ｌｔ；１．
１舒
？一ｃ一
３ｃ一６
（１＋？）ｚ
＋２又０＆ｌｔ；６＆ｌｔ；
一
～／，＋２ｍ一～／，了一（了一１）（＋
～／，）＆ｌｔ；Ｏｌ＝～ｍ＋了＆ｌｔ；一（一～／，）甘
—
ｍ
—
＋—
，／－ｇ－ｍ２＆ｇｔ；一
ｌ，这与，ｚ？一ｌ矛盾，．．．—— ～／３
～／，了一＋＋～／，？０．
引理３若一＋～／， ｍ一
？
ａ
２ｍ．
＋＂＇一＆ｌｔ；６
—１＆ｌｔ；０，即一１＆ｌｔ；—十一 （１＋～／３）
－
ｍ（１＋ｖ＇－５－ｍ）甘—
－二＆ｇｔ；
一
～／３＋～／３
ｃ＆ｌｔ；０，
＆ｇｔ；一
１
ｍ一
２００５年第５期中学数学月刊？２７？
甘＆ｇｔ；Ｏ（？．？，／－５－＆ｌｔ；＆ｌｔ；丁）＇．．
．＆ｌｔ；ｃ＆ｌｔ；Ｏ．
定理证明
不妨设
？Ｃ？Ｂ，
以ＢＣ所在直线
为Ｘ轴，ＢＣ边上
高所在直线为Ｙ
轴，建立直角坐
标系（如图３），
ｌＹ
＇
Ａ（ｏ．，，Ｉ）
ｌ
６，ｍ（１．６））
１．
０）口．０）０Ｃ（１，０） 图３
设Ｃ（１，Ｏ），Ｂ（ｎ，Ｏ），Ａ（Ｏ，），则？一１， ＆ｇｔ；０．
设？ＥＦＧ为？ＡＢＣ的内接正三角形 （由引理１知必存在），Ｆ（ａ，Ｏ），Ｇ（ｂ，（１— ６）），Ｅ（ｃ，（１一二）），显然＆ｌｔ；口＆ｌｔ；１，０＆ｌｔ；ｂ
＆ｌｔ；１，＆ｌｔ；ｃ＆ｌｔ；０．将坐标平面视为复平面，则
：ｂ一口＋（１—６）ｉ，硅：ｃ一口＋（１一 ｃ）ｉ．
？
．．ＡＥＦＧ为正三角形，一（＋ ｉ），即ｃ一口＋（１一詈）ｉ—Ｅｂ－－口＋ （１—６）ｉ］（告＋ｉ），化简得
ｆ（１＋了ｍ）ｂ一２ｃ＝了—ｎ，？
Ｉ（７２一７２）６＋２ｆ：７２＋ｎ７２．？
由？，？得
（～／，一＋＋～／，了ｚ）６一＋
～／，＋（～／，—ｍ）ａ，？
（～／，一＋＋～／，ｚ）ｃ一
～／，一＋（ｒａｎ＋～／，了）口
下面对进行分类讨论．
分别视为口的一次函数（．．．３一？Ｏ）， 记ｂ一／＇（口），ｃ—ｇ（口），由引理１知，对于给定 的，必存在ａ．，使得ｂ—ｆ（ａ．）？（Ｏ，１），ｃ —ｇ（ａｏ）？（，０），由于ｆ（ａ），ｇ（ａ）关于口是 连续函数，故一定能找到一个区间（口．一ｅ．， 口ｏ＋ｅｏ）（ｅｏ＆ｇｔ；Ｏ），使得对任意口？（口．一ｅｏ， 口ｏ＋ｅｏ）（ｅｏ＆ｇｔ；Ｏ）时，有ｂ—ｆ（口）？（Ｏ，１），ｃ
—ｇ（ａ）？（，Ｏ），由于这样的口有无穷多，故 命题成立．
（２）当＆ｌｔ；＆ｌｔ；丁时，
（Ｉ）若＿ｍ＋．／－ｇ－ｍ２
——
～／３，则丁一
＋＋丁？０，证法与（１）同．
（？）若一—ｍ—＋—．／—
－Ｔｉｎ
＝．．
２
，则丁一
一
～／３
＋＋～／，了一０，由？及一
＿
ｍ＋．／－Ｔｉｎ２
，得口一二＿＿，将口代
一
～／３十～／３
入？得：＃一
１，当ｂ取区间（ｏ，—）上任一个值时， 十～／３
可求得ｃ．由引理３得＆ｌｔ；一１，一１＆ｌｔ；口＆ｌｔ；０，
０＆ｌｔ；ｂ＆ｌｔ；１，＆ｌｔ；Ｃ＆ｌｔ；０，因ｂ有无穷多种取法，
故口也有无穷多．综上所述，命题成立． （３）当一时，
（Ｉ）若＆ｌｔ；一１，则～／，一＋＋
丁ｚ一—ｚ，／，
５－（＋１）？Ｏ
，证法与（１）相
？同．
（１）当？，／－ｇ－～．＆ｌｔ；＆ｌｔ；孚时＇由 引理２得
３一＋＋３？０，故
ｆ，＋～／，了ｚ＋（～／，一）口ｆＤ一
３３＇ｌ～／—＋＋～／
＇
ｆ～／，ｍ２ｎ一＋（ｒａｎ＋～／，了）口
Ｉ一～／，了一＋＋了ｚ＇
对于给定的？ＡＢＣ，，也随之确定．将ｂ，ｃ （：）若一一１，则３一＋＋
１
３一０，由？，？得口一０，ｂ—ｃ一寺，厶 １１
０＆ｌｔ；ｂ＆ｌｔ；寺．当ｂ取（ｏ，寺）中任一个值时，求厶厶 １
得ｃ，易知ｃ？（一去，ｏ），因ｂ有无穷多种取 法，故命题成立．
综上所述，命题成立．
参考文献
１赵彪．三角形内接正三角形存在性问题．中学数 学教学，１９９４（４）
作文五：《三角形的内接最大正三角形》1600字
１８中等数学
●专题写作●
三角形的内接最大正三角形
焦亚军 郭要红
（安徽师范大学数学系，２４１０００）
本文探讨任意三角形其内接正三角形的边长何时取最大问题．
设任意△ＡＢＣ，∠Ｂ≤∠Ｃ≤，△ＤＥＦ为其内接正三角形，Ｅ、Ｆ别在边ＣＡ、ＡＢ、ＢＣ上），正△边长为ｐ．以ＣＡ为非负ｘ轴建立如图１所示的直角坐标系，又设Ａ（ａ，０）、Ｂ（ｂ，ｃ），∠ＢＡｘ＝β，∠ＥＤｘ
图１
＝θ，ＣＤ的长为ｍ．
≤θ≤β，Ｅ（ｐｃｏｓθ＋ｍ，ｐｓｉｎθ），则０°
）＋ｍ，ｐｓｉｎ（θ＋６０°））．Ｆ（ｐｃｏｓ（θ＋６０°
＝
ｓｉｎ（α＋β
证明：只须证
ｇ
＞
＋，ｇ｜ＡＢ｜ｇ｜ＡＢ｜
ａ＋ｂ＋ｃ－２ａｂ
２
２
２
２
即 （ｂ＋ｃ）
２
＞ｂ－ａｂ＋ｃ＋ａｃ．
若点Ｅ与点Ａ不重合，则因点Ｅ、Ｆ分
别在ＡＢ、ＢＣ上，所以，有
＝，
ｐｃｏｓθ＋ｍ－ａｂ－ａ
＝．）ｐｓｉｎ（θ＋６０°ｃ
ｐ（ｂ－ａ）ｓｉｎθ＝ｃ（ｐｃｏｓθ＋ｍ－ａ），即）＋ｍ］＝ｂｐｓｉｎ（θ＋６０°）．ｃ［ｐｃｏｓ（θ＋６０°
①
若点Ｅ与点Ａ重合，则θ＝０°，ｐ＋ｍ＝ａ．式①仍然成立．
从①中消去ｍ，
得
ｐ＝．（２ａ－ｂ＋ｃ）ｓｉｎθ＋（ｂ＋ｃ）ｃｏｓθ
令ｇ＝＝
２
两边平方、整理、分解因式得（ｂ２＋ｃ２－２ａｂ）（ｂ－ａ－ｃ）＞０．
２２
因为ａ０．因为０°０．
从而，ｂ－ａ－ｃ＞０．因此，当０°ｓｉｎ（α＋β≤θ≤β，所以，当θ＝β时，又由于０°
）取最小值，ｐ取最大值，且ｓｉｎ（θ＋α
ｐｍａｘ＝．
）ｇｓｉｎ（α＋β
（２ａ－ｂ＋ｃ）２＋（ｂ＋ｃ）２
２
２
ａ＋４ｂ＋４ｃ＋４ａｃ－４ａｂ，②
收稿日期：２００３－０４－０６ 修回日期：２００３－０９－２１
α值分别由式②、其中ｇ、式③确定．此时，
ｍ＝－）｜ＡＢ｜ｇｓｉｎ（α＋β
＋ａ＝ａ．）｜ＡＢ｜ｇｓｉｎ（α＋β
２００４年第４
期１９
有关三角形极值点的两个命题
王 璐 李纯毅
（天津市耀华中学实验四年（３）班，３０００４０）
本文给出两个关于三角形边的命题．
命题１ 到三边不等的三角形三边距离之和最小的点是此三角形最大边所对顶点．
命题２ ．
注：△Ｄ∠∠ＥＡＣ，∠ＤＢＣ＝∠ＥＢＡ，∠ＤＣＡ＝∠ＥＣＢ．
先证明命题１．
证明：设△ＡＢＣ内一点Ｐ到三边ＢＣ、ＡＣ、ＡＢ的距离分别为ｘ、ｙ、ｚ，并设ＢＣ＝ａ，ＡＣ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ．则有
ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ＝２Ｓ．
２Ｓ＝＋ｃｚ
ａｙ＋（ｘ＋ｙ＋ｚ）．
ｘ＋ｙ＋ｚ．
ａ
上式等号成立的条件为ｙ＝ｚ＝０．故ａｘ＝２Ｓ，ｘ为边ＢＣ上的高线长．从而，Ｐ＝Ａ为最大边所对顶点．
对于Ｐ在△ＡＢＣ之外的情况易证．下面证明命题２．
证明：题设同命题１．由柯西不等式，有２２４Ｓ＝（ａｘ＋ｂｙ＋ｃｚ）
≤（ａ２＋ｂ２＋ｃ２）（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）
２
］ｘ２＋ｙ２＋ｚ２２２
２，
ａ＋ｂ＋ｃ
ｂ＋ｃ－２ａｂ＝０
２
２
①
不妨设ａ＞ｂ＞ｃ，则 内接正三角形最大时的位置，见图２．
（２）若６０°＜β≤１２０°，且∠Ｂ＜∠Ｃ，此时，可以证得ｓｉｎα＜
）．ｓｉｎ（α＋β证明略．
图２
θ≤β，所以，当θ＝０°又由于０°≤时，
）取最小值，ｐ取最大值，且ｓｉｎ（θ＋α
ｐｍａｘ＝．
ｇｓｉｎα
α值分别其中，ｇ、
由式②、式③确定．此时，
ｍ＝－＋ａ．ｇｓｉｎα
图３内接正三角形最
大时的位置，见图３．
（３）若∠Ｂ＝∠Ｃ或β＝６０°，则有
或ｂ－ａ－ｃ＝０．
）．从而，ｓｉｎα＝ｓｉｎ（α＋β
≤θ≤β，所以，当θ＝０°又０°或β时，）取最小值，ｐ取最大值，且ｓｉｎ（θ＋α
ｐｍａｘ＝．
ｇｓｉｎα
α值分别由式②、其中，ｇ、式③确定．此时，ｍ＝－＋ａ或ａ．ｇｓｉｎα
内接正三角形最大时的位置，见图４、图５．
作文六：《认识三角形(三角形的高)教案》1600字
项城市正泰博文学校导学案设计
校区
课 题 教 学 目 的 重 点 难 点 教 学 流 程
二、解疑（合作）
冯建峰
西区
年级
七年级
科目 数学
设计教师
过直线外一点画已知直线的垂线的方法： １ 放，２ 靠，３ 推，４ 画． 对过三角形的一个顶点，画出它的对边的垂线： 可以用三角尺来画，可以用折纸的方法，也可以利用量角器 来画。 三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在 直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线。
认识三角形（第 ４ 课时）
１． 知 识 与 （１）认识三角形的高线；（２）能画任意三角形的高线。（３） 了解三角形三条高 技能： 所在直线交于一点。 ２ 过程与方 通过观察，操作，想象，推理，交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑， 发现问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力． 法： ３ 情感与态 通过折纸，画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的 度，价值观 思维变得更灵活． 三角形高线的概念， 利用折纸和画图等方法了解其性质 １、设疑（自主） ； ３、质疑（展示反馈） ； ５、考核（检测） ； ２、解疑（合作） ； ４、探究（探究升华） ； ６、作业布置（根据实况可作调整或增删） 补充修改
如图，线段 ＡＭ 是 ＢＣ 边上的高。 ∵ ＡＭ 是 ＢＣ 边上的高 ∴ＡＭ⊥ＢＣ
一、设疑（自主） １．过直线外一点画已知直线的垂线的方法吗？ ２．过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗？
每人准备一个锐角三角形纸片。 １． 你能画出这个三角形的三条高吗？ ２． 你能用折纸的办法得到它们吗？ ３． 这三条高之间有怎样的位置关系？将你的结果与同伴进 行交流。 结论：锐角三角形的三条高在三角形的内部且交于一点。 每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形 （１）画出直角三角形的三条高，并观察它们有怎样的位置关 系？
（２）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？ （３）钝角三角形的三条高交于一点吗？ 它们所在的直线 交于一点吗？ 小组讨论交流
四、探究（探究升华）
例 １： 如图，△ＡＢＣ 中，∠Ｂ＝３４°，∠ＡＣＢ＝１０４°，ＡＤ 是 ＢＣ 边上的高，ＡＥ 是∠ＢＡＣ 的平分线，求∠ＤＡＥ 的度数．
结论： １、直角三角形的三条高交于直角顶点处。 ２、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在三角形的 外部。
例 ２，如图，在△ＡＢＣ 中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ 是 ＡＢ 边上的高， ＡＢ＝１３ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍ，ＡＣ＝５ｃｍ，求：（１）△ＡＢＣ 的面积；（２）ＣＤ 的长．
三、质疑（展示反馈） 画钝角三角形的三条高学生常会画出以下两种常见 错误图形。
Ｄ Ｃ
ｋ
． 五、考核（检测）
Ａ
ｊ
Ｂ
１．分别指出下图中△ＡＢＣ 的三条高。 如图 １．１）直角边 ＢＣ 边上
的高是 ；２）直角边 ＡＢ 边上的高 ． ，ＡＣ 边
解决办法：可以将三角形比作小山，山的高度怎么看三 角形的高就怎么看，这样学生很容易找到三角形的高，同时 也不会再有以上类似的错误认识．
是
，３）斜边 ＡＣ 上的高是
如图 ２．ＡＢ 边上的高是 上的高是
，
， ＢＣ 边上的高是
提高练习：
Ａ
Ａ
??
５．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 １ 的正方 形，Ａ、Ｂ 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 Ｃ 也 在小方格的顶点上， 且以 Ａ、 Ｂ、 Ｃ 为顶点的三角形面积为 １，
Ｄ
Ｂ Ｃ?
Ｂ Ｅ
Ｃ
则点 Ｃ 的个数为（ （Ａ）３ 个
） （Ｃ）５ 个 （Ｄ）６ 个
Ｃ?
图１ 图２
（Ｂ）４ 个
２． 下列各组图中哪一组图形中 ＡＤ 是△ＡＢＣ 的高（
）
六、板书设计 认识三角形（第 ４ 课时）——三角形的高 ３． 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点， 那么这个三角形是（ Ａ．锐角三角形 Ｃ．钝角三角形 ） Ｂ．直角三角形 Ｄ．锐角三角形 ）
１．三角形的高的定义： ２．三角形的高的画法。 ３．例题讲解。 ４．反馈训练。
七、学案反思
４．三角形的三条高相交于一点，此点一定在（ Ａ． 三角形的内部 Ｃ．三角形的一条边上
Ｂ．三角形的外部 Ｄ． 不能确定
作文七：《[三角形的内角定义]三角形定义》2000字
［三角形的内角定义］三角形定义 篇一 ： 三角形定义
１３．１三角形
知识与技能目标：
理解三角形的定义，能指出三角形的边、角、顶点。
过程与方法目标：
过程与方法：联系生活实际，通过观察、画图等操作活动认识三角形的特点、从而发展学生的空间思维。
情感与价值观要求：
情感态度与价值观：通过操作得出相关结论，获得成功的体验从而培养情感。进一步体会生活
中处处有数学，把生活经验数学化
一、认真阅读书ｐ－７６，完成下列知识：
三角形的概念：
三角形的定义：
三角形的基本元素及其他。
？符号： 如图； 记作： ？顶点： 如图； ？边： 如图； ？角： 如图； 概念剖析：
能力检测：一）、根据下列各图回答问题。
问题１：上面各图各中有几个三角形，并说出这些三角形。
问题２：说出各图中以点Ｂ为顶点的角所对的边。
问题３：图中以ＢＣ为公共边的三角形有哪几个，以 ？ Ａ为公共角的三角形有哪几个
二）、画一画。
请你在纸上画一个自己喜欢的三角形。并和同桌边指边说一说三角形有几条边，几个角，
几个顶点，
二、在实际生活中，我们很多物体都用到了三角形，这是为什么呀，请同学们各抒己见说出其中的道理，并总结生活中的例子。
归纳：三角形的特性
练习：
１（为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是
２． 下列图形中有稳定性的是
Ａ（正方形 Ｂ（长方形 Ｃ（直角三角形 Ｄ（平行四边形
３． 不是利用三角形稳定性的是
Ａ． 照相机的三角架 Ｂ．三角形房架
Ｃ． 自行车的三角形车架 Ｄ．矩形门框的斜拉条
篇二 ： 三角形的定义
三角形的定义
在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。
三角形的内角和
在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所以三角形的内角和为１８０度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》
如何证明三角形的内角和等于１８０？
方法１：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为１８０？屁法师打发士大夫撒算法单发发射
方法２：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为１８０？ 例题：已知有一？ＡＢＣ，求证？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？
证明：做ＢＣ的延长线至点Ｄ，过点Ｃ作ＡＢ的平行线至点Ｅ
？ＡＢ？ＣＥ
？？ＡＢＣ＝？ＥＣＤ，？ＢＡＣ＝？ＡＣＥ
？？ＢＣＤ＝１８０？
？？ＡＣＢ＋？ＡＣＥ＋？ＥＣＤ＝？ＢＣＤ＝１８０？
？？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？
篇三 ： 三角形内角定义什么是三角形的内角，
三角形内角定义
什么是三角形的内角，
就是三角形的３个内角相加的１８０度就是三角形内角的定义
三角形是由两两相交且不经过同一点的三条直线的界于３个交点之间的线段构成的图形。每两条相交直线所确定的四个角中位于三角形内部的那１个角就是三角形的内角。
篇四 ： 三角形的定义
三角形的定义
在同一平面上，由三条边首尾相接组成的内角和为１８０？的封闭图形叫做三角形。三角形是几何图案的基本图形，各种多边形都是由三角形组成的。
三角形的内角和
在欧几里得的几何体系中，三角形都是平面上的，所 以三角形的内角和为１８０度；三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明：根据三角形的外角和等于内角可以证明，详细参见《培优：走进三角形》
如何证明三角形的内角和等于１８０？
方法１：将三角形的三个角撕下来拼在一起，可求出内角和为１８０？屁法师打发士大夫撒算法单发发射
方法２：在三角形任意一个顶点处做辅助线，可求出内角和为
１８０？ 例题：已知有一？ＡＢＣ，求证？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？
证明：做ＢＣ的延长线至点Ｄ，过点Ｃ作ＡＢ的平行线至点Ｅ
？ＡＢ？ＣＥ
？？ＡＢＣ＝？ＥＣＤ，？ＢＡＣ＝？ＡＣＥ
？？ＢＣＤ＝１８０？
？？ＡＣＢ＋？ＡＣＥ＋？ＥＣＤ＝？ＢＣＤ＝１８０？
？？ＡＢＣ＋？ＢＡＣ＋？ＢＣＡ＝１８０？
作文八：《三角形与三角形的东西》300字
三角形与三角形的东西（描画，涂色）
教学要求：
１、 认识三角形及三角形物。
２、 复习、巩固已学过的色彩，并能正确地涂色。
重难点：
认识三角形，了解其特点。
教学准备：
示范图，三角板１副
课时：一课时
教学过程：
１、观察认识多种形状的三角形
三角形的样子可多了，请看屏幕。（电脑显示）
小结：它们有的边长，有的边短，有的角大，有的角小，但它们都有三条边，三个角，
所以，它们都是三角形。
２、联想生活中三角形物品
小朋友们想一想：在我们身边有哪些东西是三角形的？或接近三角形的？（雨伞、帽子、
彩旗、灯罩、酒杯……）
小结：在我们身边有许多物品都是三角形，或者接近三角形，这一节课，我们学画三角
形的物品。（板书完整的课题：画三角形物品）。
３、 教师示范，画三角形。
４、 学生作业，要求学生先用手书空，再画。
５、 作业后进行讲评。
作文九：《三角形的最大外接正三角形》1400字
三角形的最大外接正三角形
２００４年第２期数学通报２５
时，ＡＤＥＦ的高为＋Ｊｐ＋ＰＣ（如
图３）．
延长交ＡＣＥ的外接圆于
（如图４）
则ＫＣＡ＝ＫＰＡ＝６０～，
ＫＡＣ＝ＡＰＣ：６０～，
所以，ＡＫＡＣ为正三角形，由引
，Ｋ＝ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ 理３知
在ＡＢＣＫ中应用余弦定理得
Ｋ
图４
Ａ
ＢＫ＝～／口＋ｂ一２ａｂｅｏｓ（６０～＋９０～） ：
所以，ＡＤＥＦ的面积最大值是
厂＝
４３（
，～８Ｋ）４＝口６＋等（口＋ｂ２）．
于是，我们有
定理１直角边长分别为口，ｂ的直角三角形 ？ＡＢＣ的外接正三角形ＡＤＥＦ的面积最大值是口６
＋（口＋ｂ），当ＡＤＥＦ的三边分别与，Ｊｐ， ＰＣ垂直时取到（Ｐ是ＺＭＢＣ的费尔马点）．
３进一步拓展
我们将问题拓展到求任意给定ｚＭＢＣ的外接 正三角形ＡＤＥＦ的面积最大值．得到： 定理２设０，ｂ，Ｃ，Ａ分别为ｚＭＢＣ的三边长与 面积，则ｚＭＢＣ的外接正三角形？ＤＥＦ的面积最大值
是（口＋ｂ＋ｃ）＋２Ａ，当ｚ３１）ＥＦ的三边分别与 ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ垂直时取到（Ｐ是ｚＭＢＣ的等角中心） 证明设Ｃ？Ａ？Ｂ，
（１）若Ｃ？１２０～，
则ｚＭＢＣ的费尔马点Ｐ在
ｚＭＢＣ内或边界上（如图
５），与定理１的证明过程
一
样，ＡＤＥＦ的面积最大
值在ＡＤＥＦ的三边分别与
ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ垂直时取到
（若Ｃ＝１２０～，点Ｐ与
点Ｃ重合，只要ＡＤＥＦ的
三边分别与ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ图５
垂直），此时ＢＫ：～／口＋ｂ一２ａｂｅｏｓ（６０～＋Ｃ）
＝
？吉（口２＋６＋ｃ）＋２４３／，． ＡＤＥＦ的面积最大值是
（）＝（口２＋６＋ｃ）＋２？，
（２）若Ｃ＆ｇｔ；１２０～，等角
中心Ｐ（参见文【３ｊ３第１９２页）
在ＡＡＢＣ的外部．（如图６）
连结ＰＡ，ＰＢ，ＰＣ，设
ＡＤＥＦ是，－～ＡＢＣ的外接正三Ｄ
角形，即ＡＤＢＣ，ＡＥＣＡ，ＡＦＡＢ 的外接圆相交于Ｐ，此时，
ＢＰＣ＝ＡＰＣ＝６，图６
ＡＰＢ＝１２．
过点Ｐ分别作ｌ，胎ｌ，ＰＣ１分别垂直于 ＥＦ，ＦＤ，ＤＥ，Ａｌ，ｌ，Ｃｌ为垂足，则
ＡＤＥＦ的面积：ＥＦ（ＰＡｌ＋ＰＢｌ—ＰＣ１）， 于是ＰＡ】＋ＰＢｌ—ＰＣｌ是ＡＤＥＦ的高． 设ＰＢＤ＝，则ＰＣＤ：ＰＡＦ＝， ＰＡ】＋ＰＢｌ—ＰＣｌ＝（ＰＡ＋Ｐ８一ＰＣ）ｓｉｎ， 要的面积大，只要ｌ＋ＰＢｌ—ＰＣｌ大， 而ｌ＋ＰＢｌ—ＰＣｌ最大值的是＋ＰＢ—ＰＣ，此 时，：９０＇，即ｌ上，船ｌ上ＦＤ，ＰＣｌ上时． 延长ＰＣ交ＡＦＡＢ的外接圆于， 因为
ＫＡＢ：ＫＰＢ＝６０～，
Ａ：ＫＰＡ＝６０～，
所以，ｚＭＢＫ是正三角形，
由引理３知，ＰＫ＝ＰＡ＋ＰＢ 所以，ＣＫ：ＰＫ—ＰＣ＝ＰＡ＋ＰＢ—ＰＣ 在ＡＣＡＫ中应用余弦定理
ＫＣ：ｂ＋Ｃ一２ｂｃｃｏｓ（Ａ＋６０～） ：
１（口＋６＋ｃ）＋２Ａ
所以，ＡＤＥＦ的面积最大值是
（ＫＣ）：（０，２＋ｂ＋ｃ２）＋２Ａ． Ｌ＋３ｕ
综合（１），（２）知，定理２成立．
我们求出了任一三角形的外接正三角形的面
积最大值及最大面积的外接正三角形的位置．下 一
步要解决的问题自然是：对直角三角形存在最 小面积的外接正三角形吗？若存在，位置何在．对 一
般三角形，存在最小面积的外接正三角形吗？ 参考文献
１黄元兵．问题１２８８．数学通报，２０００，１２ ２梁绍鸿．初等数学复习及研究（平面几何）．北京：人民教育出 版社．１９５８年１１月版
３Ｒ．Ａ．约翰逊着．单蹲译．近代欧氏几何学．上海：上海教育出 版社．１９９９年８月版
作文十：《《三角形之三角形的分类》教案》1700字
三角形的分类
教学内容：
教材第６３、第６４页的内容及第６５页练习十五的第４、第５、第９、第１０题。 课型 新课
教学目标：
１、通过实际操作、探究，掌握三角形的分类标准及方法，体会每类三角形的特征，并能够识别直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰三角形、等边三角形。
２、通过观察、分类记录等活动，折、剪等操作，提高学生的探索精神、归纳概括能力、逻辑思维能力和空间想象能力。
３、让学生在探究的过程中，感受到学习数学的乐趣，体验成功的喜悦，从而激发学生学好数学的热情，同时懂得合作可以提高效率的道理。
教学重点：
通过思考、自主探索、合作交流，分别从三角形的角和边两个方面的特征，对三角形准确的地进行分类。
教学难点：
能够掌握各种三角形的特征以及各类三角形之间的内在联系。
教具学具：
多媒体课件、各种三角形图形。
教学过程：
一、情境导入
师：如果让你把班里某一个小组的同学分成两组，你将如何分组呢？
（学生回答）
师：既然如此，如果把三角形进行分类，你觉得应该按什么样的标准来分呢？为什么？
（引导学生说出原因）
师：刚才同学们说了两种方法，按边分或者按角分。这节课我们就一起来研究三角形的
分类。
（板书：三角形的分类）
二、自主探究
１、认识锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
课件出示例５．
师：用量角器量出每组中每一个三角形的每一个角的大小，看看三角形中每个角是多少度？各是什么角》
生１： 通过测量发现，有些三角形的三个角都是锐角。
生２：有些三角形有一个直角、两个锐角。
生３：有些三角形有一个钝角、两个锐角。
师：三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形，有一个角是直角的三角形叫直角三角形，有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形。
２、把三角形按照角进行分类。
师：如果把所有的三角形看做一个整体，那么锐角三角形、直角三角形和钝角三角形都可以分别看作是这个整体的一部分，它们之间的关系你会画图表示吗？
＜＜＜１２＆＆＆（课件出示三种三角形的关系图）
３、认识直角三角形的直角边和斜边。
（课件出示直角三角形图）
师：在直角三角形中，夹直角的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边。你能用直尺量出每条边的长度吗？测量后你会发现什么？
生：通过测量发现，在直角三角形的三条边中，斜边最长。
４、认识等腰三角形和等边三角形。
（课件出示等腰三角形和等边三角形图）
师：观察三角形的三条边会发现什么？
生：有的三角形的三条边都不想等，有的三角形有两条边相等，有的三角形三条边都相等。
师：在数学上，有两条边相等的三角形叫等腰三角形，有三条边相等的三角形叫等边三角形，又叫正三角形。
５、认识等腰三角形、等边三角形各个部分的名称。
师：在等腰三角形中，相等的两条边叫做三角形的腰，另一条边叫等腰三角形的底，两腰的夹角是等腰三角形的顶角，腰和底边的夹角是三角形的底角。在等边三角形中，三条都相等的边都叫三角形的边。
６、等边三角形、等腰三角形之间的关系。
师：你能说说等边三角形与等腰三角形之间的关系吗？
生：两腰相等的三角形是等腰三角形，所以等边三角形师特殊的等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形。
７、等腰三角形和等边三角形各自角的特征以及认识等腰直角三角形。
通过测量等腰三角形和等边三角形的角发现：等腰三角形的两个底角相等；等边三角形的各个角都相等。
有些直角三角形，有两条边相等，有两个角相等，这样的三角形在数学上叫等腰直角三角形，如常用的直角三角板中的一种。
三、探究结果汇报
师：哪一组的同学愿意为大家展示一下按角分类的成果呢？
（老师根据学生的讲述板书直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）
师：按边分呢？
生：三角形按角分可以分成锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分可以分成任意三角形、等腰三角形、等边三角形。
四、师生总结收获
师：这节课，你知道了什么？懂得了什么？学会了什么？
生：三角形可以按边分类，也可以按角分类。
师：今天你学会了什么数学方法？
生：分类。
师：分类在我们的日常生活中和重要，因为运用了分类方法，我们的生活才变得井井有条，我们的生活才会更加舒心，更加精彩。
五、板书设计
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